线性矩阵不等式及其在控制工程中的应用(1)
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3 基于 LMI 的不确定系统鲁棒控制器与 滤波器的设计
不确定系统的鲁棒控制与滤波问题的提出基 于如下考虑 。
①被控 对 象 不 是 由 一 个 确 定 的 模 型 来 描 述 的 ,仅仅知道模型属于某个已知的模型集合 ;
②外部信号包括干扰信号和传感器噪声等不 是具有已知特性的信号 ,仅仅知道其属于某个已
给出矩阵的 Schur 补引理及其性质 。
引 理 :对给定的对称矩阵 F ( x) ,以下 3 个
结论是等价的 。
(i) F ( x) < 0 ;
(3)
(ii) F11 ( x) < 0 ,
F22 ( x) - F1T2 ( x) F1-11 ( x) F12 ( x) < 0 ;
(4)
(iii) F22 ( x) < 0 ,
题比较成功和完善的 H ∞理论取得了长足的发 展 ,经历了从频域到时域 、从定常系统到时变系 统 、从线性系统到非线性系统 、从连续系统到离散 系统 、从无时滞系统到时滞系统以及从单目标到 多目标的控制等发展历程 。
随着不确定系统鲁棒二次镇定和 H ∞状态空 间理论研究所取得的突破性进展 ,保成本控制引 起许多学者的极大兴趣并得到了不少成果 。一个 实际控制系统仅仅具有稳定性是不够的 ,还必须 考虑其他的一些性能 。线性二次型最优控制理论 揭示了一个适当的二次型性能指标 ,能反映系统 的许多性能要求 。最初由 Chang 和 Peng[10 ]提出 了不 确 定 系 统 的 保 性 能 控 制 问 题 ( Guaranteed Cost Control 简称 GCC) ,其主要思想是对具有参 数不确定性的系统 ,设计一个控制律 ,不仅使得闭 环系统稳定 ,而且使得闭环系统的性能不超过某 个确定的上界 。近年来有许多学者针对这个问题 作了积极地探讨 ,典型的结论如文献[ 11 ] ,针对一 类范数有界的时变参数不确定性的离散时间线性 系统 ,设计其最优保性能状态反馈控制律 ,通过采 用线性矩阵不等式方法 ,导出了存在保性能控制 律的一个充分必要条件 ,文中与 Riccati 方程的方 法作了比较 ,结果说明 L M I 方法降低了闭环系统 性能指标的保性能值 。而文献[ 12 ]针对一类同时 带有状态和输入时滞不确定离散系统以及给定的 二次型性能函数 ,同样采用线性矩阵不等式的方 法 ,研究了使得闭环系统稳定和性能指标函数值 不超过某个特定的上界的控制律设计问题 。
2 线性矩阵不等式的介绍
一个线性矩阵不等式具有如下形式 :
F ( x) = F0 + x 1 F1 + … + x m Fm < 0 (1)
式中 , x 1 , …, x m 是 m 个实数变量 ,称为是线性矩
阵不等式 (1) 的决策变量 , x = ( x 1 , …, x m ) T ∈
Rm 是由决策变量构成的向量 , 称为决策向量 。Fi
等 ;俞 立 (19612) ,男 ,浙江杭州人 ,浙江工业大学教授 ,博士 ,主要从事鲁棒控制 、时滞系统的分析与控制等研究 。
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
摘 要 : 介绍了线性矩阵不等式的基本概念和用于求解线性矩阵不等式的软件工具 箱 Matlablmi 的 3 个求解器 ,对线性矩阵不等式在控制系统中的应用作了详细的综述 。分 析了其在当前的两个研究热点 ,即不确定系统的鲁棒控制与鲁棒滤波中的运用 。同时探 讨了时滞系统与非线性系统的研究现状 。然后列举了一些具有代表性的采用 L M I 求解控 制问题的最新结果 。为了说明线性矩阵不等式的求解过程 ,给出了一个保性能控制的例 子 ,在 Matlab 513 编辑器中运行程序 ,得到的结果是最优性能指标值 , copt = J 3 101677 7 。 关 键 词 : 线性矩阵不等式 ;时滞 ;凸优化 ;L M I 工具箱 中图分类号 : TP 13 文献标识码 : A
·146 ·
控 制 工 程 第 10 卷
阵的 Schur 补性质 ,一些非线性矩阵不等式可以 转化成线性矩阵不等式 。从而利用现有的软件 Matlab 中的 L M I 工具箱可以直接对问题求解 。
在控制 、辨识和信号处理等领域中 ,许多问题 都可以转化成用线性矩阵不等式来描述的优化问 题 。这里介绍 3 类标准的线性矩阵不等式问题及 其求解 :一是可行性问题 (L M IP) ;二是特征值问 题 ( EV P) ; 三 是 广 义 特 征 值 问 题 ( GEV P) 。在 MA TLAB 软件的线性矩阵不等式工具箱 (L M I Toolbox) 中给出了 3 类问题的求解器 。控制系统 中的一些性能指标 、稳定性判据可以转化为 L M I 的 3 类标准问题 ,其原因是由于一方面 Lyapunov 方法易得到凸的或拟凸的条件 ,另一方面 L M I 本 身能表示范围广泛的不同类凸约束 。
1 引 言
在过去的 10 余年内 ,由于线性矩阵不等式 (L M I) 的优良性质以及解法的突破 ,使其在控制 系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用 。 在此之前 ,绝大多数的控制问题都是通过 Riccati 方程或其不等式的方法来解决的[1～3 ] 。但是解 Riccati 方程或其不等式时 ,有大量的参数和正定 对称矩阵需要预先调整 。有时 ,即使问题本身是 有解的 ,也找不出问题的解 。这给实际应用问题 的解决带来极大不便 ,而线性矩阵不等式方法可 以很好地弥补 Riccati 方程 方 法 的 上 述 不 足[4 ] 。 在解线性矩阵不等式时 ,不需要预先调整任何参 数和正定对称矩阵 。本文对 L M I 在控制工程中 的发展和现状进行简要的回顾 ,着重讨论 L M I 在 不确定控制系统中的应用研究成果以及展望 。
知的信号集合 。 对于这两种情况 ,加拿大学者 Zames 于 1981
年提出了以控制系统的某些信号间的传函矩阵的 H ∞范数作为优化性能指标的设计思想[6 ] 。美国
学者 Doyle 于 1982 年针对 H ∞性能指标发展了 结构 奇 异 值 的 方 法 来 检 验 鲁 棒 性 [7 ] 。1988 年 Doyle 等 人 在 全 美 控 制 会 议 上 发 表 的 著 名 的 D GKF 论文为标志 ,将 H ∞控制器的设计归结为 两个 Riccati 方程的求解[8 ] 。进入 20 世纪 90 年 代 ,L M I 技术引入到 H ∞鲁棒控制 ,L M I 的引入 不但降低了 H ∞控制的限制条件 , 而且扩展了 H ∞控制的研究领域[9 ] 。此后 ,解决鲁棒控制问
在线性矩阵不等式使用之前 ,许多控制问题 是用 Riccati 不等式方法来解决的 ,而 Riccati 不等 式的求解带有一定的保守性 。Riccati 不等式是 二次矩阵不等式 ,所以将二次矩阵不等式转化成 线性矩阵不等式很有必要和意义 ,在此转化过程 中 ,矩阵的 Schur 补引理起着决定性的作用 。考 虑一个矩阵 F ( x) ∈ Rn ×n ,并将 F ( x) 进行分块
F11 ( x) F12 ( x)
F ( x) =
wk.baidu.com(2)
F21 ( x) F22 ( x)
式中 , F11 ( x) 是 r ×r 维的 。假定 F11 ( x) 是非奇
异的 ,则 F22 ( x) - F21 ( x) F1-11 ( x) F12 ( x) 称为是
F11 ( x) 在 F ( x) 中的 Schur 补 。下面不加证明地
求解线性矩阵不等式问题的算法主要有椭球 法和内点法及其他的数值解法 ,Beck 在文献 [ 5 ] 中对这些方法做了详细的探讨 。其中内点法的优 点很明显 ,它不需要给出迭代的初始可行解且能 够求解拟凸问题 。Matlab 软件开发出功能强大 的 L M I 工具箱的算法就是基于内点法 ,它提供了 与上述相对应的 3 类标准的线性矩阵不等式问题 求解函数 :feasp , mincx ,gevp 。此外 ,该工具箱还 可用于以下几方面 。
与此同时 ,不确定系统的鲁棒辨识与鲁棒估 计也得到了一定程度的发展 。早期的滤波器设计
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
第 2 期 高金凤等 : 线性矩阵不等式及其在控制工程中的应用
=
F
T i
∈ Rn ×n , i
= 0 ,1 , …, m , 是一组给定的实
对称矩阵 ,式 (1) 中的“ < ”指的是矩阵 F ( x) 是负
定的 ,即对所有非零的向量 v ∈ Rn , vT F ( x) v < 0 或 F ( x) 的最大特征值小于零 。所有满足线性矩 阵不等式 (1) 的 x 的全体构成一个凸集 。
·147 ·
是基于 Riccati 方程的求解 ,但是矩阵 Riccati 方程 国内外众多学者都对基于 L M I 方法的各种控制 所求的 解 是 空 间 唯 一 的 点 。所 以 近 年 来 使 用 与滤波问题进行了由浅入深的研究 ,具有代表性 L M I 方法设计满足性能指标的滤波器得到广泛 的研究成果详见表 1 。表中不仅仅列举了基于 的应用[13 ] 。基于 L M I 方法的时域状态空间的不 L M I 的不确定系统的控制器与滤波器设计 ,还有 确定系统的分析与综合 ,具有能揭示系统的内部 L M I 技术应用在时滞系统 、非线性系统等方面的 结构和易于计算机辅助设计等优点而倍受重视 。 成果 。
2003 年 3 月 第10卷第2期
控制工程 Cont rol Engineering of China
Mar . 2 0 0 3 Vol. 10 ,No . 2
文章编号 : 167127848 (2003) 0220145205
线性矩阵不等式及其在控制工程中的应用
高金凤 , 俞 立 , 王春平
(浙江工业大学 信息工程学院 , 浙江 杭州 310032)
表 1 基于 LMI 方法的各种控制与滤波问题
序号
系统描述
采用方法
文献
1
不确定线性系统和非线性系统的状 基于 L M I 转化为凸优化问题求得鲁棒界 ;对于非
[14 ]
态反馈以及输出反馈表述
线性如 L urie 系统则通过 L yapunov 函数方法得到
[15 ]
系统稳定的 L M I 判定准则
①多目标控制器综合 ,包括 L Q G 综合 , H ∞ 综合和极点配置综合 。
②系统鲁棒性的分析和测试 ,包括检测时变 线性系统的二次稳定性 ,带有参数的 Lyapunov 稳 定性 , 混 合 的 μ 分 析 以 及 带 有 非 线 性 成 分 的 Popov 准则 。
③系统的辨识 、滤波 、结构设计 、图形理论 、线 性代数以及加权值等问题 ,L M I 工具箱还提供了 两个交互的图形用户界面 ( GU I) :L M I 编辑器和 Magshape 界面 。用户可以在 L M I 编辑器中很方 便地描述线性矩阵不等式 。
F11 ( x) - F12 ( x) F2-21 ( x) F1T2 ( x) < 0 。
(5)
注意到式 (4) 和式 (5) 中的第二个不等式是一个非
线性矩阵不等式 ,上述的等价关系说明了应用矩
收稿日期 : 2002 - 09 - 13 作者简介 : 高金凤 (19782) ,女 ,安徽巢湖人 ,浙江工业大学硕士研究生 ,主要研究方向为不确定系统的鲁棒控制与 NCS 的稳定性
[16 ]
[17 ]
2
不确定时滞系统的鲁棒稳定与性能 基于 L M I 技术得到时滞独立和时滞相关系统的鲁
[12 ]
指标问题
棒稳定性和鲁棒性能判据
[18 ]
3
多目标优化与混合 H2/ H ∞控制与 问题的形式在描述的时候转化为标准的线性矩阵
[19 ]
滤波问题
不等式 ,利用 Matlab 软件的 L M I 工具箱中的求解
不确定系统的鲁棒控制与滤波问题的提出基 于如下考虑 。
①被控 对 象 不 是 由 一 个 确 定 的 模 型 来 描 述 的 ,仅仅知道模型属于某个已知的模型集合 ;
②外部信号包括干扰信号和传感器噪声等不 是具有已知特性的信号 ,仅仅知道其属于某个已
给出矩阵的 Schur 补引理及其性质 。
引 理 :对给定的对称矩阵 F ( x) ,以下 3 个
结论是等价的 。
(i) F ( x) < 0 ;
(3)
(ii) F11 ( x) < 0 ,
F22 ( x) - F1T2 ( x) F1-11 ( x) F12 ( x) < 0 ;
(4)
(iii) F22 ( x) < 0 ,
题比较成功和完善的 H ∞理论取得了长足的发 展 ,经历了从频域到时域 、从定常系统到时变系 统 、从线性系统到非线性系统 、从连续系统到离散 系统 、从无时滞系统到时滞系统以及从单目标到 多目标的控制等发展历程 。
随着不确定系统鲁棒二次镇定和 H ∞状态空 间理论研究所取得的突破性进展 ,保成本控制引 起许多学者的极大兴趣并得到了不少成果 。一个 实际控制系统仅仅具有稳定性是不够的 ,还必须 考虑其他的一些性能 。线性二次型最优控制理论 揭示了一个适当的二次型性能指标 ,能反映系统 的许多性能要求 。最初由 Chang 和 Peng[10 ]提出 了不 确 定 系 统 的 保 性 能 控 制 问 题 ( Guaranteed Cost Control 简称 GCC) ,其主要思想是对具有参 数不确定性的系统 ,设计一个控制律 ,不仅使得闭 环系统稳定 ,而且使得闭环系统的性能不超过某 个确定的上界 。近年来有许多学者针对这个问题 作了积极地探讨 ,典型的结论如文献[ 11 ] ,针对一 类范数有界的时变参数不确定性的离散时间线性 系统 ,设计其最优保性能状态反馈控制律 ,通过采 用线性矩阵不等式方法 ,导出了存在保性能控制 律的一个充分必要条件 ,文中与 Riccati 方程的方 法作了比较 ,结果说明 L M I 方法降低了闭环系统 性能指标的保性能值 。而文献[ 12 ]针对一类同时 带有状态和输入时滞不确定离散系统以及给定的 二次型性能函数 ,同样采用线性矩阵不等式的方 法 ,研究了使得闭环系统稳定和性能指标函数值 不超过某个特定的上界的控制律设计问题 。
2 线性矩阵不等式的介绍
一个线性矩阵不等式具有如下形式 :
F ( x) = F0 + x 1 F1 + … + x m Fm < 0 (1)
式中 , x 1 , …, x m 是 m 个实数变量 ,称为是线性矩
阵不等式 (1) 的决策变量 , x = ( x 1 , …, x m ) T ∈
Rm 是由决策变量构成的向量 , 称为决策向量 。Fi
等 ;俞 立 (19612) ,男 ,浙江杭州人 ,浙江工业大学教授 ,博士 ,主要从事鲁棒控制 、时滞系统的分析与控制等研究 。
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
摘 要 : 介绍了线性矩阵不等式的基本概念和用于求解线性矩阵不等式的软件工具 箱 Matlablmi 的 3 个求解器 ,对线性矩阵不等式在控制系统中的应用作了详细的综述 。分 析了其在当前的两个研究热点 ,即不确定系统的鲁棒控制与鲁棒滤波中的运用 。同时探 讨了时滞系统与非线性系统的研究现状 。然后列举了一些具有代表性的采用 L M I 求解控 制问题的最新结果 。为了说明线性矩阵不等式的求解过程 ,给出了一个保性能控制的例 子 ,在 Matlab 513 编辑器中运行程序 ,得到的结果是最优性能指标值 , copt = J 3 101677 7 。 关 键 词 : 线性矩阵不等式 ;时滞 ;凸优化 ;L M I 工具箱 中图分类号 : TP 13 文献标识码 : A
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控 制 工 程 第 10 卷
阵的 Schur 补性质 ,一些非线性矩阵不等式可以 转化成线性矩阵不等式 。从而利用现有的软件 Matlab 中的 L M I 工具箱可以直接对问题求解 。
在控制 、辨识和信号处理等领域中 ,许多问题 都可以转化成用线性矩阵不等式来描述的优化问 题 。这里介绍 3 类标准的线性矩阵不等式问题及 其求解 :一是可行性问题 (L M IP) ;二是特征值问 题 ( EV P) ; 三 是 广 义 特 征 值 问 题 ( GEV P) 。在 MA TLAB 软件的线性矩阵不等式工具箱 (L M I Toolbox) 中给出了 3 类问题的求解器 。控制系统 中的一些性能指标 、稳定性判据可以转化为 L M I 的 3 类标准问题 ,其原因是由于一方面 Lyapunov 方法易得到凸的或拟凸的条件 ,另一方面 L M I 本 身能表示范围广泛的不同类凸约束 。
1 引 言
在过去的 10 余年内 ,由于线性矩阵不等式 (L M I) 的优良性质以及解法的突破 ,使其在控制 系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用 。 在此之前 ,绝大多数的控制问题都是通过 Riccati 方程或其不等式的方法来解决的[1～3 ] 。但是解 Riccati 方程或其不等式时 ,有大量的参数和正定 对称矩阵需要预先调整 。有时 ,即使问题本身是 有解的 ,也找不出问题的解 。这给实际应用问题 的解决带来极大不便 ,而线性矩阵不等式方法可 以很好地弥补 Riccati 方程 方 法 的 上 述 不 足[4 ] 。 在解线性矩阵不等式时 ,不需要预先调整任何参 数和正定对称矩阵 。本文对 L M I 在控制工程中 的发展和现状进行简要的回顾 ,着重讨论 L M I 在 不确定控制系统中的应用研究成果以及展望 。
知的信号集合 。 对于这两种情况 ,加拿大学者 Zames 于 1981
年提出了以控制系统的某些信号间的传函矩阵的 H ∞范数作为优化性能指标的设计思想[6 ] 。美国
学者 Doyle 于 1982 年针对 H ∞性能指标发展了 结构 奇 异 值 的 方 法 来 检 验 鲁 棒 性 [7 ] 。1988 年 Doyle 等 人 在 全 美 控 制 会 议 上 发 表 的 著 名 的 D GKF 论文为标志 ,将 H ∞控制器的设计归结为 两个 Riccati 方程的求解[8 ] 。进入 20 世纪 90 年 代 ,L M I 技术引入到 H ∞鲁棒控制 ,L M I 的引入 不但降低了 H ∞控制的限制条件 , 而且扩展了 H ∞控制的研究领域[9 ] 。此后 ,解决鲁棒控制问
在线性矩阵不等式使用之前 ,许多控制问题 是用 Riccati 不等式方法来解决的 ,而 Riccati 不等 式的求解带有一定的保守性 。Riccati 不等式是 二次矩阵不等式 ,所以将二次矩阵不等式转化成 线性矩阵不等式很有必要和意义 ,在此转化过程 中 ,矩阵的 Schur 补引理起着决定性的作用 。考 虑一个矩阵 F ( x) ∈ Rn ×n ,并将 F ( x) 进行分块
F11 ( x) F12 ( x)
F ( x) =
wk.baidu.com(2)
F21 ( x) F22 ( x)
式中 , F11 ( x) 是 r ×r 维的 。假定 F11 ( x) 是非奇
异的 ,则 F22 ( x) - F21 ( x) F1-11 ( x) F12 ( x) 称为是
F11 ( x) 在 F ( x) 中的 Schur 补 。下面不加证明地
求解线性矩阵不等式问题的算法主要有椭球 法和内点法及其他的数值解法 ,Beck 在文献 [ 5 ] 中对这些方法做了详细的探讨 。其中内点法的优 点很明显 ,它不需要给出迭代的初始可行解且能 够求解拟凸问题 。Matlab 软件开发出功能强大 的 L M I 工具箱的算法就是基于内点法 ,它提供了 与上述相对应的 3 类标准的线性矩阵不等式问题 求解函数 :feasp , mincx ,gevp 。此外 ,该工具箱还 可用于以下几方面 。
与此同时 ,不确定系统的鲁棒辨识与鲁棒估 计也得到了一定程度的发展 。早期的滤波器设计
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
第 2 期 高金凤等 : 线性矩阵不等式及其在控制工程中的应用
=
F
T i
∈ Rn ×n , i
= 0 ,1 , …, m , 是一组给定的实
对称矩阵 ,式 (1) 中的“ < ”指的是矩阵 F ( x) 是负
定的 ,即对所有非零的向量 v ∈ Rn , vT F ( x) v < 0 或 F ( x) 的最大特征值小于零 。所有满足线性矩 阵不等式 (1) 的 x 的全体构成一个凸集 。
·147 ·
是基于 Riccati 方程的求解 ,但是矩阵 Riccati 方程 国内外众多学者都对基于 L M I 方法的各种控制 所求的 解 是 空 间 唯 一 的 点 。所 以 近 年 来 使 用 与滤波问题进行了由浅入深的研究 ,具有代表性 L M I 方法设计满足性能指标的滤波器得到广泛 的研究成果详见表 1 。表中不仅仅列举了基于 的应用[13 ] 。基于 L M I 方法的时域状态空间的不 L M I 的不确定系统的控制器与滤波器设计 ,还有 确定系统的分析与综合 ,具有能揭示系统的内部 L M I 技术应用在时滞系统 、非线性系统等方面的 结构和易于计算机辅助设计等优点而倍受重视 。 成果 。
2003 年 3 月 第10卷第2期
控制工程 Cont rol Engineering of China
Mar . 2 0 0 3 Vol. 10 ,No . 2
文章编号 : 167127848 (2003) 0220145205
线性矩阵不等式及其在控制工程中的应用
高金凤 , 俞 立 , 王春平
(浙江工业大学 信息工程学院 , 浙江 杭州 310032)
表 1 基于 LMI 方法的各种控制与滤波问题
序号
系统描述
采用方法
文献
1
不确定线性系统和非线性系统的状 基于 L M I 转化为凸优化问题求得鲁棒界 ;对于非
[14 ]
态反馈以及输出反馈表述
线性如 L urie 系统则通过 L yapunov 函数方法得到
[15 ]
系统稳定的 L M I 判定准则
①多目标控制器综合 ,包括 L Q G 综合 , H ∞ 综合和极点配置综合 。
②系统鲁棒性的分析和测试 ,包括检测时变 线性系统的二次稳定性 ,带有参数的 Lyapunov 稳 定性 , 混 合 的 μ 分 析 以 及 带 有 非 线 性 成 分 的 Popov 准则 。
③系统的辨识 、滤波 、结构设计 、图形理论 、线 性代数以及加权值等问题 ,L M I 工具箱还提供了 两个交互的图形用户界面 ( GU I) :L M I 编辑器和 Magshape 界面 。用户可以在 L M I 编辑器中很方 便地描述线性矩阵不等式 。
F11 ( x) - F12 ( x) F2-21 ( x) F1T2 ( x) < 0 。
(5)
注意到式 (4) 和式 (5) 中的第二个不等式是一个非
线性矩阵不等式 ,上述的等价关系说明了应用矩
收稿日期 : 2002 - 09 - 13 作者简介 : 高金凤 (19782) ,女 ,安徽巢湖人 ,浙江工业大学硕士研究生 ,主要研究方向为不确定系统的鲁棒控制与 NCS 的稳定性
[16 ]
[17 ]
2
不确定时滞系统的鲁棒稳定与性能 基于 L M I 技术得到时滞独立和时滞相关系统的鲁
[12 ]
指标问题
棒稳定性和鲁棒性能判据
[18 ]
3
多目标优化与混合 H2/ H ∞控制与 问题的形式在描述的时候转化为标准的线性矩阵
[19 ]
滤波问题
不等式 ,利用 Matlab 软件的 L M I 工具箱中的求解