风险度量方法研究

二、带有主观调整的风险度量模型 在这一部分我们研究了一致性风险度量模型凸组合的性质，发现一致性风险度量模型的
凸组合仍然保持一致性，并把这一性质应用到 ES模型，得到了带有风险调整的一致性风险 度量指标。 定理1：假设 ρi ， i = 1,2,L , n 是一系列一致性风险度量指标， ai ， i = 1,2,L , n 是一系列 常数，且满足
0 u p α g ( u) = u − α u ≥α 1 −α
则DRM模型变为CVaR模型。 同时，DRM模型的度量指标 ρ ( X ) 是否具有一致性，可以从变换函数 g 进行判断，当 变换函数连续时，DRM模型的度量指标就是一致性风险度量指标。这一性质为我们根据实 际需要构建一致性风险度量指标提供了优质的平台。 在前面，我们对现有的风险度量模型进行了简单的回顾，并分析对比了一致性风险度量 模型和非一致性风险度量模型的优缺点， 充分肯定了一致性风险度量模型的优越性。 但每一 个一致性模型都是一致性风险度量模型空间中的一个特例， 那么我们是否能够由现有的一致 性风险度量模型扩张成一致性风险度量模型空间的一个子空间呢？或者说是否一致性风险 度量模型的凸组合仍然是一致性风险度量模型呢？在下面一部分， 我们将对这一问题进行具 体的分析。
0
1
度量指标。
ρ = ∫ du (α )α ESα = −∫ du (α )α
0 0
1
1
1 α
∫
α
0
F −1 ( p) dp
= − ∫ du (α ) ∫ F −1( p )dp
0 0
1
α
对上式应用卷积公式得：
ρ = − ∫ du (α ) ∫ F −1 ( p) dp = −∫ F −1 ( p )dp ∫ du(α )
ρ ( X ) = E* ( X ) = − ∫ g ( F( x )) dx + ∫ [1 − g ( F( x))]dx
−∞ 0
0
+∞
DRM模型包含了诸如 VaR、 CVaR等风险度量指标，它是一类更广义的风险度量指标。 例如：
g ( u) =
则DRM模型变为VaR模型；
{
0 1
u pα u ≥α
VaR(α ) = − min{x | F (x ) ≥ α }
该模型在证券组合损失 X 符合正态分布，组合中的证券数量不发生变化时，可以比较 有效的控制组合的风险。因此，2001年的巴塞耳委员会指定VaR模型作为银行标准的风险度 量工具。但是 VaR模型只关心超过 VaR值的频率，而不关心超过 VaR值的损失分布情况，且 在处理损失符合非正态分布（如后尾现象）及投资组合发生改变时表现不稳定。 2、 一致性风险度量模型 (Coherent measure of risk)： Artzner et al. (1999) 提出了一致性风险度量模型，认为一个完美的风险度量模型必须满 足下面的约束条件： 1、 单调性： X ∈ V , X ≥ 0
b
a
du(α ) = 1，
du(α ) ≥ 0 的 du (α ) ，都有 ρ = ∫ du (α )ρα 是一致性风险度量指标。
a
b
证明：这一结果是显而易见的，它是定理一的连续形式，只需要在 ρα 满足一致性风险度量 指标的4个条件的前提下，证明 ρ 也满足一致性风险度量指标的4个条件，下面只给出次可 加性的证明：由 ρα 是一致性风险度量指标，则对任意的 X ∈ V , Y ∈V , X + Y ∈V 都有
CVaRα = −E{ x | F ( x ) ≤ α }
CVaR模型在一定程度上克服了 VaR模型的缺点不仅考虑了超过 VaR值的频率，而且考虑 了超过 VaR值损失的条件期望，有效的改善了 VaR模型在处理损失分布的后尾现象时存在的 问题。当证券组合损失的密度函数是连续函数时，CVaR模型是一个一致性风险度量模型， 具有次可加性，但当证券组合损失的密度函数不是连续函数时，CVaR 模型不再是一致性风 险度量模型，即CVaR模型不是广义的一致性风险度量模型，需要进行一定的改进。 4、ES 模型（ Expect shortfall） : ES 模型是在CVaR基础上的改进版，它是一致性风险度量模型。如果损失 X 的密度函数 是连续的，则ES模型的结果与CVaR模型的结果相同，如果损失 X 的密度函数是不连续的， 则两个模型计算出来的结果有一定差异，定义为： 设 X 是描述证券组合损失的随机变量， F ( x ) = P[ X ≤ x] 是其概率分布函数，令
∑a
i =1
n
i
= 1 ，则 ρ = ∑ ai ρi 是一致性风险度量指标。
i= 0
n
证明：结果是显而易见，只需要在 ρi 满足一致性风险度量指标的4个条件的前提下，证明 ρ 也满足一致性风险度量指标的4个条件。下面只给出次可加性的证明：由 ρi 是一致性风险度 量指标，则对任意的 X ∈ V , Y ∈V , X + Y ∈ V
n
⇒
n
ρi ( X + Y ) ≤ ρi (X ) + ρi (Y )
ρ ( X + Y ) = ∑ ai ρi ( X + Y ) ≤ ∑ ai [ ρi ( X ) + ρi (Y )]
i =1 i =1
= ∑ ai ρi ( X ) +
i =1
n
∑ a ρ (Y ) = ρ ( X ) + ρ (Y )
ρi ( X + Y ) ≤ ρi (X ) + ρ i (Y ) 。因为 du (α ) 满足 ∫ du(α ) = 1， du(α ) ≥ 0 ，所以
a
b
ρ ( X + Y ) = ∫ du (α ) ρα ( X + Y ) ≤ ∫ du (α )( ρα ( X ) + ρα (Y ))
a a
⇒ ρ ( X + a) = ρ ( X ) − a
次可加性条件保证了组合的风险小于等于构成组合的每个部分风险的和， 这一条件与我 们进行分散性投资可以降低非系统风险相一致，是一个风险度量模型应具有的重要的属性， 在实际中也具有重要的意义： 首先，次可加性在银行的资本金确定上具有重要意义，如某银行有很多支行组成，每个 支行根据自己的风险分别计算自己的资本金需求数量， 则该银行总的资本金需求量会小于等 于每个支行的资本金需求量之和。 其次， 次可加性条件在我们求解最优化组合中也具有重要的意义， 在该条件下求解最优 化组合的问题变成了一个凸规划，它的解具有存在唯一性。 但我们前面介绍的 VaR模型不满足次可加性条件，它不是一致性风险度量模型，因此在 某种意义上不是一个好的风险度量指标。例如：假设有两个面值100元，且不同时违约的企 业债券 A和 B，初始值都为98.9元，在不同的期末事件发生情况下，这两个债券的支付如下 表： 期末事件 1 2 3 4 5 A 70 90 100 100 100 B 100 100 70 90 100 （表一） 从上表中我们可以分别计算出债券A，债券B，组合A＋B，5％的VaR值，如下表： A 初始值 5％－VaR 98.9 8.9 B 98.9 8.9 （表二） 在上面的例子中，我们看到债券 A和 B的5％－ VaR值的和小于组合 A＋ B的 5％－ VaR的 值，这将直接导致我们在投资时，不是进行分散性投资，而是把所以的资金投在某一种债券 上，这与我们投资理论是明显相矛盾的。因此，我们有必要提出一种具有一致性的风险度量 指标。 A＋B 197.8 27.8 A+B 170 190 170 190 200 Prob 3% 2% 3% 2% 90%
0 0 0 p
1
α
1
1
取 f ( p) =
Байду номын сангаас
∫
1 p
du (α ) ，因为 du(α ) ≥ 0 ，则 f ( p) = ∫ du (α ) ≥ 0 ，且 f ( p ) 是 p 的减函数，
F −1 ( p ) = inf{x | F ( x) ≥ p}
则 ES(α ) ( X ) 可以表示为：
ES(α ) ( X ) = −
1 α
∫
α
0
F −1 ( p) dp
ES模型对于损失 X 的分布没有特殊的要求，在分布函数连续和不连续的情况下都能保 持一致性风险度量这一性质， 使该模型不仅可以应用到任何的金融工具的风险度量和风险控 制， 也可以处理具有任何分布形式的风险源， 而且保证了在给定风险量的约束条件下最大化 预期收益组合的唯一性。例如同样是对于前面表一提到的两个债券，我们采用 ES模型度量 债券A和B，以及组合A＋B的风险指标，如下表： A 初始值 5％－ES 98.9 20.9 B 98.9 20.9 A＋B 197.8 27.8
i =1 i i
n
所以 ρ 满足次可加性，类似可以证明其它3个性质，证毕。 上面的定理给出了 ρi 是离散的情况， 对于 ρα 是一族风险度量指标的情况如 ρα = ESα ， 我们依然可以得到类似的结果。 推论：如果 ρα 是一族一致性风险度量指标 α ∈ [ a , b] ，那么对于任何的满足
∫
⇒ ρ( X ) ≤ 0；
2、 次可加性： X ∈ V , Y ∈V , X + Y ∈ V 3、 正齐次性： X ∈ V , h f 0, hX ∈ V 4、 平移不变性： X ∈ V , a ∈ R
⇒ ρ ( X + Y ) ≤ ρ (X ) + ρ (Y ) ； ⇒ ρ ( hX ) = hρ ( h)
一、基本概念和模型回顾 1、 VaR 模型（ Value at Risk ） ： 风险价值模型产生于1994年，比较正规的定义是：在正常市场条件下和一定的置信水 平 α 上，测算出在给定的时间段内预期发生的最坏情况的损失大小 X 。在数学上的严格定 义如下： 设 X 是描述证券组合损失的随机变量， F ( x) 是其概率分布函数，置信水平为 α ，则：
近二十年来，由于受经济全球化和金融一体化、现代金融理论及信息技术、金融创新等 因素的影响，全球金融市场迅猛发展，金融市场呈现出前所未有的波动性，金融机构面临着 日趋严重的金融风险。 近年来频繁发生的金融危机造成的严重后果充分说明了这一点。 因此， 如何更准确合理的度量金融风险成为金融机构、政策当局及学术界的密切关注的热点问题。
3、 CVaR模型 (Condition Value at Risk)： 条件风险价值（CVaR）模型是指在正常市场条件下和一定的置信水平 α 上，测算出在 给定的时间段内损失超过 VaRα 的条件期望值。 设 X 是描述证券组合损失的随机变量， F ( x) 是其概率分布函数，则条件风险价值可以 表示为：
风险度量方法研究
内容摘要： 本文在对现有的非一致性风险度量模型和一致性风险度量模型分析的基础上， 提出了一种新的一致性风险度量概念和一类新的风险度量指标， 即主观调整的一致性风险度 量模型。 现行标准风险管理工具 VaR 和内在一致风险度量方法 ES 等分别是该度量方法的一 种特例。 关键词： Value at risk（VaR） 、Condition Value at risk (CVaR) 、Expected shortfall (ES)、 Distortion Risk-Measure、内在一致性风险度量指标、主观调整的一致性风险度量模型；
可以看到债券A和B风险的和大于组合A＋B，与分散性投资理论相一致。
4、 DRM模型（ Distortion Risk-Measure ） : DRM模型通过构造一类特殊的变换函数，并通过一定的规则得到一类新的风险度量指 标，它的准确定义为： 设 g 是一个变换函数，满足： g :[0,1] → [0,1] 是一个增函数，且 g (0) = 0 ， g (1) = 1 。 则 F * ( x) = g ( F( x )) 定义了一个新的概率分布函数。 如果变换函数 g 是一个连续的严格单调 的函数，那么 F * 和 F 是等价概率测度。我们的DRM模型风险度量指标 ρ ( X ) 表示为：
b
b
= ∫ du(α ) ρα ( X ) + ∫ du (α ) ρα (Y ) = ρ (X ) + ρ (Y )
a a
b
b
所以满 ρα 足次可加性，类似可以证明其它3个性质，证毕。
ESα 模型是一个一致性风险度量指标，我们可以把上面的推论应用到该模型上，假设
∫
1
0
α du(α ) = 1 ， du(α ) ≥ 0 ，α ∈ [0,1] ，则由推论可知： ρ = ∫ du (α )α ESα 是一致性风险