2.1数列极限(习题课)

若数列{an}有界. 证明:数列{xn}收敛.
其中常数q(0,1). 证明: 数列{xn}收敛.
五. 数列极限存在的判别法小结
xn 2 (n 1, 2, ) 例1 (习题2.1/10(1)) 设x1 = 1, xn1 xn 1
证明: 数列{xn}收敛并求极限值. 提示: 按下面思路给出三种证法 方法一 利用P24例7结论; 方法二 利用压缩性定理;
方法三 分奇偶子列利用单调有界定理.
五. 数列极限存在的判别法小结
例2 (习题2.1/12) 设xR
sin x sin 2 x sin nx an 1 2 2 2 1 2 n
证明: 数列{an}收敛. Ex. (习题2.1/14) 设有数列{xn}, 令
an | x2 x1 | | x3 x2 | | xn1 xn |
三. 用“—N”定义证明数列极限
1 1 xn A 0 , 按定义证明 lim 2 2 . 例1 设 lim n x n A n
1 1 . xn A 0, 按定义证明 lim Ex.1 设 lim n n xn A
5n 2 n 1 5 . (采用适当放大法) 例2 按定义证明 lim n 3n 2 5 3
二. 确界的若干性质 例2(习题1.4/1) 设对x E有f (x) g(x). 证明
1) sup f ( E) sup g( E); 2) inf f ( E ) inf g ( E ).
例3(习题1.4/3) 设f (x), g(x)是E上的有界正值函数. 证明: inf f ( E) inf g ( E) inf( f g)( E) inf f ( E) sup g( E) 并举例说明上式可取到严格不等号！
AB {ab | a A, b B}.
证明:
1) sup AB sup A sup B; 2) inf AB inf A inf B.
特别地, 当a > 0时,
sup(aA) a sup A; inf(aA) a inf A;
又问, 当a 0时, 结论如何?
例3 概念辨析(习题2.1/1, 视作业完成情况选择讲解)
四. 数列的构造性证明问题 通常需要根据条件构造满足要求的数列！ 例1(习题2.1/2) 设E为非空上有界集, 记 = sup E. 若 E. 证明: 自E中可选取严格递增数列{xn}
使得:
lim xn .
n
Ex.2(习题2.1/2) 设E为非空上无界集. 证明: 自E中
Chap2 ― 1
数列极限—习题课
一. 命题否定的正面叙述 例1 设命题P为: 数列{xn} 收敛于A. 请给出P的
பைடு நூலகம்
肯定叙述.
例2 设命题P为: 数列{xn} 为正无穷大. 请给出P
的肯定叙述. 例3 设命题P为: 函数f (x) 在区间I上是上有界的.
请给出P的肯定叙述.
二. 确界的若干性质 例1(习题1.3/4) 设非空数集 A, B R+, 定义
an lim 0, n a n 1 an 2
五. 数列极限存在的判别法小结 定义法、夹逼性法、奇偶子列法、P24例7结论、 Stolz定理、Cauchy收敛准则、单调有界定理以及
定理 (压缩性) 设数列{xn}满足压缩性条件
| xn1 xn | q | xn xn1 | (n 2,3, )
xn . 可选取严格递增数列{xn}使得 lim n
四. 数列的构造性证明问题 Ex.3 非无穷大数列中必含有有界子列! 例2 (习题2.1/15) 设an > 0, 且 证明: 数列{an}上无界. Ex.4 设an 0, 且 lim
an 0, 证明: 数列{an}为无穷大. n a n 1