理论力学课件第一篇静力学第三章 平面任意力系x

沿直线狭长面积分布的平行力通常可以简化成为沿 直线分布的平行力，简称为线分布力或线分布荷载。
例如：作用于坝上的水荷载和作用于梁上的荷载， 均为线分布荷载。
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第三节 沿直线平行分布力的简化
水压力的简化
梁上面力荷载的简化
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第三节 沿直线平行分布力的简化
表示力的分布情况的图形称为荷载图。某一单位 长度上所受的力，称为分布力在该处的荷载集度。如 果分布力的集度处处相同，则该分布力称为匀布力或 匀布荷载；否则，就称为非匀布力或非匀布荷载。 用q 代表线分布力的集度。集度q 定义为某一微小长 度△L 上所受的力△Q 与△L 之比当△L→0 时的极限， 即 Q
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一、平面任意力系的简化
设在某一刚体上作用着平面一般力系F1、F2、…Fn，如 图所示。显然无法象平面汇交力系那样，用力的平行四边形 法则来合成它。
F1
F2
Fn
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应用力线平移定理，将该力系中的各个力逐个向刚体上的 某一点o（称为简化中心）平移，再将所得的平面汇交力系和 平面力偶系分别合成。过程为：
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第二节 平面任意力系的简化
矢量 FR = Fi称为原力系的主矢量，力偶 M 0 称为原力系对于简化中心Ｏ的主矩。
M
0i
可见，平面任意力系向所在平面内一点（简化中心） 简化的一般结果是一个力和一个力偶，这个力作用于简 化中心，等于原力系中所有各力的矢量和，亦即等于原 力系的主矢量；这个力偶在原力系所在平面内，其矩等 于原力系中所有各力对于简化中心的矩的代数和，亦即 等于原力系对于简化中心的主矩。
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2. 力系简化为合力
（1） FR '
F’
R
0, M o 0
0, M o 0
就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心。
（2） FR '
力系仍可简化为一个合力，但合力的作用点不通过简化 中心。 FR’ o Mo (a )
O
FR’ o
FR o d
O
FR
d
O
FR‘’ (b) 力系简化为合力
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第一节 力的平移定理
注意：一般说来，在研究变形问题时，力是不能
移动的。
思考：图3-3所示的梁A端受一力Ｆ，如将Ｆ平行
移动至O点成为F′并附加一力偶矩M，其变形效果将如何？
图3-3
悬臂梁
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第二节 平面任意力系的简化
第二节 平面任意力系的简化
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第二节 平面任意力系的简化
q
A
B x
似三角形关系可知
q B x
A dx x h
x q q l
因此分布载荷的合力大小
l
l
1 dx ql F q 2 0
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设合力F 的作用线距A端的 距离为h，根据合力矩定理，有 F
q
q
Fh
B x
A x h dx

l
0
qxdx
将q' 和 F 的值代入上式，得
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FRx cosFR , i 0.614, FR FRy cosFR , j 0.789, FR
M O M O F
主矢的方向：
FR , i 52.1
y A B
FR , j 37.9
MO
O
FR FR
F q l 10.91 16 174 .6kN,
作用线则通过梁的中点。
F
q=10.91kN/m
FA
16 m
FB
图
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（2）非均布荷载：荷载集度不是常数的荷载。
如图所示坝体所受的水压力为非均布荷载。
A
qy
y
B
C
图
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例题3-2
水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。 载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。 q 解 在梁上距A端为x的微段dx 上，作用力的大小为q'dx ， 其 中q'为该处的载荷集度 ，由相 l F
三、 平面任意力系简化结果的解析计算 过简化中心O作直角 坐标系Oxy。 由于
FR F1 F2 + Fn = Fi
所以，可得：
FRx F1x F2 x Fnx Fix FRy F1 y F2 y Fny Fiy
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q lim
L 0
L
线分布力集度的单位是N/m、kN/m 等。
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第三节 沿直线平行分布力的简化
设图中的AabB 为直线段AB上的荷载图。取直角坐 标系Oxy，使y轴平行于分布力。命与原点相距x 处的 荷载集度为q，则在该处微小长度△x 上的力的大小为 △Q=q△x,亦即等于△x上荷载图的面积 △A。
2. 求主矩MO
x C
2 F2 cos 60 2 F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合 成结果是一个合力FR。如右图所示。
FR FR 合力FR到O点的距离 d M O 0.51 m
FR
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第二节 平面任意力系的简化
各力作用线位于同一平面内但不全汇交于一点、也 不全相互平行，则该力系称为平面任意力系，简称平面 力系。 例如，厂房建筑中常采用刚架结构，取其中一个刚架 来考察,如图a所示，作用于其上的力可简化为图b所示的 平面力系。
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第二节 平面任意力系的简化
有些空间力系的问题，可近似地简化为平面力系问 题来分析计算。 如水利工程上常见的重力坝，如图a所示。在对其进行 力学分析时，往往取单位长度（如１ｍ）的坝段来考察， 而将坝段所受的力简化成为作用于坝段中央平面内的平面 力系，如图b所示。
(c)
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3. 力系平衡
FR' 0, M o 0
是平面一般力系平衡的充分和必要条件。
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第二节 平面任意力系的简化
平面力系的合力矩定理：若平面任意力系简化 成为一个合力，则合力对于该力系平面内任一 点的矩等于各分力对于同一点的矩的代数和。
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例题3-1
矢量和，即
FR = F1 + F2 + + Fn
亦即
FR = F1 + F2 + + Fn = Fi
根据力偶系合成的理论， M O 应等于各附加力偶矩的 代数和，又等于原力系各力对点O 的矩的代数和， 即:
M O M 1 M 2 M n M O Fi
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荷载的单位
（1）集中荷载的单位，即力的单位为（N,kN)。
分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。
（2）体分布荷载的单位： N
（3）面分布荷载的单位： N （4）线分布荷载的单位： N
/m
/m
/m
2
3
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分布荷载的计算方法 （1）均布荷载：集度为常数的分布荷载。 如图所示的均布荷载，其合力为：
在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个
力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以 上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的 最后合成结果。
y
F2 A
60°
B
F3
2m
F1
C
F4
30°
x 3m
O
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解：
求向O点简化结果
1.求主矢 FR 。 建立如图坐标系Oxy。
F
c
c
m
F
(a)
F
(b)
图3-2
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第一节 力的平移定理
工程上有时也将力平行移 动，以便了解其效应。 例如，作用于立柱上A点 的偏心力F，可平移至立柱轴 线上成为F′，并附加一力偶矩 为M=Mo(F)的力偶，这样并不 改变力F的总效应，但却容易 看出，轴向力F′将使立柱压缩， 而力偶矩M将使短柱弯曲。 图3-2 立柱
如果选取不同的简化中心，主矢量并不改变，即 与简化中心的位置无关。但主矩一般将随简化中心位 置不同而改变。
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平面一般力系的三种简化结果 1 . 力系简化为力偶
FR' 0, M o 0
F
力系合成为一力偶，所以主矩与简化中心的位置无关。 例
a
C
a
a F A F B FR ' 0, M A M B M C 0.866 Pa
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第二节 平面任意力系的简化
即：
' M O FR xFRy

由合力矩定Hale Waihona Puke Baidu，得
M Oi x FRy
图 计算合力作用线的位置
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第三节 沿直线平行分布力的简化
第三节 沿直线平行分布力的简化
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第三节 沿直线平行分布力的简化
物体所受的力，往往是分布作用于物体体积内 （如重力、万有引力等）或物体表面上（如梁上的荷 载、坝或闸门上的静水压力等），前者称为体力，后 者称为面力。体力和面力都是分布力。
F
B
F
B
F
d
A F”
B
F
d
A
d A (c)
M=Fd
(a)
(b) 图力线平移定理的证明
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可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一 个位于平移平面内的力偶。反之，一个力偶和一个位于该 力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用面内的力 来等效替换 如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球心 （球的质心），则球将平动而不旋转；但若力的作用线与 球相切——“削球”，则球将产生平动和转动。 c
y
FRx Fx
F2
60°
A
B
F3
F2 cos 60 F3 F4 cos 30
0.598 kN
F4
F1 C O
3m
FRy Fy
x
2m
30°
F1 F2 sin 60 F4 sin 30
0.768 kN
所以，主矢的大小
2 2 FR FRx FRy 0.794 kN
l
2 h l 3
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第三节 沿直线平行分布力的简化
例题3-3
重力坝断面如图示，坝的上游有泥沙淤积。已 知水深H=46m，泥沙厚度h=6m，单位体积水重 =9.8kN/m3，泥沙在水中的容重 =8kN/m3。又 1m长坝段所受重力为W1=4500kN，W2=14000kN。 试将该坝段所受的力系向O 点简化，并求出简化 的最后结果。
第二节 平面任意力系的简化
主矢量 FR 的大小及方向余弦为：
FRy FRx cos ,cos FR FR 主矩，可直接用下式计算。 FR
2 2 FRx FRy
M O M 1 M 2 M n M O Fi
只要主矢量不等于零，力系总可简化成为一个 合力，至于合力作用线的位置，可以直接利用合力 矩定理求得。
合成 F’（合力）
合成 Mo（合力偶）
向一点简化
平面一般力系
平面汇交力系
平面力偶系
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F2
F1
（a)
F2
d1 d2 dn o
F1
Fn
(b)
FR'
Fn F2 ' M 2 Mn
o
y
F1 '
M1
(c)
o
Mo
x
Fn '
(d)
图 平面一般力系的简化
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第二节 平面任意力系的简化
根据汇交力系合成的理论， FR 应等于所有汇交力的
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第三章 平面任意力系
第三章 平面任意力系 第一节 力的平移定理 第二节 平面任意力系的简化 第三节 沿直线平行分布力的简化 第四节 平面任意力系的平衡条件 平衡方程 第五节 静定与超静定问题 物体系统的平衡
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第一节 力的平移定理
第一节
力的平移定理
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定理 ：作用在刚体上某点的力 F ，可以平行移动到刚体 上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶 矩等于原来的力 F 对平移点之矩。 证明：如下图所示： M B ( F ) Fd M M B ( F )

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第三节 沿直线平行分布力的简化
解：作用于坝上游面的水压力和泥沙压力为
平行分布力，上游坝面所受分布荷载的荷载图 为两个三角形。 设水压力合力为P1，则
则，线段AB上所受的分布力的 合力Q 的大小为：
Q Q qx A
= 线段AB上荷载图的面积
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第三节 沿直线平行分布力的简化
其次求合力Q 的作用线的位置。利用平面力系的 合力矩定理，可得
xc
xqx xA Q A
可见，xC 就是荷载图面积的形心的坐标。 综上所述，可知同向的线分布力的合力的大小等 于荷载图的面积（注意这一面积具有力的单位），合 力通过荷载图面积的形心。 如果荷载图的图形较为复杂：可分成几个简单的 图形，分别求每一简单图形所代表的分布力的合力； 如果分布力的集度是连续变化的，则可用积分法求其 合力。