数学史概论上ppt

《九章算术》的数学成就
（1）算术方面
（i）分数四则运算法则 （ ii）比例算法: “今有术”：a : b = c : x → x=bc/a （iii）盈不足: 是以盈亏类问题为原型, 通过两次假设来 求繁琐、困难的算术问题的解的方法. 如:今有共买物,人出八盈三,人出七不足四,问人数、物价 各几何？ 设人数为x, 物价为y, 每人出钱a1盈b1, 出钱a2不足b2 . 则的“盈不足术”相当于给出如下解法：
《九章算术》的内容
1.方田：主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界 上最早对分数进行系统叙述的著作。 2.粟米：组好事粮食交易的计算方法，其中涉及许多比 例问题。 3.衰（读作“翠”）分：主要内容为分配比例的算法。 4.少广：主要讲开平方和开立方的方法。 5.商功：主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体 积的计算为主。 6.均输：计算税收等更加复杂的比例问题。 7.盈不足：双设法的问题。 8.方程：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减 法，在世界数学史上是第一次出现。 9.勾股：勾股定理的应用。
3 x 2 y z 39, 问题相当于解一个三元一次线性方程组： 2 x 3 y z 34, x 2 y 3 z 26. 注：关键算法: 遍乘直除, 即Gauss 消元法.
(ii)正负术: 正、负数的加减运算法则 同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之.其异名相除, 同名相益,正无入正之,负无入负之.
第4讲 日照东方—古代与中世纪的东方数学
一、中国传统数学 二、印度数学 三、阿拉伯数学 四、中国与印度、阿拉伯的数学交流
中世纪数学的主角： 中国、印度与阿拉伯地区的数学。 东方数学特色：强烈的算法精神 所谓“算法”并不是单纯的计算，而是为了解 决一整类实际或科学问题而概括出来的、带有一般 性计算方法。 注：东方数学在文艺复兴以前通过阿拉伯人传播到 欧洲，与希腊式的数学交汇结合，孕育了近代数学 的诞生。
一、 中国传统数学
1 2 3 4 中国数学的起源与体系形成 中国数学理论的深化 中国数学发展的高峰 中国传统数学的式微
1 中国数学的起源与体系形成
史前至两汉时期
1.1 中国传统数学的奠基
萌芽（石器时代、青铜时代）原始社会、夏商周 积累与奠基（春秋战国时代、秦、西汉）
1.2 《周髀算经》与数理天文学 1.3 《九章算术》与中国传统数学的体系
(iii)开方术: 开平方和开立方的算法
本质: 减根变换 过程: 开方术相当于解方程: x2=A. 设解 x 是一个 k 位数 ,
令x=10k 1x1 , 方程变为: 102k 2x12 = A , 仪得x1的整数部分, 记
为
x1
2 b1 x2 A , 令 x1 x1 101 x2 ,则方程变为: a1 x2 1 ,
1.2 《周髀算经》与数理天文学
《周髀算经》:
数学著作,天文学著作. “盖天说”的代表. 约成书于西汉时期(公元前2 世纪). 数学内容:学习数学的方法、 用勾股定理来计算高深远近和比 较复杂的分数计算等.
盖天说 日高术 宋版书影 勾股定理
商高定理-----勾股定理
“勾广三,股修四, 径隅五” “……以日下为勾, 日高为股,勾股各自 乘,并而开方除之,得 邪至日.”
Y 2 Yi 2 Yn , B 2i 1 Bi 2n Bn
i 1 n i 1 i 1 n n
已知部分属阳马的体积为 i 1 2i 1Yi , 属鳖臑的体积为
n
i 1 2 i 1 Bi , 两者之比恒为2:1 . n
未知部分的体积, 若记为
un , 并不妨设原壍堵体积为1, 则
外棋3
外棋1 内棋
外棋2
H E F
G a O K R
a
V a Z W
a T a h h S
U
L
M
I h A Da a
N Q P J a
B
h
C
h X
Y
因为 IJ2 — MN2 = AB2 — IP2 = AP2 — (AP2 —AI2 ) = AI2 = h2 = S WXYZ 故 S + + S S PJQN QNOK IPNM
n 1
un 2 (Yn Bn ) 2
n
n 1
2(Yn Bn ) 2
1 1 4 8
n 1
1 n 0 4
刘徽认为无限剖分下去, 则得不易之率： Y : B =2:1
（四）球体积公式证明的尝试
刘徽结论
刘徽: 敢不阙疑, 以俟能言者！
内切球体积 = 牟合方盖体积
刍童（上下底面都是长方形的棱台）体积公式：
b a
h V [(2b d )a (2d b)c] 6
d 羡除（三个侧面均为梯形的楔形体）体积公式为：
c
1 V (a b c )h l 6
圆面积公式：
AR
2
这里圆周率 取3.
2 中国数学理论的深化——从刘徽到祖冲之
学术界思辨之风再起 在数学上也兴起了论证的趋势
最杰出代表: 刘徽、祖冲之父子
2.1 刘徽与《九章算术》注
生卒不详
公元263年撰《九章算术注》
最主要成就： 割圆术
面积、体积理论
（一）刘徽的割圆术-----极限方法
割圆术的要旨是用圆内接正多边 形逼近圆。 指出:割之弥细,所失弥少,割之 又割,以至于不可割,则与圆合体而 无所失矣. 设圆面积为 Sn ,半径为r ,圆内接正 n 边形的边长为 ln , 周长为 Ln ,面积为 Sn , 将边数加倍后, 得到圆内接正 2n 边形, 其边长, 周长, 面积分别记为 l2n , L2n ,S2n .刘徽注意到当 ln 已知,由勾股 定理可以求出 l2n .即：
立方
堑堵
堑堵
阳马 = 1 小立方+2 小堑堵+2 小阳马 = 2 小立方+2 小阳马
鳖臑 = 2 小堑堵+2 小鳖臑 = 1 小立方+2 小鳖臑
不易之率：阳马体积Y与鳖臑体积 B 之比为2:1
阳马中除去两个小阳马部分的体积(记为 Y1 )为鳖臑中除去两 个小鳖臑部分的体积(记为 B1 )的2倍, 他们合在一起的体积应 占原壍堵体积的3/4 (刘徽称为“已知”部分), 因而剩余部分 (即两个小阳马和两个小鳖臑)的体积应占原壍堵体积的1/4 (称 Y1 , B1 为“未知”部分). 若分别用 记每个小阳马和小鳖臑的 体积,则 Y Y1 2Y1 , B B1 2 B1 对每个小阳马和每个小鳖臑作同样的剖分,则n次剖分后有:
1 2
ln r
S 2 n S 0 S 2 n (S 2 n S n )
刘徽取半径为一尺的圆, 计算到192边形, 得出精确到两位小 数的圆周率的近似值
3.14
化为分数即为: 157/50 , 这就是著名的“徽率”.
（二）刘徽的面积理论
出入相补原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割
2.2 祖冲之父子的数学成就
祖冲之与祖暅 主要数学成就：
(1) 圆周率
(2) 祖氏原理与球体积

（一）祖冲之--《缀术》与圆周率
3.1415926 (朒(nv)数) < π < 3.1415927 (盈数) 割圆术: 正六边形出发, 连续算到正24576边形, 恰好可以得 到祖冲之的结果. 圆周率分数形式的近似值：
22 约率： 7
355 密率： 113
现代数论中,如果将圆周率表示成连分数,其渐近分数为:
3 22 333 355 103993 104348 , , , , , , 1 7 106 113 33102 33215
.
（二）祖暅--球体积公式与祖暅原理
祖暅原理：幂势既同,则积不容异
意即:位于两平行平面之间的两个立体,被任一平行于这 两平面的平面所截,如果两个截面的面积恒相等,则这两个立 体的体积相等.
D
π 4
牟合方盖体积 外切立方体积 = ？
D
D
D
外棋3
外棋1
内棋
外棋2
问题关键：如何求外三棋体积和 与小立方体积关系
（五） 刘徽著《海岛算经》
最初是附于他所注的
《九章算术》(263)之后, 唐 初开始单行, 体例亦是以应 用问题集的形式 . 全书共9题, 全是利用测 量来计算高深广远的问题, 首题测算海岛的高、远, 故 得名.《海岛算经》是中国最 早的一部测量数学著作, 亦 为地图学提供了数学基础.
（1）汉简《算数书》
《算数书》: 1983年12 月在湖北江陵张家山出 土一本西汉初年的竹简, 收有许多应用的数学问 题. 现已整理出版(包括 竹简照片和释文).
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（2）《九章算术》
《九章算术》共收有 246个数 学问题，分为九章。分别是：方 田、栗米、衰分、少广、商功、 均输、盈不足、方程、勾股。 《九章算术》是世界上最早系 统叙述了分数运算的著作；其中 盈不足的算法更是一项令人惊奇 的创造；“方程”章还在世界数 学史上首次阐述了负数及其加减 运算法则。
成若干部分后,面积或体积的总和保持不变。
极限方法
勾股定理的证明
（三）刘徽的体积理论-----阳马术
立方= 2 堑堵
堑堵= 阳马 + 鳖臑
阳马 = 2鳖臑
1 鳖臑= 立方 6
1 阳马= 立方 3
1 堑堵= 2立方
阳 马 术
鳖臑
阳马
堑堵
阳马 = 2鳖臑
堑堵= 阳马 + 鳖臑
阳马
堑堵 阳马 阳马 鳖臑 鳖臑 堑堵
二次方程的数值求解算法称为“开带从平方法”.
“开方术” 指出了开方有开不尽的情形： “若开之不尽者，为不可开”。 不尽根数专门的名字——面
（3）几何方面
几何问题具有很明显的实际背景.所有直线形的面积、 体积公式都是准确的.如: 正方形、矩形、三角形、梯 形、长方体、正方体、底面为长方形而有一棱与底面 垂直的锥体、上下底面都是长方形的棱台等.
其中
2 k 2 2 a1 102k 2 102 ; b1 102k 2 101 2x1 ; A A 10 x 1 1
再议得x2的整数部分,记为
x 2 ,令 x2 x 2 101 x3 , 则方程变
2 为: a2 x3 b2 x3 A2 , 其中
a2 a1 102 ; b2 (2a1x 2 b1 ) 101 ; A2 A 1 (a1 x 2 b 1) x2 上述过程一直下去.
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勾股定理的证明
弦 图
c
b a b2
a2
日S
日高公式（重差术）
日高
c A’
前表 日远
O’ h 南戴日下 O
B’
前影
h A
h 后表 C B
后影
a
b
D
表高h ×表距e 日高SO = c + 表高h = + 表高h 影差d
影差d =后影长BD — 前影长AC = b — a 表距AB = e
1.3 《九章算术》与中国传统数学的体系
x
b1 b2 a b a2b1 y a1b2 a2b1 , y 1 2 , a1 a2 a1 a2 x b1 b2
（2）代数方面
(i)方程术: 线性方程组的解法 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗； 上禾 二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二 秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？
E A
C G B
F
r
O
r r
2 2 2 1 2 n
l 2n AC AG CG ( l ) [r r ( l ) ]
2 2 2 1 2 n
1 S 2 n n ( AB OD) n Ln r 2 2 在内接 n 边形的每边上作一高为 CG 的矩形, 则