简谐振动电偶极子辐射场分析
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syms x y T; K=linspace(-1.6,1.6,17); t=T/64 n= (t/T ); for i=1:17; z=sqrt((1/(x^2+y^2)/2/pi/2/pi)+1)*(x^2/(x^2+y^2))*(cos(2*pi*n-
2*pi*sqrt(x^2+y^2)+atan(2*pi*sqrt(x^2+y^2))))+K(i); ezplot(z,[-1,1,-1,1]); hold on; end z=sqrt((1/(x^2+y^2)/2/pi/2/pi)+1)*(x^2/(x^2+y^2))*(cos(2*pi*n-
T 4
为周期，在
振动性偶极子电场的中心区域此消彼长着。
总结:
收获：
振动性偶极子电场的方程复杂难解，用数学方法作 其图像过程极其繁杂，没有精细地分析非常容易发 生错误，而利用Matlab只需对其方程做稍许的处理 ，便可以直接利用其隐函数方程快速地绘制结果图 形，直观地模拟和演示数学上抽象的电场现象，做 到比普通数学方法做图更精确。而且，只需少数几 行程序便可以用动画模拟振动性偶极子电场线辐射 进程，使整个振动性偶极子电场模型生动形象。
在近区 (kr<<1)，此振动性偶极子的库仑电场为：
Er
2P0
4 0r3
cos
cos t
E
P0
4 0r3
sin
cos t
(2)
E 0
直接从式（2）出发进行分析很难看清楚，用图 示的方法则可以非常清晰明了。而要作图，首 先要导出辐射的电场线所应满足的方程。
1．2振动性偶极子电场的电场线方程
强。 T T
当t由T8
4
时，第二、三类电场线向原点收缩，
至t= 4 在原点消失，表明库仑电场减弱，感应电
场的影响范围在进一步扩大。
在由不t= 闭T4 时合，曲第线一变类为电闭场合线曲从线原，点至“此分，裂第”一出个来圆，内
完全被感应电场所占据。
随“后长出T4 ”T2，的随过着程圆中占，据新的的区一域个不K=断0扩的大圆，从三原类点电
悲剧的是
为了达到画出振荡电偶极子的辐射图像， 过分依赖软件，偏离了最初目的。到最后 貌似和数值计算不沾边了，没有用到数值 计算的相关方法。
That’s all !
Thank you !
for i=1:300;
z=sqrt((1/(x^2+y^2)/2/pi/2/pi)+1)*(x^2/(x^2+y^2))*(cos(2*pi*t (i)-2*pi*sqrt(x^2+y^2)+atan(2*pi*sqrt(x^2+y^2))))+K;%%按 所想研究的电场线取K值
ezplot(z,[-3,3,-3,3]); %%作图
2
)
ELeabharlann Baidu
P0 k 3
40
sin
1
[
(kr
)3
1 ]cos(t
kr
kr)
1 (kr)2
cos(t
kr
2
)
(1)
E 0
在kr>>l的远区，库仑电场比感应电场弱 得多，故远区的电场以感应电场为主导。而 在 kr<<l的近区与kr≈l的过渡区，库仑电场和 感应电场不仅大小有差别，而且二者相位不 尽相同，使此区域的电场呈现比较复杂的情 况，这是需要进行认真分析的。
场线也都在向外扩散，表明库仑逐渐增强，并T 在
t= 时达到最强。
2
T 3T重复0 T受外界感应电场扰动的影响，只是 2电场4方向与前4半周期相反，整个过程不断反复。
在第一个与第二个圆之间是前面已出现的感应电
场，随着时间推移，圆的半径不断增大，感应电
场向远处运动，形成电磁辐射。
就这样库仑电场和感应电场以
y2)
1
1]2
x2 x2 z2
cos
2
n
2
(
x2
1
y2)2
arctan[2 (x2
y
2
)
1 2
]
K
0
2.2K值在振动性偶极子电场线方程 中的含义：
K=0时作出的图为闭合圆环，这 些圆不是电场线。
图中取相同K值的电场线用同一 种线条表示。
由图中可见：
1)方程中 K取值越大代表离K=0的
(5)
rd E
将式（4）代入式（5），整理得
(Cr sin )dr (Cr sin )d 0
r
上式表明的全微分为零，即Crsin =恒量。将
C的表达式代入上式，并将 Pk 并入恒量，
设为-K。有
4 0
1 [ (kr)2
1
1]2
sin2
cos[2
t T
kr
arctan(kr)]
K
0
(6)
2.制作振动性偶极子电场线图像、 动画并进行研究：
2.1对方程的处理：
kr
2
r
2 [(
x )2
(
z
)
2
]
1 2
sin x
r
再作代换：
x x , z y, t n
T
得
x x2 z2
[
1
(2 )2(x2
引入
r C
er
P0k
4 0r
1 [ (kr )2
1]1/ 2
sin
cos[t
kr
arctan(kr)]
(3)
代入(1)式即有：
1 Er
(C sin )
r sin
E 1 (rC)
(4)
r r
E 0
在 （定值）的平面内：
dr Er
做简谐振动的电偶极子辐射电场
组员：
1.物理模型
1．1振动性偶极子的电场 1．2振动性偶极子电场的电场线
2.制作振动性偶极子电场线图像、动画并进 行研究
2．1对方程的处理
2．2K值在振动性偶极子电场线方程中的含义 2. 3振动性偶极子电场线的演化进程研究
2.3.1单电场线演化进程研究 2.3.2全电场线演化进程研究
圆越远的电场线 2)两个K=0的圆之间的电场线K值
只取正或只取负，正负交替。 另外，K值较大的曲线未在图中
表示出，它们处于电场的核心 区域，满足1）的情况。
2．3振动性偶极子电场线的演化进程研究：
2.3.1单电场线的演化进程研究：
K取定值（K取值如图），分别在n取不同值时对电场线方程作图。程 序如下：
syms x y; n=linspace(0.00,1.00,m);%%n在0~1中取m个值 for i=1:m; z=sqrt((1/(x^2+y^2)/2/pi/2/pi)+1)*(x^2/(x^2+y^2))*(cos(2*pi*n(i)-
2*pi*sqrt(x^2+y^2)+atan(2*pi*sqrt(x^2+y^2))))+K; %%在K的位置输入 具体数值 ezplot(z,[-1,1,-1,1]); %%取相应坐标作图 hold on; end title('振动性偶极子的电场线辐射的进程'); k取不同值的图像.docx
3．4对振动性偶极子电场的分析：
当t=0时，在K=0的最里面的圆内为较为标准的
偶极子库仑电场； 当库t仑由场0 的T8核时心，区值域较在大缩的小第，二当类t电接场近线T 在时收，K缩，1.1
的第三类电场线出现“尖头”，第一8、二类电
场线出现“圆头”、“瘦腰”、趋于“扇形”
等情况，表明在这些电场线所在处感应电场增
m(:,i)=getframe;
end movie(m,3,20)%%每秒播放20帧，播放3遍
oujizifushedonghua.m
3.3.2全电场线演化进程研究:
取K=0,±0.2,±0.4,±0.6,±0.8,±1,±1.1,±1.2, ±1.4,±1.6分别对不同t值做图。程序如下：
图为运行结果，为了便于观察，前三图取m=5，后 三图取m=10。K值互为相反数的电场线作出的演化 进程图像是一致的，因而合为同一张图来表示。
K=±0.2
K=±0.5
K=±0.8
K=±1.0
K=±1.1
K=±1.3
动画程序：
syms x y; m=moviein(300)%%共300帧 t=linspace(0.00,30.00,300);%%在0~30之间取300个t值
2*pi*sqrt(x^2+y^2)+atan(2*pi*sqrt(x^2+y^2))))+1.1; ezplot(z,[-1,1,-1,1]); dianoujifushe.m
上图全过程为半个周期，半个周期之后电
场线的位置与又与半个周期前相同，但电 场方向全部反向。取t的间隔不均是为了看 清E线随时间变化比较敏感的细节，K在等 间隔中多取了一个K=±1.1，这是因为 K=±1.1的E线属于比较特殊的电场线。
2．4对振动性偶极子电场的分析
Page 2
1.物理模型：
1．1振动性偶极子的电场：
设振动性偶极子的电矩为
r P
erxP0
cos
t
采用球坐标可得到在任意时刻t，空间任意处r
的辐射电场：
Er
2P0 k 3
40
cos
1
(kr
)3
cos(t
kr)
1 (kr)2
cos(t
kr
2*pi*sqrt(x^2+y^2)+atan(2*pi*sqrt(x^2+y^2))))+K(i); ezplot(z,[-1,1,-1,1]); hold on; end z=sqrt((1/(x^2+y^2)/2/pi/2/pi)+1)*(x^2/(x^2+y^2))*(cos(2*pi*n-
T 4
为周期，在
振动性偶极子电场的中心区域此消彼长着。
总结:
收获：
振动性偶极子电场的方程复杂难解，用数学方法作 其图像过程极其繁杂，没有精细地分析非常容易发 生错误，而利用Matlab只需对其方程做稍许的处理 ，便可以直接利用其隐函数方程快速地绘制结果图 形，直观地模拟和演示数学上抽象的电场现象，做 到比普通数学方法做图更精确。而且，只需少数几 行程序便可以用动画模拟振动性偶极子电场线辐射 进程，使整个振动性偶极子电场模型生动形象。
在近区 (kr<<1)，此振动性偶极子的库仑电场为：
Er
2P0
4 0r3
cos
cos t
E
P0
4 0r3
sin
cos t
(2)
E 0
直接从式（2）出发进行分析很难看清楚，用图 示的方法则可以非常清晰明了。而要作图，首 先要导出辐射的电场线所应满足的方程。
1．2振动性偶极子电场的电场线方程
强。 T T
当t由T8
4
时，第二、三类电场线向原点收缩，
至t= 4 在原点消失，表明库仑电场减弱，感应电
场的影响范围在进一步扩大。
在由不t= 闭T4 时合，曲第线一变类为电闭场合线曲从线原，点至“此分，裂第”一出个来圆，内
完全被感应电场所占据。
随“后长出T4 ”T2，的随过着程圆中占，据新的的区一域个不K=断0扩的大圆，从三原类点电
悲剧的是
为了达到画出振荡电偶极子的辐射图像， 过分依赖软件，偏离了最初目的。到最后 貌似和数值计算不沾边了，没有用到数值 计算的相关方法。
That’s all !
Thank you !
for i=1:300;
z=sqrt((1/(x^2+y^2)/2/pi/2/pi)+1)*(x^2/(x^2+y^2))*(cos(2*pi*t (i)-2*pi*sqrt(x^2+y^2)+atan(2*pi*sqrt(x^2+y^2))))+K;%%按 所想研究的电场线取K值
ezplot(z,[-3,3,-3,3]); %%作图
2
)
ELeabharlann Baidu
P0 k 3
40
sin
1
[
(kr
)3
1 ]cos(t
kr
kr)
1 (kr)2
cos(t
kr
2
)
(1)
E 0
在kr>>l的远区，库仑电场比感应电场弱 得多，故远区的电场以感应电场为主导。而 在 kr<<l的近区与kr≈l的过渡区，库仑电场和 感应电场不仅大小有差别，而且二者相位不 尽相同，使此区域的电场呈现比较复杂的情 况，这是需要进行认真分析的。
场线也都在向外扩散，表明库仑逐渐增强，并T 在
t= 时达到最强。
2
T 3T重复0 T受外界感应电场扰动的影响，只是 2电场4方向与前4半周期相反，整个过程不断反复。
在第一个与第二个圆之间是前面已出现的感应电
场，随着时间推移，圆的半径不断增大，感应电
场向远处运动，形成电磁辐射。
就这样库仑电场和感应电场以
y2)
1
1]2
x2 x2 z2
cos
2
n
2
(
x2
1
y2)2
arctan[2 (x2
y
2
)
1 2
]
K
0
2.2K值在振动性偶极子电场线方程 中的含义：
K=0时作出的图为闭合圆环，这 些圆不是电场线。
图中取相同K值的电场线用同一 种线条表示。
由图中可见：
1)方程中 K取值越大代表离K=0的
(5)
rd E
将式（4）代入式（5），整理得
(Cr sin )dr (Cr sin )d 0
r
上式表明的全微分为零，即Crsin =恒量。将
C的表达式代入上式，并将 Pk 并入恒量，
设为-K。有
4 0
1 [ (kr)2
1
1]2
sin2
cos[2
t T
kr
arctan(kr)]
K
0
(6)
2.制作振动性偶极子电场线图像、 动画并进行研究：
2.1对方程的处理：
kr
2
r
2 [(
x )2
(
z
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2
]
1 2
sin x
r
再作代换：
x x , z y, t n
T
得
x x2 z2
[
1
(2 )2(x2
引入
r C
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P0k
4 0r
1 [ (kr )2
1]1/ 2
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kr
arctan(kr)]
(3)
代入(1)式即有：
1 Er
(C sin )
r sin
E 1 (rC)
(4)
r r
E 0
在 （定值）的平面内：
dr Er
做简谐振动的电偶极子辐射电场
组员：
1.物理模型
1．1振动性偶极子的电场 1．2振动性偶极子电场的电场线
2.制作振动性偶极子电场线图像、动画并进 行研究
2．1对方程的处理
2．2K值在振动性偶极子电场线方程中的含义 2. 3振动性偶极子电场线的演化进程研究
2.3.1单电场线演化进程研究 2.3.2全电场线演化进程研究
圆越远的电场线 2)两个K=0的圆之间的电场线K值
只取正或只取负，正负交替。 另外，K值较大的曲线未在图中
表示出，它们处于电场的核心 区域，满足1）的情况。
2．3振动性偶极子电场线的演化进程研究：
2.3.1单电场线的演化进程研究：
K取定值（K取值如图），分别在n取不同值时对电场线方程作图。程 序如下：
syms x y; n=linspace(0.00,1.00,m);%%n在0~1中取m个值 for i=1:m; z=sqrt((1/(x^2+y^2)/2/pi/2/pi)+1)*(x^2/(x^2+y^2))*(cos(2*pi*n(i)-
2*pi*sqrt(x^2+y^2)+atan(2*pi*sqrt(x^2+y^2))))+K; %%在K的位置输入 具体数值 ezplot(z,[-1,1,-1,1]); %%取相应坐标作图 hold on; end title('振动性偶极子的电场线辐射的进程'); k取不同值的图像.docx
3．4对振动性偶极子电场的分析：
当t=0时，在K=0的最里面的圆内为较为标准的
偶极子库仑电场； 当库t仑由场0 的T8核时心，区值域较在大缩的小第，二当类t电接场近线T 在时收，K缩，1.1
的第三类电场线出现“尖头”，第一8、二类电
场线出现“圆头”、“瘦腰”、趋于“扇形”
等情况，表明在这些电场线所在处感应电场增
m(:,i)=getframe;
end movie(m,3,20)%%每秒播放20帧，播放3遍
oujizifushedonghua.m
3.3.2全电场线演化进程研究:
取K=0,±0.2,±0.4,±0.6,±0.8,±1,±1.1,±1.2, ±1.4,±1.6分别对不同t值做图。程序如下：
图为运行结果，为了便于观察，前三图取m=5，后 三图取m=10。K值互为相反数的电场线作出的演化 进程图像是一致的，因而合为同一张图来表示。
K=±0.2
K=±0.5
K=±0.8
K=±1.0
K=±1.1
K=±1.3
动画程序：
syms x y; m=moviein(300)%%共300帧 t=linspace(0.00,30.00,300);%%在0~30之间取300个t值
2*pi*sqrt(x^2+y^2)+atan(2*pi*sqrt(x^2+y^2))))+1.1; ezplot(z,[-1,1,-1,1]); dianoujifushe.m
上图全过程为半个周期，半个周期之后电
场线的位置与又与半个周期前相同，但电 场方向全部反向。取t的间隔不均是为了看 清E线随时间变化比较敏感的细节，K在等 间隔中多取了一个K=±1.1，这是因为 K=±1.1的E线属于比较特殊的电场线。
2．4对振动性偶极子电场的分析
Page 2
1.物理模型：
1．1振动性偶极子的电场：
设振动性偶极子的电矩为
r P
erxP0
cos
t
采用球坐标可得到在任意时刻t，空间任意处r
的辐射电场：
Er
2P0 k 3
40
cos
1
(kr
)3
cos(t
kr)
1 (kr)2
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kr