向量法解立体几何习题

F
E A'
C'
B
B'
C
A
向量法解立体几何
1、四川19．（本小题共l2分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ．
（Ⅰ）求证：PB 1∥平面BDA 1；
（Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值；
2. (全国大纲文)如图，四棱锥S ABCD -中，AB ∥CD,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，
2,1AB BC CD SD ====．
（I ）证明：SD ⊥平面SAB ； （II ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。

3、重庆文．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分） 如题（20）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，
,2,1AB BC AC AD BC CD ⊥==== （Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；
（Ⅱ）求二面角C-AB-D 的平面角的正切值。

4、. （湖北文）如图，已知正三棱柱A B C -111A B C 的底面边长为2，侧棱长为32， 点E 在侧棱1A A 上，点F 在侧棱1B B 上，且22A E =,2BF =． （I ） 求证：1C F C E ⊥；（II ） 求二面角1E C F C --的大小。

5、、（2006年高考题）如图1，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，M N 是它们的公垂线，点A 、B 在1
l 上，C 在2l 上，MN MB AM ==。

证明：NB AC ⊥。

6、如图，直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，D 、E 分别是BC 、A 1B 1的中点. （1）证明：BE//平面A 1DC 1；
（2）若AB=BC=AA 1=1，∠ABC=90°求二面角B 1—BC 1—E 的正切值. 7、、如图，四棱锥ABCD P -的侧面PAD
垂直于底面ABCD ,090=∠=∠BCD ADC ,22====BC AD PD PA ,3=CD ,
M 在棱PC 上，N 是AD 的中点，二面角C BN M --为030。

（1）求
MC
PM
的值；（2）求直线PB 与平面BMN 所成角的大小。

8、如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，
SA ⊥平面ABCD ，2,1,AB AD ==7SB =,120,BAD E ∠=在棱SD 上，且3SE ED =． （I ）求证：SD ⊥平面;AEC （II ）求直线AD 与平面SCD 所成角的大小
9、如图所示，三棱柱'''C B A ABC -中，四边形''B BCC 为菱形，o BCC 60'=∠，ABC ∆为等边三角形，面
⊥ABC 面''B BCC ，F E 、分别为棱'CC AB 、的中点； （Ⅰ）求证：//EF 面BC A '＇；（Ⅱ）求二面角B AA C --'的大小。

1四川19如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A 1－B 1C 1A ，则1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ，
(0,2,0)P ．
（Ⅰ）在△P AA 1中有1112C D AA =，即1(0,1,)2
D ． ∴1(1,0,1)A B =，1(0,1,)A D x =，1(1,2,0)B P =-． 设平面BA 1D 的一个法向量为1(,,)a b c =n ，
则1111
0,
10.2
A B a c A D b c ⎧⋅=+=⎪
⎨⋅=+=⎪⎩n n 令1c =-，则1
1(1,,1)2=-n ． ∵111
1(1)2(1)002
B P ⋅=⨯-+⨯+-⨯=n ，
∴PB 1∥平面BA 1D ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA 1D 的一个法向量
11
(1,,1)2
=-n ．
又2(1,0,0)=n 为平面AA 1D 的一个法向量．∴
12121212
cos ,3||||3
12
⋅<>=
==⋅⨯n n n n n n ．
故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为2
3
． 2. (全国大纲文)20以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz 。

设D （1，0，0），则A （2，2，0）、B （0，2，0）。

又设(,,),0,0,0.S x y z x y z >>>则
（I ）(2,2,),(,2,)AS x y z BS x y z =--=-，
(1,,)DS x y z =-，
由||||AS BS =得
222222(2)(2)(2),x y z x y z -+-+=+-+
故x=1。

由22||11,DS y z =+=得
又由222||2(2)4,BS x y z =+-+=得
即2
2
13
410,,2y z y y z +-+===
故 …………3分
于是
133333
(1,(1,,),(1,2222S AS BS =--=-，
13
(0,,),0,0.22
DS DS AS DS BS =⋅=⋅=
故,,,DS AD DS BS AS BS S ⊥⊥=又
所以SD ⊥平面SAB 。

（II ）设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =，
则,,0,0.a BS a CB a BS a CB ⊥⊥⋅=⋅=
又33
(1,,),(0,2,0),22
BS CB =-=
故33
0,2220.m n p n ⎧-+
=⎪⎨⎪=⎩
(9)
取p=2得(3,0,2),(2,0,0)a AB ==-又。

21
cos ,7||||
AB a AB a AB a ⋅=
=⋅ 故AB 与平面SBC 所成的角为21
arcsin
7
3（重庆文）2011解法二：（I ）如答（20）图2，设
O 是AC 的中点，过O 作OH ⊥AC ，交AB 于H ，过O 作OM ⊥AC ，交AD 于M ，由平面ABC ⊥平面ACD ，知OH ⊥OM 。

因此以O 为原点，以射线OH ，OC ，OM 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，可建立空间坐标系O —xyz.已知AC=2，故点A ，C 的坐标分别为A （0，—1，0），C （0，1，0）。

设点B 的坐标为
11(,,0),,||1B x y AB BC BC ⊥=由，有
22
1122111
1111,(1)1,
3322().11,22
x y x y x x y y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩⎧
⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨
⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩解得舍去
即点B 的坐标为31
(,0).2
B 又
设
点
D 的坐标为
22(0,,),||1,||2,D y z CD AD ==由有 22
2222222222(1)1,(1)4,
33,,44).1515y z y z y y z z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩⎧⎧==⎪⎪⎪⎪
⎨⎨
⎪⎪==⎪⎪⎩⎩解得舍去
即点D 的坐标为315
(0,4D 从而△ACD 边AC 上的高为215||4
h z == 又2231
||()(1)3,|| 1.22
AB BC =++==
故
四面体ABCD 的体
积
115
||||32V AB BC h =
⨯⋅⋅= （II ）由（I ）知33715
(
,,0),(0,,2244
AB AD == 设非零向量(,,)n l m n =是平面ABD 的法向量，
则由n AB ⊥有
33
0.2
m += （1） 由n AD ⊥，有
7150.4m += （2） 取1m =-，由（1），（2），可得
715715
3,(3,).l n n ===-即
显然向量(0,0,1)k =是平面ABC 的法向量，从
而
7157109
15
cos ,49
3115
491215109tan ,7109
n k n k <>==++
-
<>=
=故
即二面角C —AB —D 的平面角的正切值为
2157
4. （湖北文解法2： 建立如图所示的空间直角坐标系，
则由已知可得
1(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,2,32),(0,0,22),(3,12)A B C C E F
（Ⅰ）1(0,2,2),(3,12)C E CF =--=- 10220C E CF ⋅=+-=
1.CF C E ∴⊥
（Ⅱ）(0,2,22)CE =-，设平面CEF 的一个法向量为(,,)m x y z =
由0,
,,0,m CE m CE m CF m CF ⎧⋅=⎪⊥⊥⎨⋅=⎪⎩得
即220,
2,1)320
y z m x y z ⎧-+=⎪=-+=可取
设侧面BC 1的一个法向量为
1,,,(3,1,0)n n BC n CC CB ⊥⊥=-由及 )0,3,1(),23,0,0(1==n CC 可取
设二面角E —CF —C 1的大小为θ，于是由θ为
锐角可得
||62
cos ||||232
m n m n θ⋅=
==
⋅⨯，所以45θ=︒
即所求二面角E —CF —C 1的大小为45︒。

5（2006年高考题）证明：建立如图1所示空
间直角坐标系xyz M -，令1=MN ，则有
()()()0,1,0,0,0,1,0,0,1N B A -。

∵MN 是1l 与2l 的公垂线，21l l ⊥，
∴2l ⊥平面ABN ， ∴2l ∥z 轴。

故可设 ()m C ,1,0，
于是()()0,1,1,,1,1-==NB m AC 。

∵
()0
011=+-+=•NB AC ，
图1
∴NB AC ⊥。

6【解析】（I ）证明：取A 1C 1的中点F ，连结EF ，DF …
E 中A 1B 1的中点 11112
1//C B EF C B EF =∴且
又 四边形BCC 1B 1是矩形， D 是BC 的中点， BD EF BD EF =∴且,// ∴四边形EFDB 是平行四边形， DF BE //∴ 4分
11,
11DC A BE DC A DF 平面面⊄⊂
l 2
A
C
M
l 1B
x z
N
y
11//DC A BE 面∴ 6分
（2）以B 为坐标原点建立空间直角坐标系 1,1===-AA BC AB xyz B
可得)1,2
1
,0(),1,0,1(1E C 7分
则)1,0,1(),1,2
1
,0(1==BC BE 8分
设平面BEC 1的法向量为),,(1111z y x n =
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0111BC n BE n 可得⎩⎨⎧-=-=11112z x z y
令)1,2,1(,111--==n z 则
又由⊥AB 平面B 1BC 1，
则平面11BC B 的法向量)0,1,0(2==BA n
36
6
2||||,cos 212121-=
-=⋅>=
<∴n n n n n n （注：公式、结果各一分） 由图可知二面角B 1—BC 1—E 小于90°所以二面
角E BC B --11的大小为3
6arccos . 10分
∴二面角E BC B --11的正切值为22
7（Ⅰ）建立如图所示的坐标系N —xyz ，其中
N (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，D (－1，0，0)，P (0，0，3)． 设PM →＝λMC →（λ＞0），则M (－λ1＋λ，3λ
1＋λ，
3
1＋λ
)，于是 NB →＝(0，3，0)，NM →＝(－λ1＋λ，3λ1＋λ，3
1＋λ
)，………………………………3分 设n ＝(x ，y ，z )为面MBN 的法向量，则NB →·n ＝0，NM →·n ＝0，
∴3y ＝0，－λx ＋3λy ＋3z ＝0，取n ＝(3，0，λ)，
又m ＝(0，0，1)为面BNC 的法向量，由二面角M -BN -C 为30︒，得
|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝λ
3＋λ2
＝cos 30︒＝3
2
，解得λ＝3， 故
PM MC
＝
3．……………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），n ＝(3，0，3)为面MBN 的法向量，……………………………8分
设直线PB 与平面MBN 所成的角为θ，由PB →＝(0，3，－3)，得
sin θ＝|PB →·n |________|PB →
||n |＝336×23＝64
， 所以直线PB 与平面MBN 所成的角为arcsin 64．………………………………12分 8：依题意易知CA AD ⊥，
SA ⊥ 平面ACD ．以A 为坐标原点， SA ⊥ A C 、AD 、SA 分别 SA ⊥ 为,,x y z 轴建立
SA ⊥ 空间直角坐标系，
SA ⊥ 则易得
())()(0,0,0,3,0,0,0,1,0,3A C
D S ，
（
Ⅰ）
由:3SE ED =有
330,4E ⎛ ⎝⎭
，…………………3分 易得
SD AC SD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而SD ⊥平面
ACE ．……………………6分
（Ⅱ）设平面SCD 的法向量为(),,x y z =n 则
30,30.
DC x y SD y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n ，令
1z =,得
(
)3,1
=n ，…………9分
从
而
301311
152cos ,5||||
15
AD AD AD ⋅+⋅⋅<>=
=
=⋅n
n n ，……………11分
所以AD 与平面SCD 所成角大小为
15
arcsin
5
．………………12分
z
x
y
O F
E A'
C'
B
B'
C A
9、取BC 中点O ，连接',OC AO ，
由题可得BC AO ⊥，又因为面⊥ABC 面''B BCC ， 所以⊥AO 面''B BCC ，又因为菱形''B BCC 中
o BCC 60'=∠，
所以BC O C ⊥'.
可以建立如图所示的空间直角坐标系┅┅┅┅2分 不
妨
设
2=BC ，可得)0,0,1(C ，
)0,3,0('C )3,0,0(A ，)0,0,1(-B ，)3,3,1('-A
)0,3,2('-B 所以)0,23
,21(),23,0,21(F E -所以
)3,3,0('),0,3,1('),2
3
,23,
1(==-=BA BC EF ，┅┅┅┅┅┅┅4分
设面BC A '的一个法向量为),,(c b a n =
，则
⎩⎨
⎧=+=+0
330
3c b b a ，不妨取3=a ，则)1,1,3(),,(-=c b a ，所以0=⋅n EF
，又因为⊄
EF 面BC A '＇，所以//EF 面BC A '＇. ┅┅┅7分
(Ⅱ）由（Ⅰ）可得)0,3,1('),3,0,1(-=--=AA AB ，
设面B AA '的一个法向量为),,(1111z y x n =
，则
⎩⎨
⎧=+-=--030
311
11y x z x ，不妨取31=x ，则
)1,1,3(),,(111-=z y x .┅┅┅┅┅┅┅８分
又)0,3,1('),3,0,1(-=-=AA AC ，设面C AA '的一
个法向量为),,(2222z y x n =
，则⎩⎨
⎧=+-=-030322
22y x z x ，不妨取32=x ，则)1,1,3(),,(222=z y x .┅┅┅┅┅┅┅１０分
所以5
3
||||,cos 212121=⋅⋅>=<n n n n n n
，因为二面角
B AA
C --'为锐角，
所以二面角B AA C --'的大小为53
arccos ┅┅┅┅┅┅┅１2分。