用 MATLAB 演示何谓相时延-何谓群时延

何谓相时延？何谓群时延？

（数字系统的相延迟和群延迟特性对系统输出的影响）

（作者：王大伦） （本文选自王大伦著《数字信号处理—理论与实践》）

2.8.6 系统无失真传输条件

简单地说，有用信号通过滤波器后，允许有一定的延时，但不希望波形失真。为此，系统首先要保证没有非线性失真，即输出不会产生新的频率分量。与模拟系统不同，LTI 系统在进行数字处理时，并未使用诸如晶体管之类的有源器件，因而不会产生非线性失真，即不会产生新的频率分量。但它应保证没有频率失真。频率失真取决于系统的模频特性和相频特性。如前所述，LTI 系统的频率响应为

θωω=j j j e e H e H |)(|)( （2.8.29）

为了保证无失真传输，在通带内，应使滤波器的模频特性)(|)e (|j 常数K H =ω。

现在，我们来看看对相频特性的要求。假设输入信号包含两个频率各为1ω和2ω的正弦分量：

)sin()sin()(2211n n A n A n S i ωω+=

它们通过系统后，每个分量的幅度都变为原值的K 倍，此外，各自引入相位移1ϕ和2ϕ。故输出为 )sin()sin()(222111out ϕωϕω-+-=n KA n KA n S

)](sin[)](sin[2

2221111ωϕωωϕω-+-=n KA n KA )](sin[)](sin[222111d d n n KA n n KA -+-=ωω 式中，111d ωϕ=n 和2

22d ωϕ=n 分别是频率为1ω和2ω的正弦波到达输出端的延迟样点数（代表时间）。显然，为了得到无失真传输，应保证21d d n n =。因为信号输出总是滞后的，故延迟时间1d n 和2d n 总

是正值。于是，从这个例子可知，为了实现无失真传输，要保证在通带内，

● 幅频特性

)(|)(|常数K e H j ω=。 （2.8.30）

● 相频特性

常数==ωϕd n （ϕ为负值） （2.8.31） d n 称为相时延（phase delay ），它代表曲线)(ωϕ上的一点与原点连线的斜率。

根据相位t f 2πϕ=，数字频率s 2f f πω=，故d s d s

s

12 2n T n T f f t f ===ππωϕ，所以ωϕ~曲线上的任意点与坐标原点的连线斜率具有时间的量纲，其值为s d T n ⨯。

图2.8.7示出低通滤波器的模频特性和相频特性。在通带内。满足了无失真传输条件，即式（2.8.30）和式（2.8.31）。

图2.8.7 低通滤波器的频率特性 图2.8.9 窄带带通滤波器的频率特性

此外，相频曲线)(ωϕ的斜率被定义为群时延（group delay ），记为：

ω

ωϕd )(d -=

g n （2.8.32） 群时延作为ωϕ~曲线上的任意点的微商显然也具有时间量纲，上式的负值代表时间延迟。 在图2.8.6的低通相频特性上，群时延即是相时延。图2.8.9示出带通滤波器的频率特性。如通带很窄，则子图B 上的a 、b 两点连线line2逼近该处的切线，这连线的斜率近似于群时延。但直线

line1是曲线上一点与原点的连线，它代表相时延。可见，对于该带通滤波器来说，通带内的群时延为常数，但相时延是变化的。

既然定义了相时延，为什么还要定义群时延呢？问题是我们不可能设计滤波器，使它的相时延在极宽频带内保持常数，而且也没有必要。高频载波被调幅后，得到调幅波。调幅波通过带通滤波器时，希望滤波器输出端的调幅波包络线形状不变，即能量不散开，而高频载波波形是否改变，是无关重要的。因此，要求带通滤波器通带内的群时延为常数，而无需关注相时延【解说020803】。

MATLAB程序M020803.M和M020804.M分别演示相时延与群时延对滤波器输出波形的影响。请参看图2.8.10和图2.8.11。

图2.8.10 系统相时延特性对输出的影响

(A) 系统相时延为零时的输出（无延时，无波形失真）；

(B) 系统相时延为常数时的输出（有延时，无波形失真）

(C) 系统相时延不是常数时的输出（有延时，有波形失真）

图2.8.11 系统群时延特性对输出的影响

(A) 系统群时延为零时的输出（无延时，包络线无波形失真）；

(B) 系统群时延为常数时的输出（有延时，包络线无波形失真）

(C) 系统群相时延不是常数时的输出（有延时，包络线有波形失真）

% M020803

% 演示相时延对信号波形的影响

%

set(gcf, 'color', 'w')

n = 0:30;

fs = 1000

S11=2*sin(2*pi*50*(1/fs)*n); S12=2*sin(2*pi*100*(1/fs)*n);

S13=2*sin(2*pi*150*(1/fs)*n)

S21=2*sin(2*pi*50*(1/fs)*n - 0.3*pi); S22=2*sin(2*pi*100*(1/fs)*n - 0.6*pi);

S23=2*sin(2*pi*150*(1/fs)*n - 0.9*pi)

S31=2*sin(2*pi*50*(1/fs)*n - 0.3*pi); S32=2*sin(2*pi*100*(1/fs)*n - 0.7*pi);

S33=2*sin(2*pi*150*(1/fs)*n - 0.8*pi)

s1 = S11 + S12 + S13; s2 = S21 + S22 + S23; s3 = S31 + S32 + S33

subplot(2,2,1)

plot(n,s1); grid;

xlabel('n'); ylabel('s1(n)'); title('原来的合成信号1 ', 'fontsize', 8)

subplot(2,2,2)

plot(n,s2); grid;1

xlabel('n'); ylabel('s2(n)'); title('合成信号2 -- 相位移与频率成正比', 'fontsize', 8) subplot(2,2,3)

plot(n,s3); grid; axis([1 30 -5 5]);

xlabel('n'); ylabel('s3(n)'); title('合成信号3 -- 相位移与频率不成正比', 'fontsize', 8)