清华大学断裂力学讲义Ch5_1讲解

John Douglas Eshelby
James R. Rice
J.R. Rice, A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks. J. Appl. Mech. 35, 379-386 (1968).
时刻 A固 和 A移 重合
U固t UI tUII t U固t t U I t tU II t t U固 U II t tU II tU I tU I t t U移 t U I t U II t U移 t t U II t t U III t t U移 U II t tUII tUI tUIII t t
J.D. Eshelby, The force on an elastic singularity. Phil. Trans. Roy. Soc. London A 244, 87-111 (1951).
J.D. Eshelby, The continuum theory of lattice defects. Solid State Physics 3, 79-144 (1956).
※固定围道上的能量平衡
可以不再考察整个系统的能量平衡，而只考率围道内 A固 的能量 变化。针对于二维问题。
A固 为在时刻 t 由 圈定且
固化在物质上的面积。储存在 A固 上
的能量随裂纹长度变化为
G a Q q U （1）
Q 和 q 分别为作用在围道上的广
A固
义力和广义位移。写成关于时间的
变化率形式如下：
density function), from which the system’s
behavior can be determined by the principle
of least action.
Emmy Noether (1882–1935)
The homogeneity of the material implies the path independence of J.
I II
1
Ga
tu d
d dt
wdA
wenku.baidu.comA固
（2）
w ij
d ij
0 ij ij
为应变能密度。
下面我们试图将这种能量平衡关系建立在随裂尖移动的坐标系上
※随裂尖移动围道上的能量平衡
Ga
tu d
d dt
wdA
A固
（2）
在一个随裂尖移动的坐标系
研究上述能量平衡。
x1t x1 at， x2 x2
（2）式右端第一项中
u
u t
x1 ,x2
在移动坐标系下
u u x1, x2 , t u x1 a, x2 , t
u
u t
x1 , x2
u t
x1 , x2
a u x1
x2 ,t
Ga
tu d
d dt
wdA
A固
（2）
计算右端第二项，考察经历 t 前后 A固 和
A移 中的能量变化,不失一般性,假设 t
B. Budiansky and J. R. Rice, Conservation laws and energy-release rates. Journal of Applied Mechanics, 40, pp. 201-203 (1973).
J积分
J1
J1 wn1 t u ,1 d
J Integral
The derivation of J as an example of Noether’s theorem.
Noether’s Theorem
Any differentiable symmetry of the action of
a physical system has a
J. K. Knowles, Eli Sternberg, On a class of conservation laws in linearized and finite elastostatics. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 44, 187-211 (1972).
corresponding conservation law. The action
of a physical system is the integral over time
of a Lagrangian function (which may or may
not be an integral over space of a Lagrangian
http://en.wikipedia.org/wiki/Noether's_theorem
5.1 J 积分的概念及其理论
※背景和动机 Griffith 的能量释放率 G ✓ 对整个构型的能量判断来确定裂纹扩展，从理论角度讲上适 用范围广 ✓ 需要知道全场信息来确定能量随裂纹的变化，可操作性差 应力强度因子 K ✓ 只需要裂尖附近的信息 ✓ 只对于脆性和小范围屈服情形适用 J 积分 ✓ 仍采用能量分析的方法 ✓ 只需要 J 积分围道上的信息便可判断裂纹是否扩展。 ✓ 适用于非线性材料，且不限于小范围的修正
G.P. Cherepanov, Crack propagation in continuous media. Journal of Applied Mathematics and Mechanics 31, 503 (1967). G.P. Cherepanov, Cracks in solids. International Journal of Solids and Structures 4, 811-831 (1968).
第五章：J积分和M积分
J积分 HRR场 J积分的实验测量和数值计算
讨论 M积分
断裂力学中的三个守恒积分 2D（线积分） 能量释放率（缺陷相互作用）
J积分
J wn t u , d
J1
M积分 L积分
M wx n t u , x d
Knowles-Sternberg
L 3 wx n tu t u , x d