向量法解立体几何习题

F

E A'

C'

B

B'

C

A

向量法解立体几何

1、四川19．（本小题共l2分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ．

（Ⅰ）求证：PB 1∥平面BDA 1；

（Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值；

2. (全国大纲文)如图，四棱锥S ABCD -中，AB ∥CD,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，

2,1AB BC CD SD ====．

（I ）证明：SD ⊥平面SAB ； （II ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。 3、重庆文．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分） 如题（20）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，

,2,1AB BC AC AD BC CD ⊥==== （Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；

（Ⅱ）求二面角C-AB-D 的平面角的正切值。

4、. （湖北文）如图，已知正三棱柱A B C -111A B C 的底面边长为2，侧棱长为32， 点E 在侧棱1A A 上，点F 在侧棱1B B 上，且22A E =,2BF =． （I ） 求证：1C F C E ⊥；（II ） 求二面角1E C F C --的大小。

5、、（2006年高考题）如图1，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，M N 是它们的公垂线，点A 、B 在1

l 上，C 在2l 上，MN MB AM ==。证明：NB AC ⊥。

6、如图，直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，D 、E 分别是BC 、A 1B 1的中点. （1）证明：BE//平面A 1DC 1；

（2）若AB=BC=AA 1=1，∠ABC=90°求二面角B 1—BC 1—E 的正切值. 7、、如图，四棱锥ABCD P -的侧面PAD

垂直于底面ABCD ,090=∠=∠BCD ADC ,22====BC AD PD PA ,3=CD ,

M 在棱PC 上，N 是AD 的中点，二面角C BN M --为030。

（1）求

MC

PM

的值；（2）求直线PB 与平面BMN 所成角的大小。 8、如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，

SA ⊥平面ABCD ，2,1,AB AD ==7SB =,120,BAD E ∠=在棱SD 上，且3SE ED =． （I ）求证：SD ⊥平面;AEC （II ）求直线AD 与平面SCD 所成角的大小

9、如图所示，三棱柱'''C B A ABC -中，四边形''B BCC 为菱形，o BCC 60'=∠，ABC ∆为等边三角形，面

⊥ABC 面''B BCC ，F E 、分别为棱'CC AB 、的中点； （Ⅰ）求证：//EF 面BC A '＇；（Ⅱ）求二面角B AA C --'的大小。

1四川19如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A 1－B 1C 1A ，则1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ，

(0,2,0)P ．

（Ⅰ）在△P AA 1中有1112C D AA =，即1(0,1,)2

D ． ∴1(1,0,1)A B =，1(0,1,)A D x =，1(1,2,0)B P =-． 设平面BA 1D 的一个法向量为1(,,)a b c =n ，

则1111

0,

10.2

A B a c A D b c ⎧⋅=+=⎪

⎨⋅=+=⎪⎩n n 令1c =-，则1

1(1,,1)2=-n ． ∵111

1(1)2(1)002

B P ⋅=⨯-+⨯+-⨯=n ，

∴PB 1∥平面BA 1D ，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA 1D 的一个法向量

11

(1,,1)2

=-n ．

又2(1,0,0)=n 为平面AA 1D 的一个法向量．∴

12121212

cos ,3||||3

12

⋅<>=

==⋅⨯n n n n n n ．

故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为2

3

． 2. (全国大纲文)20以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz 。

设D （1，0，0），则A （2，2，0）、B （0，2，0）。 又设(,,),0,0,0.S x y z x y z >>>则

（I ）(2,2,),(,2,)AS x y z BS x y z =--=-，

(1,,)DS x y z =-，

由||||AS BS =得

222222(2)(2)(2),x y z x y z -+-+=+-+

故x=1。

由22||11,DS y z =+=得

又由222||2(2)4,BS x y z =+-+=得

即2

2

13

410,,2y z y y z +-+===

故 …………3分

于是

133333

(1,(1,,),(1,2222S AS BS =--=-，

13

(0,,),0,0.22

DS DS AS DS BS =⋅=⋅=

故,,,DS AD DS BS AS BS S ⊥⊥=又

所以SD ⊥平面SAB 。

（II ）设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =，

则,,0,0.a BS a CB a BS a CB ⊥⊥⋅=⋅=

又33

(1,,),(0,2,0),22

BS CB =-=

故33

0,2220.m n p n ⎧-+

=⎪⎨⎪=⎩

(9)

取p=2得(3,0,2),(2,0,0)a AB ==-又。

21

cos ,7||||

AB a AB a AB a ⋅=

=⋅ 故AB 与平面SBC 所成的角为21

arcsin

7

3（重庆文）2011解法二：（I ）如答（20）图2，设

O 是AC 的中点，过O 作OH ⊥AC ，交AB 于H ，过O 作OM ⊥AC ，交AD 于M ，由平面ABC ⊥平面ACD ，知OH ⊥OM 。因此以O 为原点，以射线OH ，OC ，OM 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，可建立空间坐标系O —xyz.已知AC=2，故点A ，C 的坐标分别为A （0，—1，0），C （0，1，0）。 设点B 的坐标为

11(,,0),,||1B x y AB BC BC ⊥=由，有

22

1122111

1111,(1)1,

3322().11,22

x y x y x x y y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩⎧

⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨

⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩解得舍去

即点B 的坐标为31

(,0).2

B 又

设

点

D 的坐标为

22(0,,),||1,||2,D y z CD AD ==由有 22

2222222222(1)1,(1)4,

33,,44).1515y z y z y y z z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩⎧⎧==⎪⎪⎪⎪

⎨⎨

⎪⎪==⎪⎪⎩⎩解得舍去