HILBERT空间

Hilbert 空间

定义：完备的内积空间称为Hilbert 空间 （1）内积

线性空间K 上的一个共轭双线性函数(,):v K K K ⋅⨯→ 称为一个内积，如果它满足

a: (,)(,)x y y x = (,)x y K ∀∈ (共轭对称性)

b: (,)0x x ≥ ()x K ∀∈ (,)0x x x θ=⇔= (正定性)

（2）具有内积的线性空间称为内积空间

（3）完备 空间中所有基本列都是收敛列就称该空间是完备的

Hilbert 空间能将更多的集合概念，如角度、垂直性等成功地引入

中线公式 2

2

22

2()x y

x y

x y ++-=+

证明：,,,x y x y x y x y x y y x +=++=+++ 同理有,,,x y x y x y x y x y y x -=--=+-- 故等式显然成立

定义：（1）设,x y X ∈若(,)0x y =，则说x 与y 正交，记作x y ⊥

（2）设{:}i x i I X ∈⊂，若当i j ≠时i j x x ⊥，则称{}i x 为正交系（或正交集、正交组），若{}i x 是正交系且1i x =（i I ∀∈）则称{}i x 为标准正交基。

（3）设,A B X ⊂,约定A B ⊥ ,:;{}a A b B a b x A x A ⇔∀∈∈⊥⊥⇔⊥

{:}A x X x A ⊥=∈⊥称A ⊥为集A 的正交补

★定理：

设{:}i e i N ∈是Hilbert 空间X 中的标准正交系，则以下条件互相等价 （1）对每个x X ∈有以下Fourier 展开式1

i i i x x e ∞

∧

==∑，

其中,(1,2,)i

i

x x e i ∧∆=<>=⋅⋅⋅称为x

关于{}i e 的Fourier 系数 （2）{}i e 是X 的基本集

（3）{}i e 是极大正交系，即若i x e ⊥ (1,2,)i =⋅⋅⋅，则必有0x =

（4）任给x X ∈，成立以下Parseval 等式：2

2

1

i i x x ∞

∧

==∑

证 显然（1）⇔（2）

（2）⇔

（3） 设条件（2）满足，i x e ⊥ (1,2,)i =⋅⋅⋅，取{}n x X ⊂，使n x x → ()n →∞，且每个n x 是{}i e 的有限线性组合，则必有,0n x x <>=(1,2,)n =⋅⋅⋅，从而

2

l i m ,0

n n

x x x =<>=，这推出0x = （3）⇒（1）

设条件（3）满足。取定x X ∈，是令1

n

n i i i s x e ∧

==

∑。有直接计算得出

2

222

1

n

n n

i i x s x s x ∧=--==∑，1,2,n =⋅⋅⋅

由上式可推出

2

2

2

1

lim n

i n

n

i x s x ∧==≤∑

，可见级数2

i x ∧

∑收敛。从而可以推出当

m n >时2

2

2

0(,)m n

i i

i n i m

n i m

s s x e x m n ∧

∧<≤<≤-=

=

→→∞∑

∑

，因此{}n s 是Cauchy 列。设

n s y →()n →∞。任给i N ∈，有

1,lim ,lim ,0n

i n i j j i i j n

n

y x e s x e x e e x ∧

∧

=<->=<->=<>-=∑

于是由条件（3）推出0y x -=，即{}n s x →()n →∞，这正表明Fourier 展开式成立 即有n s x →2

2

n s x ⇔→，这说明（1）⇔（4）

标准正交基

当{}i e 满足上面定理的条件（1）时，称它为X 的标准正交基。上述定理表明，若{}i e 是

X 的标准正交基，则每个x X ∈有依{}i e 的分解式极易推出内积公式,i

i

x y x i y -

∧

∧

<>=∑

有时候就称x 关于基{}i e 的正交坐标。对应2

:,()i T X l x x ∧

→→显然是一等距同构，这一同构保持内积的对应,,Tx Ty x y <>=<>，因而X 与2

l 作为Hilbert 空间是实质上并无不同。这样，借助于标准正交基实现了从X 到2

l 的转化

以上结论的前提是某个标准正交基{}i e 存在。然而，必定有这样的基存在。设X 是

一个可分的无限维Hilbert 空间。取线性无关的无限序列{}n x X ⊂，使{}n x 是X 的基本基，然后依如下的Schmidt 正交化方法将其正交化方法将其标准正交化：令

111

1;,,2,3,;,,1,2,,n n i n n i i i i n n n y x x y y x y n y y y

e n y -=⎧⎪=⎪

<>⎪

=-=⋅⋅⋅⎨<>⎪

⎪==⋅⋅⋅⎪⎩

∑

则{}n e 是一标准正交系且必满足上面的定理中的条件（2），因此是X 的标准正交

基。

正交分解定理

设A 是Hilbert 的闭子空间，则有直和分解X A A ⊥

=⊕

证 易直接验证A ⊥

是X 的闭子空间，且A A ⊥

⋂{0}=，故只需证X A A ⊥

=+ 取定x X ∈，我们需要得a A ∈，使x a A ⊥

-∈。直观上，课想象a 是从x 引向A 的垂线的“垂足”。取(1,2,)n x A n ∈=⋅⋅⋅，使(,)n x x d x A ρ-→=

()n →∞ 由中线公式有2

2

2

2

2242

m n

m n

m n x x x x x x x x x +-=-+---

22

22240(,)m n x x x x m n ρ≤-+--→→∞

可见{}n x 是Cauchy 列。设n x a →A ∈，而A 是闭的。令,b x a =-，则,x a b b ρ=+=

。

余下只需证b A ⊥

∈，即:,0y A b y ∀∈<>=。取定y A ∈，不妨设0y ≠。a K ∀∈，有

22

22

2

2

(),,x a ay b ay

a b y a y b a

y

ρρ-

≤-+=-=-<>-<>+

以2

,b y a y

<>

=

代入得22

,2,b y b y <>≥<>，这推出,0b y <>=

由正交分解定理中的a A ∈是A 中元对x 的最佳逼近。因()x a A -⊥，也称a 是x 在A 上