1.1菱形的性质和判定培优(一)

菱形培优训练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2011•聊城）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）
A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2
考点：菱形的性质．
分析：设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值．
解答：解：设菱形的对角线分别为8x和6x，
已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，
根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，
即可知（4x）2+（3x）2=25，
解得x=1，
故菱形的对角线分别为8cm和6cm，
所以菱形的面积=×8×6=24cm2，
故选B．
点评：本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单．
2．（2012•孝感）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：
①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
专题：综合题．
分析：先判断出△ABD、BDC是等边三角形，然后根据等边三角形的三心（重心、内心、垂心）合一的性质，结合菱形对角线平分一组对角，三角形的判定定理可分别进行各项的判断．
解答：解：①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确；
②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG=CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG=CG，故
可得出BG+DG=CG，即②也正确；
③首先可得对应边BG≠FD，因为BG=DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③错误；
④S△ABD=AB•DE=AB•（BE）=AB•AB=AB2，即④正确．
综上可得①②④正确，共3个．
故选C．
3．（2010•陕西）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（）
A．16 B．8C．4D．1
考点：菱形的性质．
分析：根据菱形的对角线互相垂直平分，即菱形被对角线平分成四个全等的直角三角形，根据勾股定理，即可求解．
解答：解：设两对角线长分别是：a，b．
则（a）2+（b）2=22．则a2+b2=16．
故选A．
点评：本题主要考查了菱形的性质：菱形被两个对角线平分成四个全等的直角三角形．
4．（2001•嘉兴）菱形的边长为4cm，一个内角为30°，这个菱形的面积为（）
A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2
考点：菱形的性质；含30度角的直角三角形．
分析：根据直角三角形的性质：30度所对的直角边等于斜边的一半，可得出菱形的高为2cm．然后可求出菱形面积．
解答：解：由30°锐角所对的直角边等于斜边的一半，可得30°所对菱形的高为2cm，则这个菱形的面积为4×2=8cm2．故选D．
点评：此题主要考查菱形的面积求法，综合运用了直角三角形的性质．
5．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）
A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）
考点：菱形的性质；坐标与图形性质．
专题：数形结合．
分析：此题可过P作PE⊥OM，根据勾股定理求出OP的长度，则M、N两点坐标便不难求出．
解答：解：过P作PE⊥OM，
∵顶点P的坐标是（3，4），
∴OE=3，PE=4，
∴OP==5，
∴点M的坐标为（5，0），
∵5+3=8，
∴点N的坐标为（8，4）．
故选A．
点评：此题考查了菱形的性质，根据菱形的性质和点P的坐标，作出辅助线是解决本题的突破口．
6．（2008•丽水）如图，在三角形ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A′．若四边形ADA′E是菱形，则下列说法正确的是（）
A．D E是△ABC的中位线B．A A′是BC边上的中线
C．A A′是BC边上的高D．A A′是△ABC的角平分线
考点：菱形的判定；翻折变换（折叠问题）．
分析：根据菱形的性质：对角线互相垂直的平分进行判断即可．
解答：解：∵四边形ADA'E是菱形，则根据菱形的对角线平分一组对角，
∴AA'是△ABC的角平分线，
故D正确；
而B、C不正确；DE不一定是△ABC的中位线，A也不正确．
故选D．
点评：本题考查了菱形的性质：对角线平分一组对角．
7．（2010•安顺）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（）
A．1B．2C．D．
考点：菱形的性质；勾股定理．
专题：计算题．
分析：根据题意可知，AC=2BC，∠B=90°，所以根据勾股定理可知AC2=AB2+BC2，即（2BC）2=32+BC2，从而可求得BC的长．
解答：解：∵AC=2BC，∠B=90°，
∴AC2=AB2+BC2，
∴（2BC）2=32+BC2，
∴BC=．
故选D．
点评：此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．
二．填空题（共9小题）
8．（2012•鄂尔多斯）如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是．
考点：菱形的性质．
分析：作出图形，确定当两矩形纸条有一条对角线互相重合时，菱形的周长最大，设菱形的边长为x，表示出AB，然后利用勾股定理列式进行计算求出x，再根据菱形的四条边都相等解答．
解答：解：如图，菱形的周长最大，
设菱形的边长AC=x，则AB=4﹣x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，
即x2=（4﹣x）2+12，
解得x=，
所以，菱形的最大周长=×4=．
故答案为：．
点评：本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，确定出菱形的周长最大时的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．
9．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为（2+2，2）．
考点：菱形的性质；坐标与图形性质；特殊角的三角函数值．
分析：过C作CE⊥OA，根据“∠AOC=45°，OC=2”可以求出CE、OE的长，点B的坐标便不难求出．
解答：解：过C作CE⊥OA于E，
∵∠AOC=45°，OC=2，
∴OE=OCcos45°=，
CE=OCsin45°=2，
∴点B的坐标为（2+2，2）．
10．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB 的最小值是．
考点：菱形的性质；线段垂直平分线的性质．
专题：动点型．
分析：过点E作PE⊥AB，交AC于P，则PA=PB，根据已知得到PA=2EP，根据勾股定理可求得PE，PA的值，从而可得到PE+PB的最小值．
解答：解：当点P在AB的中垂线上时，PE+PB有最小值．
过点E作PE⊥AB，交AC于P，则PA=PB．
∵∠B=120°
∴∠CAB=30°
∴PA=2EP
∵AB=2，E是AB的中点
∴AE=1
在Rt△APE中，PA2﹣PE2=1
∴PE=，PA=
∴PE+PB=PE+PA=．
故答案为．
点评：本题考查的是中垂线，菱形的邻角互补．勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点P的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使PE+PB成为最小值．
11．（2005•黑龙江）已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为或．
考点：菱形的性质．
专题：分类讨论．
分析：根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论．
解答：解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，
∵AD=AB，DP=BP，
∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），
在直角△ABM中，∠BAM=30°，
∴AM=AB•cos30°=3，BM=AB•sin30°=3，
∴PM==，
∴AP=AM+PM=4；
当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点M
AP=AM﹣PM=2；
当P与M重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2矛盾，舍去．
AP的长为4或2．
故答案为4或2．
点评：本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系AP⊥BD，这是解决本题的关键．
12．（2011•内江）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD 的边至少满足AB=CD条件时，四边形EFGH是菱形．
考点：菱形的判定；三角形中位线定理．
分析：
首先利用三角形的中位线定理证出EF∥AB，EF=AB，HG∥AB，HG=AB，可得四边形EFGH是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，添加条件AB=CD后，证明EF=EH即可．
解答：解：需添加条件AB=CD．
∵E，F是AD，DB中点，
∴EF∥AB，EF=AB，
∵H，G是AC，BC中点，
∴HG∥AB，HG=AB，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵E，H是AD，AC中点，
∴EH=CD，
∵AB=CD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为：AB=CD．
点评：此题主要考查了三角形中位线定理与菱性的判定方法，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．
13．（2009•绥化）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60度．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1，为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1．
考点：菱形的性质．
专题：规律型．
分析：根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AC1，AC2的长，从而可发现规律根据规律不难求得第n个菱形的边长．
解答：解：连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM=，
∴AM==，
∴AC=，
同理可得AC1=3=（）2，AC2=3=（）3，
按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1
故答案为（）n﹣1．
点评：此题主要考查菱形的性质以及学生探索规律的能力．
14．（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（﹣5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合
这个条件的P点坐标（8，0）或（，0）．
考点：菱形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定．
分析：由在菱形ABCD中，AC=12，BD=16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE 的长，然后分别从①当OP=OE时，②当OE=PE时，③当OP=EP时去分析求解即可求得答案．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC=×12=6，OD=BD=×16=8，
∴在Rt△AOD中，AD==10，
∵E为AD中点，
∴OE=AD=×10=5，
①当OP=OE时，P点坐标（﹣5，0）和（5，0）；
②当OE=PE时，此时点P与D点重合，即P点坐标为（8，0）；
③如图，当OP=EP时，过点E作EK⊥BD于K，作OE的垂直平分线PF，交OE于点F，交x轴于点P，
∴EK∥OA，
∴EK：OA=ED：AD=1：2，
∴EK=OA=3，
∴OK==4，
∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，
∴△POF∽△EOK，
∴OP：OE=OF：OK，
即OP：5=：4，
解得：OP=，
∴P点坐标为（，0）．
∴其余所有符合这个条件的P点坐标为：（8，0）或（，0）．
故答案为：（8，0）或（，0）．
点评：此题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
15．（2012•佳木斯）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．
（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；
（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
专题：综合题．
分析：（1）根据菱形的性质结合∠ABC=60°可得△ABC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，所以CE=CF，然后等边对等角的性质可得∠F=∠CEF，根据三角形的一个
外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠F=30°，从而得到∠CBE=∠F，根据等角对等边的性质即可证明；
（2）图2，过点E作EG∥BC，交AB于点G，根据菱形的性质结合∠ABC=60°可得△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠ACB=60°，再求出△AGE是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AG=AE，从而可以求出BG=CE，再根据等角的补角相等求出∠BGE=∠ECF=120°，然后利用“边角边”证明△BGE和△ECF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
图3，证明思路与方法与图2完全相同．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，
∵AE=CF，
∴CE=CF，
∴∠F=∠CEF，
∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，
∴∠F=30°，
∴∠CBE=∠F，
∴BE=EF；
（2）图2：BE=EF．…（1分）
图3：BE=EF．…（1分）
图2证明如下：过点E作EG∥BC，交AB于点G，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，…（1分）
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，…（1分）
∴AG=AE，
∴BG=CE，…（1分）
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
又∵∠BGE=∠ECF=120°，
∴△BGE≌△ECF（SAS），…（2分）
∴BE=EF；…（1分）
图3证明如下：过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，…（1分）
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，…（1分）
∴AG=AE，
∴BG=CE，…（1分）
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
又∵∠BGE=∠ECF=60°，
∴△BGE≌△ECF（SAS），…（2分）
∴BE=EF．…（1分）
点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，利用等边三角形的性质找出全等的条件是解题的关键．。