向量法解立体几何习题
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F
E A'
C'
B
B'
C
A
向量法解立体几何
1、四川19.(本小题共l2分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,AB =AC =AA 1=1,延长A 1C 1至点P ,使C 1P =A 1C 1,连接AP 交棱CC 1于D .
(Ⅰ)求证:PB 1∥平面BDA 1;
(Ⅱ)求二面角A -A 1D -B 的平面角的余弦值;
2. (全国大纲文)如图,四棱锥S ABCD -中,AB ∥CD,BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形,
2,1AB BC CD SD ====.
(I )证明:SD ⊥平面SAB ; (II )求AB 与平面SBC 所成的角的大小。
3、重庆文.(本小题满分12分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问6分) 如题(20)图,在四面体ABCD 中,平面ABC ⊥平面ACD ,
,2,1AB BC AC AD BC CD ⊥==== (Ⅰ)求四面体ABCD 的体积;
(Ⅱ)求二面角C-AB-D 的平面角的正切值。
4、. (湖北文)如图,已知正三棱柱A B C -111A B C 的底面边长为2,侧棱长为32, 点E 在侧棱1A A 上,点F 在侧棱1B B 上,且22A E =,2BF =. (I ) 求证:1C F C E ⊥;(II ) 求二面角1E C F C --的大小。
5、、(2006年高考题)如图1,1l 、2l 是互相垂直的异面直线,M N 是它们的公垂线,点A 、B 在1
l 上,C 在2l 上,MN MB AM ==。
证明:NB AC ⊥。
6、如图,直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中,D 、E 分别是BC 、A 1B 1的中点. (1)证明:BE//平面A 1DC 1;
(2)若AB=BC=AA 1=1,∠ABC=90°求二面角B 1—BC 1—E 的正切值. 7、、如图,四棱锥ABCD P -的侧面PAD
垂直于底面ABCD ,090=∠=∠BCD ADC ,22====BC AD PD PA ,3=CD ,
M 在棱PC 上,N 是AD 的中点,二面角C BN M --为030。
(1)求
MC
PM
的值;(2)求直线PB 与平面BMN 所成角的大小。
8、如图,在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,
SA ⊥平面ABCD ,2,1,AB AD ==7SB =,120,BAD E ∠=在棱SD 上,且3SE ED =. (I )求证:SD ⊥平面;AEC (II )求直线AD 与平面SCD 所成角的大小
9、如图所示,三棱柱'''C B A ABC -中,四边形''B BCC 为菱形,o BCC 60'=∠,ABC ∆为等边三角形,面
⊥ABC 面''B BCC ,F E 、分别为棱'CC AB 、的中点; (Ⅰ)求证://EF 面BC A '';(Ⅱ)求二面角B AA C --'的大小。
1四川19如图,以A 1为原点,A 1B 1,A 1C 1,A 1A 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系A 1-B 1C 1A ,则1(0,0,0)A ,1(1,0,0)B ,1(0,1,0)C ,(1,0,1)B ,
(0,2,0)P .
(Ⅰ)在△P AA 1中有1112C D AA =,即1(0,1,)2
D . ∴1(1,0,1)A B =,1(0,1,)A D x =,1(1,2,0)B P =-. 设平面BA 1D 的一个法向量为1(,,)a b c =n ,
则1111
0,
10.2
A B a c A D b c ⎧⋅=+=⎪
⎨⋅=+=⎪⎩n n 令1c =-,则1
1(1,,1)2=-n . ∵111
1(1)2(1)002
B P ⋅=⨯-+⨯+-⨯=n ,
∴PB 1∥平面BA 1D ,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面BA 1D 的一个法向量
11
(1,,1)2
=-n .
又2(1,0,0)=n 为平面AA 1D 的一个法向量.∴
12121212
cos ,3||||3
12
⋅<>=
==⋅⨯n n n n n n .
故二面角A -A 1D -B 的平面角的余弦值为2
3
. 2. (全国大纲文)20以C 为坐标原点,射线CD 为x 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz 。
设D (1,0,0),则A (2,2,0)、B (0,2,0)。
又设(,,),0,0,0.S x y z x y z >>>则
(I )(2,2,),(,2,)AS x y z BS x y z =--=-,
(1,,)DS x y z =-,
由||||AS BS =得
222222(2)(2)(2),x y z x y z -+-+=+-+
故x=1。
由22||11,DS y z =+=得
又由222||2(2)4,BS x y z =+-+=得
即2
2
13
410,,2y z y y z +-+===
故 …………3分
于是
133333
(1,(1,,),(1,2222S AS BS =--=-,
13
(0,,),0,0.22
DS DS AS DS BS =⋅=⋅=
故,,,DS AD DS BS AS BS S ⊥⊥=又
所以SD ⊥平面SAB 。
(II )设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =,
则,,0,0.a BS a CB a BS a CB ⊥⊥⋅=⋅=
又33
(1,,),(0,2,0),22
BS CB =-=
故33
0,2220.m n p n ⎧-+
=⎪⎨⎪=⎩
(9)
取p=2得(3,0,2),(2,0,0)a AB ==-又。
21
cos ,7||||
AB a AB a AB a ⋅=
=⋅ 故AB 与平面SBC 所成的角为21
arcsin
7
3(重庆文)2011解法二:(I )如答(20)图2,设
O 是AC 的中点,过O 作OH ⊥AC ,交AB 于H ,过O 作OM ⊥AC ,交AD 于M ,由平面ABC ⊥平面ACD ,知OH ⊥OM 。
因此以O 为原点,以射线OH ,OC ,OM 分别为x 轴,y 轴,z 轴的正半轴,可建立空间坐标系O —xyz.已知AC=2,故点A ,C 的坐标分别为A (0,—1,0),C (0,1,0)。
设点B 的坐标为
11(,,0),,||1B x y AB BC BC ⊥=由,有
22
1122111
1111,(1)1,
3322().11,22
x y x y x x y y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩⎧
⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨
⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩解得舍去
即点B 的坐标为31
(,0).2
B 又
设
点
D 的坐标为
22(0,,),||1,||2,D y z CD AD ==由有 22
2222222222(1)1,(1)4,
33,,44).1515y z y z y y z z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩⎧⎧==⎪⎪⎪⎪
⎨⎨
⎪⎪==⎪⎪⎩⎩解得舍去
即点D 的坐标为315
(0,4D 从而△ACD 边AC 上的高为215||4
h z == 又2231
||()(1)3,|| 1.22
AB BC =++==
故
四面体ABCD 的体
积
115
||||32V AB BC h =
⨯⋅⋅= (II )由(I )知33715
(
,,0),(0,,2244
AB AD == 设非零向量(,,)n l m n =是平面ABD 的法向量,
则由n AB ⊥有
33
0.2
m += (1) 由n AD ⊥,有
7150.4m += (2) 取1m =-,由(1),(2),可得
715715
3,(3,).l n n ===-即
显然向量(0,0,1)k =是平面ABC 的法向量,从
而
7157109
15
cos ,49
3115
491215109tan ,7109
n k n k <>==++
-
<>=
=故
即二面角C —AB —D 的平面角的正切值为
2157
4. (湖北文解法2: 建立如图所示的空间直角坐标系,
则由已知可得
1(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,2,32),(0,0,22),(3,12)A B C C E F
(Ⅰ)1(0,2,2),(3,12)C E CF =--=- 10220C E CF ⋅=+-=
1.CF C E ∴⊥
(Ⅱ)(0,2,22)CE =-,设平面CEF 的一个法向量为(,,)m x y z =
由0,
,,0,m CE m CE m CF m CF ⎧⋅=⎪⊥⊥⎨⋅=⎪⎩得
即220,
2,1)320
y z m x y z ⎧-+=⎪=-+=可取
设侧面BC 1的一个法向量为
1,,,(3,1,0)n n BC n CC CB ⊥⊥=-由及 )0,3,1(),23,0,0(1==n CC 可取
设二面角E —CF —C 1的大小为θ,于是由θ为
锐角可得
||62
cos ||||232
m n m n θ⋅=
==
⋅⨯,所以45θ=︒
即所求二面角E —CF —C 1的大小为45︒。
5(2006年高考题)证明:建立如图1所示空
间直角坐标系xyz M -,令1=MN ,则有
()()()0,1,0,0,0,1,0,0,1N B A -。
∵MN 是1l 与2l 的公垂线,21l l ⊥,
∴2l ⊥平面ABN , ∴2l ∥z 轴。
故可设 ()m C ,1,0,
于是()()0,1,1,,1,1-==NB m AC 。
∵
()0
011=+-+=•NB AC ,
图1
∴NB AC ⊥。
6【解析】(I )证明:取A 1C 1的中点F ,连结EF ,DF …
E 中A 1B 1的中点 11112
1//C B EF C B EF =∴且
又 四边形BCC 1B 1是矩形, D 是BC 的中点, BD EF BD EF =∴且,// ∴四边形EFDB 是平行四边形, DF BE //∴ 4分
11,
11DC A BE DC A DF 平面面⊄⊂
l 2
A
C
M
l 1B
x z
N
y
11//DC A BE 面∴ 6分
(2)以B 为坐标原点建立空间直角坐标系 1,1===-AA BC AB xyz B
可得)1,2
1
,0(),1,0,1(1E C 7分
则)1,0,1(),1,2
1
,0(1==BC BE 8分
设平面BEC 1的法向量为),,(1111z y x n =
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0111BC n BE n 可得⎩⎨⎧-=-=11112z x z y
令)1,2,1(,111--==n z 则
又由⊥AB 平面B 1BC 1,
则平面11BC B 的法向量)0,1,0(2==BA n
36
6
2||||,cos 212121-=
-=⋅>=
<∴n n n n n n (注:公式、结果各一分) 由图可知二面角B 1—BC 1—E 小于90°所以二面
角E BC B --11的大小为3
6arccos . 10分
∴二面角E BC B --11的正切值为22
7(Ⅰ)建立如图所示的坐标系N —xyz ,其中
N (0,0,0),A (1,0,0),B (0,3,0),C (-1,3,0),D (-1,0,0),P (0,0,3). 设PM →=λMC →(λ>0),则M (-λ1+λ,3λ
1+λ,
3
1+λ
),于是 NB →=(0,3,0),NM →=(-λ1+λ,3λ1+λ,3
1+λ
),………………………………3分 设n =(x ,y ,z )为面MBN 的法向量,则NB →·n =0,NM →·n =0,
∴3y =0,-λx +3λy +3z =0,取n =(3,0,λ),
又m =(0,0,1)为面BNC 的法向量,由二面角M -BN -C 为30︒,得
|cos 〈m ,n 〉|=|m ·n ||m ||n |=λ
3+λ2
=cos 30︒=3
2
,解得λ=3, 故
PM MC
=
3.……………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ),n =(3,0,3)为面MBN 的法向量,……………………………8分
设直线PB 与平面MBN 所成的角为θ,由PB →=(0,3,-3),得
sin θ=|PB →·n |________|PB →
||n |=336×23=64
, 所以直线PB 与平面MBN 所成的角为arcsin 64.………………………………12分 8:依题意易知CA AD ⊥,
SA ⊥ 平面ACD .以A 为坐标原点, SA ⊥ A C 、AD 、SA 分别 SA ⊥ 为,,x y z 轴建立
SA ⊥ 空间直角坐标系,
SA ⊥ 则易得
())()(0,0,0,3,0,0,0,1,0,3A C
D S ,
(
Ⅰ)
由:3SE ED =有
330,4E ⎛ ⎝⎭
,…………………3分 易得
SD AC SD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,从而SD ⊥平面
ACE .……………………6分
(Ⅱ)设平面SCD 的法向量为(),,x y z =n 则
30,30.
DC x y SD y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n ,令
1z =,得
(
)3,1
=n ,…………9分
从
而
301311
152cos ,5||||
15
AD AD AD ⋅+⋅⋅<>=
=
=⋅n
n n ,……………11分
所以AD 与平面SCD 所成角大小为
15
arcsin
5
.………………12分
z
x
y
O F
E A'
C'
B
B'
C A
9、取BC 中点O ,连接',OC AO ,
由题可得BC AO ⊥,又因为面⊥ABC 面''B BCC , 所以⊥AO 面''B BCC ,又因为菱形''B BCC 中
o BCC 60'=∠,
所以BC O C ⊥'.
可以建立如图所示的空间直角坐标系┅┅┅┅2分 不
妨
设
2=BC ,可得)0,0,1(C ,
)0,3,0('C )3,0,0(A ,)0,0,1(-B ,)3,3,1('-A
)0,3,2('-B 所以)0,23
,21(),23,0,21(F E -所以
)3,3,0('),0,3,1('),2
3
,23,
1(==-=BA BC EF ,┅┅┅┅┅┅┅4分
设面BC A '的一个法向量为),,(c b a n =
,则
⎩⎨
⎧=+=+0
330
3c b b a ,不妨取3=a ,则)1,1,3(),,(-=c b a ,所以0=⋅n EF
,又因为⊄
EF 面BC A '',所以//EF 面BC A ''. ┅┅┅7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得)0,3,1('),3,0,1(-=--=AA AB ,
设面B AA '的一个法向量为),,(1111z y x n =
,则
⎩⎨
⎧=+-=--030
311
11y x z x ,不妨取31=x ,则
)1,1,3(),,(111-=z y x .┅┅┅┅┅┅┅8分
又)0,3,1('),3,0,1(-=-=AA AC ,设面C AA '的一
个法向量为),,(2222z y x n =
,则⎩⎨
⎧=+-=-030322
22y x z x ,不妨取32=x ,则)1,1,3(),,(222=z y x .┅┅┅┅┅┅┅10分
所以5
3
||||,cos 212121=⋅⋅>=<n n n n n n
,因为二面角
B AA
C --'为锐角,
所以二面角B AA C --'的大小为53
arccos ┅┅┅┅┅┅┅12分。