1.1菱形的性质和判定培优(一)

菱形培优训练

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．（2011•聊城）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）

A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2

考点：菱形的性质．

分析：设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值．

解答：解：设菱形的对角线分别为8x和6x，

已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，

根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，

即可知（4x）2+（3x）2=25，

解得x=1，

故菱形的对角线分别为8cm和6cm，

所以菱形的面积=×8×6=24cm2，

故选B．

点评：本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单．

2．（2012•孝感）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：

①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．

专题：综合题．

分析：先判断出△ABD、BDC是等边三角形，然后根据等边三角形的三心（重心、内心、垂心）合一的性质，结合菱形对角线平分一组对角，三角形的判定定理可分别进行各项的判断．

解答：解：①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确；

②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG=CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG=CG，故

可得出BG+DG=CG，即②也正确；

③首先可得对应边BG≠FD，因为BG=DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③错误；

④S△ABD=AB•DE=AB•（BE）=AB•AB=AB2，即④正确．

综上可得①②④正确，共3个．

故选C．

3．（2010•陕西）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（）

A．16 B．8C．4D．1

考点：菱形的性质．

分析：根据菱形的对角线互相垂直平分，即菱形被对角线平分成四个全等的直角三角形，根据勾股定理，即可求解．

解答：解：设两对角线长分别是：a，b．

则（a）2+（b）2=22．则a2+b2=16．

故选A．

点评：本题主要考查了菱形的性质：菱形被两个对角线平分成四个全等的直角三角形．

4．（2001•嘉兴）菱形的边长为4cm，一个内角为30°，这个菱形的面积为（）

A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2

考点：菱形的性质；含30度角的直角三角形．

分析：根据直角三角形的性质：30度所对的直角边等于斜边的一半，可得出菱形的高为2cm．然后可求出菱形面积．

解答：解：由30°锐角所对的直角边等于斜边的一半，可得30°所对菱形的高为2cm，则这个菱形的面积为4×2=8cm2．故选D．

点评：此题主要考查菱形的面积求法，综合运用了直角三角形的性质．

5．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）

A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）

考点：菱形的性质；坐标与图形性质．

专题：数形结合．

分析：此题可过P作PE⊥OM，根据勾股定理求出OP的长度，则M、N两点坐标便不难求出．

解答：解：过P作PE⊥OM，

∵顶点P的坐标是（3，4），

∴OE=3，PE=4，

∴OP==5，

∴点M的坐标为（5，0），

∵5+3=8，

∴点N的坐标为（8，4）．

故选A．

点评：此题考查了菱形的性质，根据菱形的性质和点P的坐标，作出辅助线是解决本题的突破口．

6．（2008•丽水）如图，在三角形ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A′．若四边形ADA′E是菱形，则下列说法正确的是（）

A．D E是△ABC的中位线B．A A′是BC边上的中线

C．A A′是BC边上的高D．A A′是△ABC的角平分线

考点：菱形的判定；翻折变换（折叠问题）．

分析：根据菱形的性质：对角线互相垂直的平分进行判断即可．

解答：解：∵四边形ADA'E是菱形，则根据菱形的对角线平分一组对角，

∴AA'是△ABC的角平分线，

故D正确；

而B、C不正确；DE不一定是△ABC的中位线，A也不正确．

故选D．

点评：本题考查了菱形的性质：对角线平分一组对角．

7．（2010•安顺）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（）

A．1B．2C．D．

考点：菱形的性质；勾股定理．

专题：计算题．

分析：根据题意可知，AC=2BC，∠B=90°，所以根据勾股定理可知AC2=AB2+BC2，即（2BC）2=32+BC2，从而可求得BC的长．

解答：解：∵AC=2BC，∠B=90°，

∴AC2=AB2+BC2，

∴（2BC）2=32+BC2，

∴BC=．

故选D．

点评：此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．