(完整版)立体几何知识点总结完整版

立体几何知识点
【考纲解读】
1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。

2、 空间两条直线的三种位置关系，并会判定。

3、 平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线 平行及角相等的方法。

4、 异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范 围，会求异面直线的所成角。

5•理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘
；了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概
念，掌握空间向量的坐标运算 ；掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式
.
6•了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念
•掌握棱柱,棱锥的性质，并会灵活应用，掌握球的表
面积、体积公式；能画出简单空间图形的三视图， 能识别上述的三视图所表示的立体模型， 会用斜二测法画出它们的
直观图•
7•空间平行与垂直关系的论证 •
8.掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题 ，进一
步
掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题
9•理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转 化法、向量法）•对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离。

【知识络构建】
<— 翅MJL 何体的峯构特征一袞间几何怀的表面锲和体枳 —I 吩间儿何体的三视图和吒现图 空何向話的槪念
线性运算
空间向园数呈积
理和坐标运算
【重点知识整合】
1. 空间几何体的三视图
专
间儿何体
空问点仁
n
线、平面ft
置关系
宀
VIHI
向虽与<
体儿
何
(1) 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；
(2) 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；
(3) 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图.
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.
2. 斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤
(1) 建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox, Oy,建立直角坐标系；
(2) 画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox', Oy',使/ x Oy = 45。

(或135 °，它们确定的平面表示水平平面；
(3) 画对应图形，在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x轴，且长度保持不变；在已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y轴，且长度变为原来的一半；
(4) 擦去辅助线，图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线(虚线).
3•体积与表面积公式：
1
(1) 柱体的体积公式：V柱Sh;锥体的体积公式：V锥Sh;
3
台体的体积公式：V棱台^h(s . SS S);球的体积公式：V球4 r3.
3 3
(2) 球的表面积公式：S球4 R.
【高频考点突破】
考点一空间几何体与三视图
1 .一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的
下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度
一样•即长对正、高平齐、宽相等”.
2•画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度减半.
例1、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为
侧视图
【方法技巧】该类问题主要有两种类型：一是由几何体确定三视图；二是由三视图还原成几何体•解决该类问题的关键是找准投影面及三个视图之间的关系•抓住正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点作出判断考点二空间几何体的表面积和体积
常见的一些简单几何体的表面积和体积公式:
圆柱的表面积公
式：
S= 2n2+ 2n l = 2n（r + 1）（其中r为底面半径，1为圆柱的高）；
圆锥的表面积公
式：
S= n2+ n l = n（r + l）（其中r为底面半径，l为母线长）;
圆台的表面积公
式：S= n（2+ r2+ r l + rl）（其中r和r分别为圆台的上、下底面半径，l为母线长）;
柱体的体积公式：V = Sh（S为底面面积，h为咼）;
锥体的体积公式：
1
V = §Sh（S为底面面积，h为咼）;
台体的体积公式：
1
V = 3（S'+ ,SS+ S）h（S'、S分别为上、下底面面积，h为高）;
4
球的表面积和体积公式：s= 4 n R2, V = 3 n3（R为球的半径）.
例2、如图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为
【方法技巧】
1. 求三棱锥体积时，可多角度地选择方法.如体积分割、体积差、等积转化法是常用的方法.
2. 与三视图相结合考查面积或体积的计算时，解决时先还原几何体，计算时要结合平面图形，不要弄错相关数量. 3•求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.
4 •对于组合体的表面积要注意其衔接部分的处理
考点三球与空间几何体的切”接”问题
1长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径.
Cl Bi
A . 6.3
C. 12 .'3
D. 18/3
2.正方体的内切球其棱长为球的直径.
3•正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线.
4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3 : 1.
例3、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为
正视图侧视图
俯视图
【方法技巧】1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题.
2.若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且PA = a, PB= b, PC= c,贝U 4R2= a2+ b2+ C2(R为球半径).可采用补形”法，构造长方体或正方体的外接球去处理.
考点四空间线线、线面位置关系
(1)线面平行的判定定理：a? a, b? a, a// b? a// a
⑵线面平行的性质定理：a// a, a? 3, an 3= b?a// b.
(3 )线面垂直的判定定理：
m? a, n? a, m n n = P , I丄m , I丄n? I丄a
(4) 线面垂直的性质定理：a丄a, b丄a? a // b.
例4、如图，在四面体PABC中，PC丄AB , PA丄BC ,点D , E , F , G分别是
棱AP , AC , BC , PB的中点.
(1)求证：DE //平面BCP ;
⑵求证：四边形DEFG为矩形；
(3) 是否存在点Q,至U四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.
【方法技巧】
1•证明线线平行常用的两种方法：
(1)构造平行四边形；
(2)构造三角形的中位线.
2•证明线面平行常用的两种方法：
(1) 转化为线线平行；
(2) 转化为面面平行.
3 .证明直线与平面垂直往往转化为证明直线与直线垂直.而证明直线与直线垂直又需要转化为证明直线与平
面垂直.
考点五空间面面位置关系
1. 面面垂直的判定定理：a? a丄a? a丄3
2. 面面垂直的性质定理：
a丄B aCl 3= I, a? a, a丄l? a丄B
3. 面面平行的判定定理：
a? B, b? B, a Ab = A, a / a, b / a? all B
4. 面面平行的性质定理：
all B , aA Y= a, BA Y= b? a// b.
5. 面面平行的证明还有其它方法：
1 a、b? a且a A b = A
c、d? B且c A d = B ? all B,
a/c , b l d
(2)a丄a a丄B? all B
例5、如图，在四棱锥P —ABCD中，平面PAD丄平面ABCD, AB = AD , / BAD = 60° E , F分别是AP , AD 的中点.求证:
(1)直线EF //平面PCD ;
⑵平面BEF丄平面PAD.
【方法技巧】
1. 垂直问题的转化方向
面面垂直？线面垂直？线线垂直•主要依据有关定义及判定定理和性质定理证明•具体如下：
(1) 证明线线垂直：①线线垂直的定义；②线面垂直的定义；③勾股定理等平面几何中的有关定理.
(2) 证明线面垂直：①线面垂直的判定定理；②线面垂直的性质定理；③面面垂直的性质定理.
(3 )证明面面垂直：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.
2. 证明面面平行的常用的方法是利用判定定理，其关键是结合图形与条件在平面内寻找两相交直线分别平行于另一平面•
考点六利用空丽皇证明位置关系
设直娃「的肓向向量为就=L.Q 加门)・平而如月的进向壘分别为产® 如Cs)* 1
=(CL.I 弘Ci)
(1)线而平行匕
正匕口丄110$*=:］u>7］口?十引去十°门=；［
(2)线面垂直’
■■丄贯口4"(10戊=切0口］= 也尹,=肪耳C］—tc：
(引面面平行1
gur也疗"=汽0色=辿9旣=辻豪C;=>Ti
(4)面面垂亘
卫丄£口圧丄TU>mY=Clo上丢十粘乩-I■务£=：】.
例6、如图，平面 PAC 丄平面ABC ,△ ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形， E , F , O 分别为PA , PB , AC 的
中点，AC = 16 , FA = PC = 10.
(2)证明：在厶ABO 内存在一点 M ，使FM 丄平面BOE. 【方法技巧】
1 •用向量法来证明平行与垂直，避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了•把几何问题代数化•尤其是正方 体、长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷•但是向量法要求计算必须准确无误.
2.利用向量法的关键是正确求平面的法向量.赋值时注意其灵活性.注意 考点七利用空间向量求角 1 •向量法求异面直线所成的角: 若异面直线a , b 的方向向量分别为 a , b ，异面直线所成的角为
0则cos 0=|cos 〈a ,
2.向量法求线面所成的角:
3. 向量法求二面角: B 的两个半平面 a 与B 的法向量n 1, n 2,若二面角 a — l — B 所成的角
|n 1 n 2|
n2> |
= |n 1||n 2|； 若二面角a — l — B 所成的角0为钝角, 则 cos 0=—
|COS 〈n1, n2> =—
黑.
例7、如图，在四棱锥
P — ABCD 中，PA 丄平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形， AB = 2,Z BAD = 60°
(1)求证：BD 丄平面PAC ;
⑵若PA = AB ,求PB 与AC 所成角的余弦值；
⑶当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求 PA 的长.
(0,0,0)不能作为法向量.
b > |=器.
求出平面的法向量 n ,直线的方向向量
a ,设线面所成的角为 0,则sin 0= |cos <n , a >
=£•「
求出二面角 a —I —
贝U cos 0= |cos 〈 n 1.
考点八 利用空间向量解决探索性问题
利用空间向量解决探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只须通过坐标运算进行判断，在解 题过程中，往往把 是否存在”问题，转化为 点的坐标是否有解，是否有规定范围的解 ”等，可以使问题的解决更简
单、有效，应善于运用这一方法.
例8、如图，在三棱锥 P — ABC 中，AB = AC , D 为BC 的中点，
P0丄平面 ABC ，垂足 O 落在线段 AD 上.
体积为( )
(2)在线段AP 上是否存在点 M ,使得二面角A — MC — B 为直二面角？若存在，求出
AM 的长；若不存在，请说
明理由.
【难点探究】
难点一空间几何体的表面积和体积
例1、(1) 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A . 48
B . 32+8.17
C . 48+8 .17
D . 80
⑵某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
(
A . "n+ 12 C . 9 n+ 42
B . 2兀+ 18 D . 36
18
3
止视图
侧视图
难点二球与多面体 俯视图
例2、已知球的直径
SC = 4, A , B 是该球球面上的两点,
AB = V 3，/ ASC =Z BSC = 30° 则棱锥 S — ABC 的
B . 2 .'3
(1)证明：AP I BC ;
左［猊图
【解题规律与技巧】
•【历届高考真题】
【2012年高考试题】
-、选择题
(A)6 (B) 9(C)(D)
2.【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD，AB=1，BC= . 2。

将△沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中。

A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直.
B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直.
C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.
D.对任意位置，三对直线“ AC与
BD”’，“ AB与CD'，“ AD与BC'均不垂直
3.【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC 2 ；则此棱锥的体积为（）
(A)f (B)f (c)f (D)于
【答案】A
【解靳】的外接囲的半径尸=也,点O到面的距禽
片
，按」二里SC为球O的直径n点£到面-胡C的距离为山史此棱锥册
仕丰口*盯1 L 1 占.-5^6 怎•住.
［辛•毛、为J = — $ •扌皮w 国=—”—〉‘ =—3选
4. 【2012高考
真题四川理6】下列命题正确的是（
A 、 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B 、 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C 、 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D 、 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
【答S1C
【解析】扎两直线可能平行，相交，异而故A 不正确；民两平百平行或相交；U 正确； 沁两个平面平行或相交.
5.【2012高考真题
四川理10】如图，半径为R 的半球O
的底面圆O 在平面 内，过点O 作平面 的垂线交半球面于点 A ，过圆O 的 直径CD 作平面 成45°角的平面与半球面相交， 所得交线上到平面 的距离最大的点为 B ，该交线上的一点 P 满
【答案】A 【解析】根据题直，易知平酝期E 丄平而―叮乂少厶10尸二心一扭从心」。

尸
手由弧长公式易得'、朋点间的球面距韶为
3TCCO5 .
4
余弦值为（
【答案】A.
足 BOP 60°，贝U A 、P 两点间的球面距离为（
A 、 Rarccos
C 、 Rarccos
D 、
西理5】如图, 在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 , CA CC 1 2CB ，则直线BC i 与直线AB i 夹角的
6.【2012高考真题陕
5
A. 5 「5
B.-
3
D. 3
A
【解析】设|CB| a，则|CA|g| 2a , A(2a,0,0), B(0,0,a),G(0,2a,0), B i(0,2a, a),
1所示，则该几何体的俯视图不可能是
【答案】D
【解析】本题是组合体的三视图问题.由几何体■的正视图和测视圏均如图1所示知.眞图下面图为圆柱或直四棱杜，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直縮的三棱柱，A, B, C都可能是该几何体的1®视圏，D不可能量该几何体的俯视圈，囲淘它的正视图上面应为如圈的矩形-
9. 【2012高考真
题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为
【答案】C
【解析】该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，根据三视图中的数量关系，可得
V V
圆锥V
圆柱3 32 52 - 32 32 5 57.故选C.
AB r ( 2a,2a, a),BG (0,2a, a) , cos AB1, BC1
AB
1 BC
r
|AB；||BC；
|
5
，故选A. 5
7.【2012高考真题湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图
A . 12 n B.45 n C.57 n D.81 n
10. [2012高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、 大小均相等，那么这个几何体不可以是 （）
A.球
B.三棱柱
C.正方形
D.圆柱
【答案】D.
是等BS 直角三角瑕 正方体三视图都杲正方形.可以拄除肚心覘选D.
11. [ 2012高考真题
重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为 1, 1, 1, 1,吁2和a ，且长为a 的棱与长为.2的棱异面，贝U a 的取值
范围是
(A) (0, ,2)
( B ) (0,-3) ( C ) (1,.2)
【答案】A
12. [2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（
A. 28+6 '• 5
B. 30+6 5
C. 56+ 12
5
(D) (1,- 3)
2
2
(2)
BE , AB 2BF 2BE . 2，选 A ,
D. 60+12 5
【解析】因为BE
【答案】B
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三
视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。

本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,
S底10，S后10，S右10, S左6.5，因此该利用垂直关系和三角形面积公式，可得:
几何体表面积Array
13. [2012高考真题全国卷理4】已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC i=2 2 E为CC i的中点,
则直线AC1与平面BED的距离为（）
A 2
B ,3
C .2
D 1
【答案】D
【解析】淳结AC^BD交于点0 哇结OE,因为。

卫是中乩所以OE AC}J且OE =^AC.,所N AC,
BDE ,即直绽AC-与平面BED的距禽等于点C到平蔚BED的距离,过匚傲于&则QF即为所求
距离•因为底面过长为凸高为2不，所以3C —1^/1 3OC —近、CE —* OE —2,所以利
用等积法得CF二1 ,选D.
1412012高考真题浙江理11】已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于 ___________ c m3.
【答案】38
【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为 4、3、1,圆柱的底面直径为 2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即
为 2(3 4 4 1 3 1) 2
1 1 2
38
【答案】i
【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形.故体积等于
1 1
2 1
3
'
15.【2012高考真题四川理14】如图，在正方体 ABCD
ABQ 1D 1中，M 、N 分别是CD 、CC 1的中点，则
异面直线A ,M 与DN 所成角的大小是
【答案】-
7
■
【解柘】本题有两种育法，一、几何法；连S ,则」九］亠ZXY, LDY,
易知D-V-Mlpl/Dp B T UA
DN 所成角的大小i-s 二 坐标滄 建立空间直角
■
坐标系.利用向屋的夹角公式计算得异面亘线斗M 与“V 所成角的大小是4-
题辽宁理13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
16.【2012高考真
17. [2012高考真题山东理14】如图，正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1, E, F 分别为线段 AA^BQ 上的
点，则三棱锥 D 1 EDF 的体积为
【答勅
6
【解析】法一=因揃触衽址段七上，所以L 车二灯弓 又因为F 点在堤 段鸟亡上，所以点产到平面DED 的距离为1,即/?=!.所
法二；使曲特殊点的位亘进行求解*不失一嚴性令E 点在川点处，戸点在匚点.处,
x DD, - - x 丄xl xlx 1 =—
1
3 2 6
【答案】
题辽宁理16】 已知正三棱锥 P ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为 3的求面上，若FA ，
PB ， PC 两两互相垂直，
则球心到截面 ABC 的距离为
18.【2012高考真
【解析】 因为在正三棱锥 P ABC 中,
PA , PB ，PC 两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体
的一部分，（如图所示），此正方体内接于球, 正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点。

球心到 截面ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥 P ABC 在面ABC 上的
高。

已知球的半径为.3，所以
正方体的棱长为
2，可求得正三棱锥 P
ABC 在面 ABC 上的高为 亠3，所以球心到截面
ABC 的距离为
3
19.【2012高考真题上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为
2的半圆面，则该圆锥的体积为
【答案】2c ：a 2 c 2 1。

3
【解析】过点 A 做AE 丄BC ,垂足为E ,连接DE ,由AD 丄BC 可知，BC 丄平面ADE ,
1
2 所以 V V BADE V CADE 1S ADE BC =#S ADE ，
3
3
当AB=BD=AC=DC= a 时，四面体 ABCD 的体积最大。

过E 做EF 丄DA ，垂足为点 F ，已知 EA=ED ，所以△ ADE 为等腰三角形，所以点
E 2 2 2 2 2 2 2 2 .
AE AB BE a 1 ,二 EF 八 AE AF . a c 1 ,
1 :~
2 2
••• S ADE = —AD EF = c a c 1 ,
2
2 2 i' o o
•四面体ABCD 体积的最大值V max — S ADE =—C-a 2 J 1。

3 3
21.【2012高考江苏 7】（5分）如图，在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB AD 3cm , A
A B
B 1D 1D 的体积为 ▲ cm 3.
【答莉
J
【解析】因齿半囿面的面积为2才=2仆 所収广=4,即7 =2,即圆谁的母线为
i = 1 ＞底面匮的周长2肿三切=，所UAlSffi 的庭酝半径y — 1»所以罔维的高 h = JF-J =忑,所以园锥的体和为2R 卑=l /T ^/5 = —才.
J_l
l
予
-"1
J
j
j
题上海理14】如图，
AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，
BC
20.【2012高考真 若AD 2c ,且
AB BD AC CD 2a ，其中a 、c 为常数，则四面体 ABCD 的体积的最
大值是
为AD 的中点，又
2cm ，则四棱锥
A
【答案】6-
【解析】T摂方体底面肿少是正污略•■•△曲7>中cn, RD迦上的高是
1>/2 cm (它也是A-SB.Dfi中関D】D上的高).二四棱锥A-BS.D.D的体积为1X X/2X2X-72=6,
' - 22.【2012高考真题安徽理12】某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是____________ .
【答案】92
【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱，
几何体的表面积是S 2 1 (2 5) 4 (2 5 4 . 42(5 2)2) 4 92 .
23.【2012高考真题天津理10】一个几何体的三视图如图所示(单位：m),则该几何体的体积为___________ m3.
俯视图
【答案】18+9陌
【解祈】根据三视图可知，这是一个上面沖长方体，下更有■两个亘径次巧的球构戚的组
合飒两个球的协积沏X’处〔分=9巧厉体的床积対1门恋二1乩所以该几何体
3 2
24.【2012高考
18
真题全国卷理16】三菱柱ABC-A i B i C i 中，底面边长和侧棱长都相等, 所成角的余弦值为 ______________
【答案】
三、解答题
27. [20i2高考真题湖北理i9】(本小题满分i2分)
人。

将厶ABD 折起，使 BDC 90° (如图2所示).
(I)当BD 的长为多少时，三棱锥 A BCD 的体积最大；
(H)当三棱锥 A BCD 的体积最大时，设点 E , M 分别为棱BC , AC 的中点，试在 棱CD 上
确定一点N ，使得EN BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小.
图2
第i9题图
【解析】如
AB i a b, BC i a 1 a ?b a ?c b ?c 一 2 BC 设AA| a, AB b, AC c,设棱长为
a c-
b ,因为底面边长和侧棱长都相等，且 BAA i CAA i
AB i v(a b) AB i ?BC i (a b)?(a c-b) 2，设异面直线的夹角为
，所以cos 600所以
BC i
AB i ? BC i AB i BC i
c-b)2 2
,6
BAA i =CAA i =60。

则异面直线 AB i 与 BC i
如图i , ACB 45°, BC 3，过动点 A 作AD BC ，垂足D 在线段
BC 上且异于点 B ，连接AB ，沿
D
A
C
【答第】(I)解法匚在如图1所示的△.妇C中，设5£)-r(0<x<3),则
C2>=3-r.
由Q丄玫\ 厶CS“5*知* △*4DC为等睡宜角三角形，fiFrOJljW=CD = 5-x.
由折起前Q__BC知，折起后(如圏2)> *9_D(?, ，且RDrDCT -
所以Q丄平面3CD・ZBDC = PO i)所以=£妙CD=*Jt0-打・于是匚十土加§斗
£ —v)$ ° -的$ + 337。

」划
』1「2“G—卫―(3 —x)T 2
二—— ------------------------- —=,
-12L 3 _ 3
当且仅^2i=3-.n即工=1时，等号咸立，
故当工=1,乐加=1时"三棱锥A-BCD的体积最大.
解法2:
同解法1,得V A
1
BCD
3
AD S BCD
1
-(3 x)
3
-x(3
2x)
1 . 3 - 2
(x 6x
6
9x).
令 f (x) -(x3
6
2
6x9x)，由f1
(x) 尹
1)(x3)0，且0 x3，解得x
当x (0,1)时, f (x)0 ;当x(1,3)时， f (x)0所以当x 1时，f(x)取得最大值.
故当BD 1时,三棱锥A BCD的体积最大.
（ID 解袪h 以D 为原点，建立如圈占所示的空间直角坐标系D_z
由（I ）知，当三棱黑七-BU7的体和最大时！ BD -L ^^CD=2. 于杲可得DQQ% 段仏QQ ），C （12,0h 执0=6 2｝，」“AU ），丄仍， 且勿=（-L 1. 0・
设机①扎小 M^7=（--T Z -1:0）.因为EV 丄3釈寺价于畐丽入 即
(—^-1,0) (-l : l ; 1> 1-Z-^O,故打(Q,f
所以当DX=1 （專1¥是3的靠近点口的一个四等分点）时，£V .
第19题解答图
如图b ,取CD 的中点F ，连结 MF , BF , EF ，贝U MF //
设平SJ3MY 的一个法向量対“gm 由
汇壽严軌（7訓
得*
■
，-f
可取 M =(L 2. -
1).
设三V 与平面弐“所成角的大小沖&.则由Zv =（-l ?-l a o>
n =(1: 2 -1)・可得
^■11 & = co^9C ：
- 0)
邑即^ = 60:.
故EN 与平面BMN 所成角的大小为 60°.
解法2：由（I ）知，当三棱锥 A
BCD 的体积最大时，BD 1 , AD CD 2 . AD .
C
图c
图d
由（I）知AD 平面BCD，所以MF 平面BCD .
如图c,延长FE至P点使得FP DB，连BP , DP，则四边形DBPF为正方形, 所以DP BF .取DF的中点N，连结EN，又E为FP的中点，贝U EN // DP , 所以EN BF .因为MF 平面BCD，又EN 面BCD，所以MF EN .
又MF I BF F，所以EN 面BMF .又BM 面BMF，所以EN BM .
因为EN BM当且仅当EN BF ,而点F是唯一的，所以点N是唯一的.
即当DN 1（即N是CD的靠近点D的一个四等分点），EN BM .
2
连接MN , ME，由计算得NB NM EB EM 5,
2
所以△ NMB与厶EMB是两个共底边的全等的等腰三角形，
如图d所示，取BM的中点G，连接EG , NG ,
则BM 平面EGN .在平面EGN中，过点E作EH GN于H ,
则EH 平面BMN .故ENH是EN与平面BMN所成的角.
在厶EGN中，易得EG GN NE —2，所以△ EGN是正三角形，
2
故ENH 60°，即EN与平面BMN所成角的大小为60°.
28. [ 2012高考真题新课标理19】（本小题满分12分）
1
如图，直三棱柱ABC A B1C1中，AC BC - AA1,
2
D是棱AA的中点，DC1 BD
(1)证明：DC1BC
（2）求二面角A BD C1的大小.
【答案】（i）在RtADAC中，AD = AC
得匸^£DC = 45：
同理：=45==> ZCDC =90=
得：z）q丄DC:DC^丄月Q =Z>G丄面卫切丄刀c
（2）DC}_5<?耳卫U_面tQU"二5C_ AC
取用£：的中点O*过点0作OH _BD于点厅，连接CQC\H
4G = 旺今Cp一J 面迪丘心一面A ED m CQ丄面4血>
OH _ED得’点.H与点D重仓
且一CQO杲二面角皓—卫◎ —G的平51弟
设AC = a・则C^0= —, CJ> = 4ia =ZCjDO = 30'
gjt-fi®曲-BD一C；的大小背兀：
29.【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱ABC ABG中，AB I A" , D ,E分别是棱BC,CC i上的点（点D不同于点
C ）, 且A
D DE，F为B i C i的中点.
求证：（1）平面ADE 平面BCC1B1；
（2）直线AF II平面ADE .
【答案】证明.(1) 丁■占场G是直三■樹£「.CG丄平S ABC・
又■/ .-L&c平面ABC, .\Ca iAD B
又丫Q丄DG CG DEu平面BCC}B:g：宀DE=E…冷D一平百恥口耳.
又丁.」Du平面ADE ,二平面.丄DE 一平面3CC. B.・
⑵A3- - AC- ,F为品匚的中点，・■■肩F丄莓q•
又丫CC.丄平面AB.C.,且T F C 平酝/. CC._ .1' °
a "C V ■£+ ■■*■V ■!T
乂T UU RC 二平面SCC B.,CC?^C, = C,»-'-4^ 丄平面川西G・«■ a«■■■■■■■■由(1)知.AD-平面RCg …
又■/ AD二平面QE：斗F塔平面.ADE,二直^AF平面.虹疋
证平面ADE 平面BCC1B1，只要证平面ADE上的AD 平面BCGR即可。

它可由已知ABC ABG是直三棱柱
和AD DE证得。

(2)要证直线AF //平面ADE，只要证AF //平面ADE上的AD即可。

32.【2012高考真题北京理16】(本小题共14分)
如图1,在Rt△ ABC 中，/ C=90° BC=3 , AC=6 , D, E 分别是AC , AB 上的点，且DE // BC, DE=2，将
△ ADE沿DE折起到△ A1DE的位置，使AQ丄CD,如图2.
(I) 求证：A1C丄平面BCDE ;
(II) 若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(III) 线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由
【答案】解：(1) Q CD DE , AE DE
DE 平面ACD , 【解析】(1)要
又Q AQ 平面ACD , AQ DE
设平面ABE 法向量为n
1, 0 , 3 uuuu r CM n -uuur — |CM | |n|
unr
A 1
B uuu i A 1E
3y 2 3z 2x
1, 2, 3
又•••
1,0,. 3 ■-
CM
与平面ABE 所成角的大小45 。

(3)设线段酣上存在点乩设F 点坐标洵卩G 0 ,则“飞，3]
则 4?= l-Oi g -2羽卜 2>P=(2S at 0) 设平面"DP 法向莖为坷J-] J 畫J’
\a)\ -2>/3z )-0
I X 、-dfl'. =0 \ 1 V II
假设平面SF 写平面主百£垂直,
则齐斤■(),
・\ 3a-12
石口・一
12, a
时二不存在銭段孔上存在点.乩 使平面平面吗歷垂弍
r
r
A
理20】(本小题满分15分)如图，在四棱锥 P —ABCD
ABCD , FA = 2 .6 , M , N 分别为 PB , PD 的中点. (I )证明：MN // 平面 ABCD ; (H )过点A 作AQ 丄PC ,垂足为点 Q ,求二面角
33. 【2012高考真题浙江
中，底面是边长为 2 3的菱形，且/ BAD = 120°且PA 丄平面
A —MN —Q 的平面角的余弦值.
又AC CD ,
A i C
平面BCDE 。

(2)如图建系
C xyz ，则
D 2, 0, 0 , A 0 , 0, 2.3 , B 0 ,3, 0 ,
E 2 , 2 , 0
luir 二 AB
l uuur
0 , 3 , 2 3 , A 1E
2, 1 , 0
…cos
.1 4 3 1 3
【答案】(I )如图连接BD . ••• M , N 分别为PB , PD 的中点, •••在 PBD 中，MN // BD . 又MN 平面ABCD ,
• MN // 平面 ABCD ; (n )如图建系: 0)，P(0，0，26)，M( ,I , 0),
R
N( 3 , 0, 0), C( 3 设
Q(x ,
uuu y , z), 则CQ uuu PPL •/ CQ CP ( 3 , LPLT uuu
umr 由OQ CP OQ 即：Q( 2 3 2
2 , 2 6)
A(0，0， 3 ,2.6 ), ,3, 0). (x .3, y uuu CP 0 ,得:
(第 20
3,
z), CP ( ,3, 3, 2 6).
• •• Q( 3
,3 , 3 3 ,2.6 ).
对于平面设其袪向重沏耳■（凸叽
■「初=（一芽，4s°＞蔵=（岳山0）.
同理对于平面曲^得旦法向量v = （75 L 一晶.
记所求二面埔A—1K^—C的平面角丈小齿4
二所求二而角L越F的平而角的余往值为匹.
*
40. [ 2012高考真题湖南理18】（本小题满分12分）
如图5,在四棱锥P-ABCD 中，PA丄平面ABCD , AB=4 , BC=3 , AD=5，/ DAB= / ABC=90 , E 是CD 的中
占
八、、-
（I）证明：CD丄平面PAE;
（n）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.
【答案】解法1（I如图（D）,连接AC由AB=4, 5C = 3,厶4占匸=90：得TC二至
又」D=5jE是CD的中点，所以CD —*花一
V旳一平面討处CD匚平EJ5CP,所以ET _ 3.
而尸TJE■是平面FAE內的两条相交直銭，所狠CD丄平而FAE.
C II ）过蠱E作眉G C0分别母匹/D相交于F；G；连按戸戸一
由（I） CD丄平ffi FAE M- B G±平面FAE-于是-EFF九直线F日与平面FAE
所成的:®,且BG-AE.
AB 4, AG 2,BG AF ,由题意，知PBA BPF,
PA BF
因为sin PBA,sin BPF,所以PA BF.
PB PB
90°知，AD//BC,又BG//CD,所以四边形BCDG是平行四边形，故GD BC 3.于是AG 2.
在RtABAG 中，AB 4, AG 2,BG AF,所以
BG AB2AG2 2 .5,BF AB2
BG
16 8.5
2、5 5
是PA BF詈
又梯形ABCD的面积为S 1
-(53)
16,所以四棱锥P ABCD的体积为
V - S PA - 3 3 16
8.5
5
128 -5
15
PA 平面ABCD知，PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.
由DAB ABC
2
解法2:如图（2）,以A 为坐标原点，AB, AD,AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系•设
PA h,则相关的各点坐标为:
A(4,0,0), B(4,0,0), C(4,3,0), D(0,5,0), E(2,4,0), P(0,0, h).
(I )易知 CD = (-4:1 OX
=(2:4: OX AP = (0:0: ；0.
C3-a£ = -8 + S^0 = 0T CP J? = 0,所UACDi 迟而沖,4£ 是平面 F1E 内的两条相交直线，所以CD _平面丹E
（II ）由题设和（I ）知，苛±工？分别量平面PAE.平fflJSCD 的法向墾 而丹与
平面E 匹所航的角和旳与平面^仞所咸的角相等，所以
-（5 3） 4 16，所以四棱锥P ABCD 的体积为
3 $ PA 3 16 哼弩
【2011年高考试题】
uuur uuu uuu uuu
cos CD, PB
cos PA, PB ,即
UUT PA uuu PB ^nu r
uuu
PB
uu u CD
uuu (4,2,0), AP (0,0, uuu
h),由 PB (4,0,
h),故
0 0 h 2 h 16 h 2
8、5 5
又梯形ABCD 的面积为S
y
uur PB
UULT UUU CD
PB uuur CD 由（I ）知,
16 0 0
解得h。