不等式证明常用方法

不等式证明的常用方法

17世纪之后，不等式的理论成为数学理论的重要组成部分。经过高斯、柯西、切贝晓夫等对不等式问题的研究，该理论得到非常快的发展，人们也一直在对不等式进行不断的完善，取得许多重要成果。不等式不仅有重要的理论意义，在实践方面运用于工程技术领域对它的生产有很大的作用。证明不等式的方法不仅有丰富的逻辑推理、也很讲究的不等变形和恒等技巧问题，为什么不等式证明的问题辅导老师觉得难讲、学生不会做呢？很大的原因是因为我们常见和常用的方法经常不知道怎么用，因此，我想有必要对不等式的证明方法进行总结归纳。

一、比较法

比较法是分为做差比较和作商比较，它是不等式证明中常用到的方法的之一，是中学数学不等式证明中最基础、最重要的方法。求差法的理论依据是不等式的基本性质：.

其一般的步骤为：

作差：对要比较大小的两个数作差；

变形：对差进行因式分解或配方成几个数或式的完全平方和；判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.

若两个正数作差比较困难，可以通过它们的平方差比较大小.求商法的理论依据是：

其一般的步骤为：

（1）作商：对要比较大小的两个数作商（除数不能为0）；

（2）变形：对商式进行变形，转换为其相应的等价不等式；（3）判断商的值：结合变形的结果及题设条件判断商的值大于还是小于1。

总结：一般的，证明对数不等式、整式不等式常用作差法；证明幂、指数不等式常用作商法。在证明过程中最重要的是“变形”，他和一般的化简有所不同。“变形”的方法很多有：配方法、因式分解法、通分法等，总而言之就是到达能够判断差于0的大小；商于1的大小。

二、分析法

分析法是用分析论证，“若a则b”这个问题模式是：欲证b的真，只需证明b1的真，从而又……，只需证明a为真，故b真。可见分析法是拿果索因，步步寻求上一步成立的充分条件，写出简要的形式为：

这就是假设不等式成立，然后利用不等式的基本条件，逐步推演，变形，最后得到一个简单明显成立或已证明成立的不等式；而推证又可逆，我们就可以判定不等式成立，这种方法是我们证明不等式的基本方法之一。

总结：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否成立的问题。如果能够肯定这些充分条件成立，那么就可以判断原不等式成立，这就是分析法。一般情况是直接推理不容易，就从结论找条件来推理。

三、综合法

综合法利用已知事实和一些性质和定理作为基础，在分析题目条件过后，由因得到结果。这是经过环环相扣的逻辑推理，水到渠成的推出我们要要证明的不等式的过程。

四、换元法

五、放缩法

总结：构造函数法是证明不等式的一个重要方法，其实质是用已知条件中的元素为“元件”，用已知数学关系为“支架”，构造出相应的函数模型，从而使不等式问题转化为函数问题并得以证明，因此，如何构造函数，构造怎样的函数成为证明的关键。从多个角度举例说明如何构造函数来证明不等式。

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