质点振动

更加柔顺。
三、自由振动的能量
E
Ep
Ek
1 2
KM 2
1 2
M M 2
1 2
KMA2
条件：物体MM平衡位置为0势点。
四、双弹簧串接与并接系统的振动
1. 双弹簧串联相接
K
' M
K1M K2M K1M K2M
2. 双弹簧并联相接
K1M
K2M
K
'' M
K1M
K2M
K1M
K2M
五、弹簧质量对系统固有频率的影响
M
M M
KM
（1）质量抗 M M
（2）弹性抗 KM 1
CM
0
tan 1
M
RM
ZM 的幅角
2. 方程的一般解
e t ( Ae j'0 t Be j'0 t ) F e jt
0e t cos('0 t 0 ) A cos(t )
A F
FA
ZM
;
0
2
式中： 0 ,0 由初始条件决定
KM
RM
二、强迫振动的一般规律
1. 系统的力阻抗
假设方程一特解形式为：1 F e jt
则： F (M M 2 RMj KM ) FA
F
FA
jZM
FA
ZM
e
j
(0
2
)
定义： ZM
M M ( j) RM
KM
j
为力阻抗。
即： ZM RM jM 单位：（N.s/m）
力阻： RM
力抗：
A
FA KM
A
FA
KM
系统弹性对振动起主要作用
ZM
KM
j
aA
FA 2
KM
3. 力阻控制区
当： f f0 (z 1) 时，力阻远远大于力抗
RM
M M
KM
z z2 1QM
A
FA
RM
A
FA
RM
系统力阻对振动起主要作用
ZM RM
aA
FA
RM
因： 0 时，
0M M
KM
0
0
当系统的力阻甚大，即在固有频率高低两边较宽的
三、衰减振动的能量
当： 0 时，且 A(t) 慢变。
E
1 2
KM
2
1 2
M
M
2
E 1 T
T 0
Edt
1 2
K
M
e2 2
0
t
结论：E随 t 按指数规律衰减
四、瞬态现象
衰减振动是瞬态现象
对于一般电声器件（如扬声器等），常希望振 动衰减得快些，否则将造成瞬态失真！
但对锣、鼓、钢琴等乐器，如果持续时间过短，就 会失去其音响特色！
则：位移振幅的比值为：
A A
QM
A0
z2 (z2 1)2 QM2
A
FA
ZM
FA
RM2
(M M
KM
)2
02M M
FAQM z 2 (z 2 1)2 QM2
当：z 0 ( 0) 时，
A
FA KM
对A求极值，得：共振频率为
z zr
1
1 2QM2
1 QM 2
共振幅值为
A Ar
dt
A cos(0t 0
)
A A2 B2 ,
0
tan 1
B A
,
A A cos0 , B A sin 0 ,
自由振动的频率
f0
1
2
KM 1
M M 2
1 M M CM
f0 ：系统固有频率。
如需要降低一动圈扬声器振动系统的固有频率， 原则上可采用两种方法：
（1）增加系统质量，即增加音圈与纸盆的质量； （2）减少系统的弹性系数，即使纸盆边缘的折环部分
1 2
FAA sin
1 2
RM
2 A
所以：
W R W F 0
即：系统振动达到稳定时，强迫力每秒所提供的 平均能量等于阻力所消耗的能量。
五、振动控制、电声器件的工作原理
根据前面讨论，位移、速度、加速度三者振幅分别为：
A
FA
ZM
FA
RM2
(M M
KM
)2
02M M
FAQM z 2 (z 2 1)2 QM2
作业：
§1-4 质点的强迫振动
强迫振动：受外部持续作用而产生的振动。
一、强迫振动方程
MM
d 2
dt 2
RM
d
dt
KM
FA cost
FF
复数方程：M M
d 2
dt 2
RM
d
dt
KM
FAe jt
MM
d 2
dt 2
2
d
dt
02
He
jt
FF
其中： H FA MM
Rm
2M m
0
Km Mm
2M m
二、衰减振动的一般规律
e t ( Ae j'0t Be j'0t )
取实部：
0e t cos('0 t 0 ) A(t) cos('0 t 0 )
(t)
t
式中： '0 02 2
0 ,0 由初始条件决定， （通常： 0 ） （当： 2 02 时 ）
'0 0
衰减模量：振幅衰减到初始值的1/e倍的时间。 1 2M m Rm
一、自由振动方程
胡克定律 Fk Km
Mm
d 2
dt 2
Km
Mm
d 2
dt 2
K m
0
d 2
dt 2
02
弹性系数 MM：物体质量
CM=1/KM
顺性系数，力顺 单位：m/N
固有圆频率
二、振动的一般解
Acos0t B sin 0t
或： A cos(0t 0 )
d
上式第一项：瞬态解，第二项：稳态解。
三、质点的稳态振动
1. 稳态方程
A cos(t )
A
FA
ZM
FA
RM2
(M M
KM
)2
2. 力学品质因素
QM
0M M
RM
(
MM KM ) RM
3. 位移共振
假设： A0
FA KM
z f 0 f0
（为圆频率为零时的位移振幅） （外力频率与固有频率的比值）
质点振动系统
假定构成振动系统的物体（如：质量块、弹 簧），不论其几何大小如何，都可看成是一个物理 性质集中的系统。
集中参数系统
构成整个振动系统的质量与弹簧，它们的运动状态 都是均匀的，均可认为集中在一点上。
质点振动系统是相对的，它取决 于物体的线度与物体中振动传播波长 的相对比值。
§1-2 质点的自由振动
当： z ( ) 时，
aA
FA MM
对加速度振幅求极值，得：共振频率为
z zr QM
2 2QM2 1
因此 f fr f0QM
2 2QM2 1
QM
1 2
共振幅值为
aA
aAr
FA MM
2QM2 4QM2 1
1 QM 2
当QM近似为1时，加速度共振曲线最为均匀。
总结
（1）位移共振曲线在低频段（z<<1）为平坦区 （2）速度共振曲线在中频段（z=1）为平坦区 （3）加速度共振曲线在高频段（z>>1）为平坦区
第一讲 质点的自由、衰减振动
本讲讨论： 1. 质点振动系统的基本概念。 2. 质点的自由振动方程 3. 质点的衰减振动方程
第一章 质点振动学
振动学是研究“声学”的基 础
声学现象 实质上就是传声媒质（气体、液体、固体 等）质点所产生的一系列力学振动传递过 程的表现。
声波的发生 基本上源于物体的振动
§1-1 质点振动系统的基本概念
1
z1,2
(1
2QM
)2
2QM2
1 4QM2
2
相对频率差为
f1 f2 f0
f f0
z1
z2
1 QM
QM降低，频率差增加，曲线变平坦。
（2）加速度振幅规律
a aA cos( t ), aA A 2
aA
FA
ZM
FA
RM2
(M M
KM
)2
MM
FAQM z2 z2 (z2 1)2 QM2
四、强迫振动的能量
损耗功率：单位时间阻力对系统所做的功
WR FR RM 2
W R 1 T
T
0 WRdt
1 2
RM
2 A
1 2
RM
2
2 A
定义声辐射阻：由声产生的力阻 （用Rr表示）。
由上式得：低频声辐射往往比高频要困难得多。
外界强迫力向系统提供的能量
WF FF
W F 1 T
T
0 WF dt
f0
1
2
KM
MM
MS 3
六、振动问题的复数解
Ae j0t Be j0t
复数不能直接描述物理问题的直观情况，必要时 对复数结果还得还原而取其实部（虚部）。
§1-3 质点的衰减振动
一、衰减振动方程
Mm
d 2
dt 2
Rm
d
dt
K m
0
MM
d 2
dt 2
2
d
dt
02
0
KM
RM
Rm ——衰减系数
QM
1
1 4QM2
此时
f fr f0
1
1 2QM2
QM
1 2
结论：当QM近似为1时，Ar=1.155，位移共振曲线最为均匀。
4. 振动系统的速度与加速度
（1）速度振幅规律
A
cos(
t
2
),
A A
A
FA ZM
FA
RM2
(M M
KM
)2
0 M M
FAQM z z 2 (z 2 1)2 QM2
系统能量 = 物体能量 + 弹簧能量
如以系统平衡位置为零势点，则：
E
1 2
M
M 2
1 2
KM
2
EKS
x
EKS
0
1 2
(
M
S
dx)(
2
x)
1 6
M S 2
E
1 2
M
M
1 3
M
S
2
1 2
KM 2
dx
KM ,MS
MM
对上式两边求导得：
M
M
1 3
MS
d 2
dt 2
KM
0
固有频率
0
KM
MM
MS 3
A
FA ZM
FA
RM2
(M M
KM
)2
0 M M
FAQM z z 2 (z 2 1)2 QM2
aA
FA
ZM
FA
RM2
(M M
KM
)2
MM
FAQM z2 z2 (z2 1)2 QM2
QM
0M M
RM
(
MM KM ) RM
z0 FA KM
A
FA
ZM
z1 FA
RM
z
FA 2M
M
当：z 1 ( 0 ) 时，
A
FA RM
对速度振幅求极值，得：共振频率为
z zr 1
因此
f fr f0
fr 与Q M 无关
共振幅值为
A
Ar
FA
0M M
QM
FA RM
结论：速度共振频率 与Q M 无关，但其共振峰值与Q M
成正比。
假设速度振幅的平方下降到共振峰值平方的 1/2倍时，所对应的频率分别为 f1 和 f2
z0 FA
KM
A
FA ZM
z1 FA RM
z
FA
M M
z0
FA
KM
2
aA
FA
ZM
z1
FA
RM
z
FA MM
1. 质量控制区（惯性控制区） 当： f f0 (z 1) 时，
A
FA
MM2
A
FA
MM
系统质量对振动起主要作用
ZM jM M
aA
FA MM
2. 弹性控制区 当： f f0 (z 1) 时，
频率范围内，都能满足下面条件
RM
M M
KM
即：
RM
KM ( KM
L L
LM M )
亦即：
L
KM RM
;
H
RM MM
RM
KM
H
( H M M
KM
H
)
在 L ~ H 区域为力阻控制区。
因此，力阻越大，力阻控制的频率范围越宽，
即比值：
H L 0
越大。