量子力学第十二章习题
量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学习题集及解答
量子力学习题集及解答目录第一章量子理论基础 (1)第二章波函数和薛定谔方程 (5)第三章力学量的算符表示 (28)第四章表象理论 (48)第五章近似方法 (60)第六章碰撞理论 (94)第七章自旋和角动量 (102)第八章多体问题 (116)第九章相对论波动方程 (128)第一章 量子理论基础1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A （可见光），1A （x 射线）以及0.001A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =221υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即λνυhc h eV m ===221 )(1024.1106.11031063.6419834A e hc V λλλ⨯=⋅⨯⨯⨯⨯==∴--（伏） 当A50001=λ时， 48.21=V （伏）A 12=λ时 421024.1⨯=V （伏）A 001.03=λ时 731024.1⨯=V （伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。
[解] 普朗克公式为18/33-⋅=kT hv v e dvc hvd πνρ单位体积辐射的总能量为⎰⎰∞∞-==00/3313T hv v e dv v c h dv U κπρ令kThvy =，则 440333418T T e dy y c h k U y σπ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞ （★） 其中 ⎰∞-=0333418y e dyy c h k πσ （★★）（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。
这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。
其中σ是比例常数，可求出如下：因为)1()1(1121 +++=-=-------yy y y y ye e e e e e∑∞=-=1n ny edy e y e dy y n ny y ⎰∑⎰∞∞=-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=-013031 令 ny x =，上式成为dx e x n e dy y xn y⎰∑⎰∞-∞=∞=-03140311 用分部积分法求后一积分，有⎰⎰⎰∞-∞∞--∞∞--+-=+-=0220332333dx xe e x dx e x e x dx e x x xx xx66660=-=+-=∞∞--∞-⎰xx x e dx e xe又因无穷级数 ∑∞==144901n n π故⎰∞=⨯=-0443159061ππy e dy y 因此，比例常数⎰∞-⨯==-=015334533341056.715818ch k e dy y c h k y ππσ尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子； （2）能量为0.1电子伏的自由中子； （3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点； （4）温度T =1k 时，具有动能kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。
第十二章习题解答详解
第12章 量子物理基础 2010-12-2419世纪末、二十世纪初，为克服经典物理在解释一系列物理实验（如黑体辐射、光电效应、康普顿散射等）时所遇到的巨大困难，人们创立了量子理论，量子理论与相对论理论一起共同构成了现代物理学的两大理论支柱。
本章介绍量子理论基础。
主要内容有：普朗克能量子假设；爱因斯坦光量子假设和光电效应方程；光子和自由电子互相作用的康普顿效应；氢原子的玻尔理论；德布罗意物质波假设；不确定关系；量子力学关于氢原子的主要结果；薛定谔方程以及薛定谔方程用于求解一维势阱和势垒问题等。
§12-1 黑体辐射 普朗克量子假设12-1-1热辐射 黑体任何物体在任何温度下都向外发射各种波长电磁波的性质称为热辐射。
实验表明:热辐射具有连续的辐射能谱,辐射能按波长的分布主要决定于物体的温度，温度越高,光谱中与能量最大的辐射所对应的波长越短 ,辐射的总能量越大。
温度为T 时，从物体表面单位面积上在单位波长间隔内所发射的功率称为单色辐出本领，用M λ（T ）表示，单位是瓦/米2（W/m 2）。
温度为T 时，物体表面单位面积上所发射的各种波长的总辐射功率，称为物体的总辐射本领，用M （T ）式表示，单位为W ⋅m -2。
一定温度下时，物体的辐出度和单色辐出度的关系为0()()M T M T d λλ∞=⎰. （12-1-1） 任何物体在任何温度下都发射热辐射，也吸收热辐射。
不同物体发射(或吸收)热辐射的本领往往是不同的。
1860年基尔霍夫研究指出，热辐射吸收本领大的物体，发射热辐射的本领也大。
白色表面吸收热辐射的能力小,在同温度下它发出热辐射的本领也小;表面越黑, 吸收热辐射的能力就越大,在同温度下它发出热辐射的本领也越大。
能完全吸收射到它上面的热辐射的物体叫做绝对黑体（简称黑体）。
黑体辐射热辐射的本领最大，研究黑体辐射的规律具有重要的理论意义。
绝对黑体是理想模型，自然界中绝对黑体是不存在的，但存在着近似的绝对黑体。
量子力学课后习题答案
Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2
4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)
k
2
2
(
x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )
1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1
2
[ r
(
r2
ik
) r
r
(
r2
ik
r )]er
k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2
i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为
2
2
d2 dx2
(x) U (x) (x)
E (x)
在各区域的具体形式为：
x0
量子力学习题以及课堂练习答案
一.微观粒子的波粒二象性1、在温度下T=0k 附近，钠的价电子能量约为3电子伏特，求其德布罗意波长。
2、求与下列各粒子相关的德布罗意波长。
（1）能量为100电子伏特的自由电子；（2）能量为0.1电子伏特的自由中子；（3）能量为0.1电子伏特，质量为1克的自由粒子； （4）温度T=1k 时，具有动能kTE 23=的氦原子，其中k 为玻尔兹曼常数。
3、若电子和中子的德布罗意波长等于oA 1，试求它们的速度、动量和动能。
4、两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两电子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？5、设一电子为电势差U 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000oA （可见光）o A 1（x 射线），oA001.0（γ射线）时，加速电子所需的电势差各是多少？二.波函数与薛定谔方程1、设粒子的归一化波函数为 ),,(z y x ϕ，求 （1）在),(dx xx +范围内找到粒子的几率；（2）在),(21y y 范围内找到粒子的几率； （3）在),(21x x 及),(21z z 范围内找到粒子的几率。
2、设粒子的归一化波函数为 ),,(ϕθψr ，求：（1）在球壳),(dr rr +内找到粒子的几率；（2）在),(ϕθ方向的立体角Ωd 内找到粒子的几率； 3、下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？（1）Eti ix Eti ix ex ex t x---+=ψ)()(),(211ψψ[])()(21x x ψψ≠（2）tE i t E i ex ex t x 21)()(),(2--+=ψψψ)(21E E ≠（3）EtiEti ex ex t x)()(),(3ψψ+=ψ-4、对于一维粒子，设 xp i o e xπψ21)0,(=，求 ),(t x ψ。
5、证明在定态中，几率密度和几率流密度均与时间无关。
6、由下列两个定态波函数计算几率流密度。
12.第十二章 习题解答
第十二章 量子物理选择题12—1 在下列物体中,绝对黑体是 （ D ）(A) 不辐射可见光的物体;(B) 不辐射任何光线的物体;(C) 不能反射可见光的物体;(D) 不能反射任何光线的物体.12—2 与光谱辐出度的峰值相对应的波长m λ,随着黑体温度的升高将 （ B ）(A) 向长波方向移动;(B) 向短波方向移动;(C) 先向短波方向移动,后又向长波方向移动;(D) 不受影响.12—3 某单色光的波长为λ,则此光子的能量为 （ C ） (A) h c λ; (B) 0; (C) hc λ; (D) h λ. 12—4 当单色光照射到金属表面产生光电效应时,已知此金属的逸出功为A ,则该单色光的波长一定要满足的条件是 （ A ） (A) hc A λ≤; (B) hc A λ≥; (C) A hc λ≤; (D) A hcλ≥. 12—5 一个光子的波长与一个电子德布罗意波的波长相等,则 （ C ）(A) 光子具有较大的动量;(B) 电子具有较大的动量;(C) 它们具有相同的动量;(D) 光子的动量为零.12—6 不确定关系式x p h ∆∆≥表示在Ox 方向上 （ D ）(A) 粒子的位置不能确定;(B) 粒子的动量不能确定;(C) 粒子的位置和动量都不能确定;(D) 粒子的位置和动量不能同时确定.计算题12—7 黑体在某一温度时辐出度为425.6710W m -⨯⋅,求这时光谱辐出度峰值相对应的波长m λ.解 根据特藩-玻尔兹曼定律,4M T σ=,可得辐出度为425.6710W m M -=⨯⋅时,对应的黑体温度为1144485.6710K 1000K 5.6710M T σ-⎛⎫⨯⎛⎫=== ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭根据维恩位移定律,m b T λ=,可得温度为1000K 时,与光谱辐出度峰值相对应的波长为 363m 2.89810m 2.9010m 2.9010nm 1000b T λ--⨯===⨯=⨯ 12—8 在天文学中,常用斯特藩—波耳兹曼定律确定恒星的半径R .已知某恒星到达地球每单位面积上辐射功率为M ,恒星到地球的距离为R ',恒星的表面温度为T .若恒星的辐射与黑体相似,证明恒星的半径R =证 若恒星的辐射与黑体相似,则根据斯特藩—波耳兹曼定律,恒星表面的辐出度为40M T σ=.距离恒星中心为R '的球面所接受到的辐射功率,等于恒星辐射功率,有2204π4πR M R M '=即220MR M R '=将40M T σ=代入上式,可得恒星的半径为R =12—9 某金属逸出功为1.8eV ,当用波长为400nm 的光照射时,求:(1) 从金属表面逸出的电子的最大速率;(2) 遏止电势差.解 (1) 将c νλ=代入爱因斯坦光电效方程212h A m ν=+v ,可得从金属表面逸出的电子的最大速率为151m s 6.7710m s --==⋅=⨯⋅v(2) 从金属表面逸出的电子,最大动能为2k,max 12E m =v .将此代入k,max 0E eU =,可得遏止电势差为 ()234520199.110 6.7710V 1.30V 22 1.6010m U e --⨯⨯⨯===⨯⨯v12—10 钨的电子逸出功为4.52eV .(1) 求其截止频率;(2) 若用频率为155.0010Hz ⨯的光照射钨的表面，求逸出光电子的初速度. 解 (1) 钨的截止频率为19150344.52 1.6010 Hz 1.0910 Hz 6.6310A h ν--⨯⨯===⨯⨯ (2) 根据爱因斯坦光电效方程212h A m ν=+v ,可得从钨表面逸出的光电子的最大初速度为161s 2.3810 m s --==⋅=⨯⋅v 12—11 求动能为400eV 的电子的德布罗意波波长.解 电子的动能400eV 远小于其静能0.51MeV ,因此可以不考虑相对论效应.电子的德布罗意波的波长为34112 m 6.1410 m 6.1410 nmh p λ---====⨯=⨯ 12—12 求质量为24.010kg -⨯,速度为311.010m s -⨯⋅的子弹的德布罗意波波长.解 子弹的德布罗意波的波长为 3435236.62610 m 1.6610 m 4.010 1.010h h p m λ---⨯====⨯⨯⨯⨯v 12—13 一粒子弹速度为1500m s -⋅,其不确定量为0.01%.设子弹的质量为0.04kg ,求子弹坐标的不确定量.解 设子弹的速量不确定量在Ox 轴方向,则由x p h ∆∆=,可得子弹在该方向的坐标不确定量为343126.6310m 3.3210m 0.045000.0110h h x p m ---⨯∆====⨯∆∆⨯⨯⨯v 12—14 电子位置的不确定量为25.010nm -⨯,求电子速率的不确定量.解 设电子位置的不确定量在Ox 轴方向,则25.010nm x -∆=⨯.将p m ∆=∆v 代入x p h ∆∆=,可得电子速率的不确定量为3417131296.62610kg m s 1.4610m s 9.110 5.01010h m x ------⨯∆==⋅⋅=⨯⋅∆⨯⨯⨯⨯v。
大物上海交大课后答案第十二章
电子与光子的动能之比为
12-4．以速度 运动的电子射入场强为 的匀强电场中加速，为使电子波长 ，电子在此场中应该飞行多长的距离？
解：利用能量守恒，有： ，考虑到 ，
有：
，
利用匀强电场公式 有： 。
12-5．用电子显微镜来分辨大小为1 的物体，试估算所需要电子动能的最小值。（以 为单位）
解：由于需要分辨大小为1 的物体，因此电子束的徳布罗意波长至少为1 ，
由 ，有电子的动量为： ；
试算一下它的速度： ，
因此不考虑相对论效应，那么利用 ，有电子动能的最小值：
。
12-6．设电子的位置不确信度为 ，计算它的动量的不确信度；假设电子的能量约为 ，计算电子能量的不确信度。
解：由不确信关系： ，有 ，
（2）由 态跃迁到 态时，质子放出多大能量的光子？
解：（1）由一维无穷深势阱粒子的能级表达式：
时为零点能量：
（2）由 态跃迁到 态时，质子放出光子的能量为：
试探题12
12-1．证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。
证明：设电子轨道的半径为 ，那么电子轨道的周长为 ，需要证明 。
玻尔理论中，氢原子中的电子轨道为：
而电子的德布罗意波长： （∵ ）
12-10．计算一维无穷深势阱中基态粒子处在 到 区间的概率。设粒子的势能散布函数为：
解：依照一维无穷深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在 之间运动时，其定态归一化的波函数为： ，
概率密度为：
粒子处在 到 区间的概率： ，
若是是基态， ，那么 。
12-11．一个质子放在一维无穷深阱中，阱宽 。
（1）质子的零点能量有多大？
量子力学教程（二版）习题答案
第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b bTm3109.2 ,×´==-l 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：由普朗克黑体辐射公式：n n p nr n nd ec hd kTh 11833-=， 及ln c=、l ln d c d 2-=得1185-=kThcehc l l l p r ，令kT hc x l =，再由0=l r l d d ，得l .所满足的超越方程为所满足的超越方程为15-=x x e xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT hc m l ，将数据代入求得C m 109.2 ,03×´==-b b T ml 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ,求de Broglie 波长. 解：010A 7.09m 1009.72=´»==-mEh p h l # 1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。
波长。
解：010A 63.12m 1063.1232=´»===-mkT h mE h p h l其中kg 1066.1003.427-´´=m ，123K J 1038.1--×´=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。
）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--×´=B m ，求动能的量子化间隔E D ，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
的热运动能量相比较。
解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E mw m +=可以化为()12222222=÷÷øöççèæ+mw m E q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2mw m Eb E a ==，相空间面积为，相空间面积为,2,1,0,2=====òn nh EE ab pdq nw pp 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E n方法2：一维谐振子的运动方程为02=+¢¢q q w ，其解为，其解为()j w +=t A q sin速度为速度为 ()j w w +=¢t A q c o s ，动量为()j w mw m +=¢=t A q p cos ，则相积分为，则相积分为 ()()nh T A dt t A dt t A pdq T T ==++=+=òòò2)cos 1(2cos 220220222mw j w mw j w mw ， ,2,1,0=n nmw nh T nh A E ===222， ,2,1,0=n （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
新沪科版八年级物理全一册《第十二章小粒子与大宇宙》单元测试卷及答案
新沪科版八年级物理全一册《第十二章小粒子与大宇宙》单元测试卷及答案(试卷满分：100分；测试时间：45分钟)第一节走进微观1.如图所示是用来说明原子内部结构的示意图,由图可知构成宇宙中物质的最小粒子是 ()A.原子B.夸克C.中子D.原子核2.从微观世界到无限宇宙,人们一直在探索着自然的奥秘。
1897年,物理学家汤姆孙发现了电子,揭示了是可分的;物理学家在前人的研究积累上,发现日月星辰的运转与苹果下落有着某些相似,建立了著名的万有引力定律。
3.人类在探索微观世界的历程中,认识到原子由原子核和电子构成,而原子核又是由和构成的。
4.（多选）1897年,英国物理学家J.J.汤姆孙发现了比原子小得多的、带负电的电子,让科学家认识到原子也具有内部结构。
为了探究原子的结构,1909 年,新西兰科学家卢瑟福开始做“用一束高速α粒子(质量接近氦原子质量的带正电的粒子)轰击非常薄的金箔”的实验,如图所示。
大量实验发现:绝大多数α粒子的运动方向不发生改变,极少数α粒子的运动方向发生了较大的改变,个别α粒子甚至原路返回。
卢瑟福对实验现象进行分析,于1911年提出了原子的核式结构模型。
卢瑟福分析α粒子散射实验现象用到了()A.同种电荷相互排斥B.力可以改变物体的运动状态C.分子之间存在空隙D.α粒子比电子的质量大得多第二节看不见的运动1.古诗文是中华传统文化的瑰宝,有着极其丰富的内涵。
下列加点的古诗文中属于扩散现象的是 ()A.大漠风尘日色昏,红旗半卷出辕门B.冲天香阵透长安,满城尽带黄金甲C.城阙辅三秦,风烟望五津D.夹岸数百步,中无杂树,芳草鲜美,落英缤纷2.两个相同的杯子中装有质量相同的冷水和热水,分别向两杯中放入同样的糖块,冷水杯中的糖块比热水杯中的溶解得慢,这是因为冷水温度低导致 ()A.物质分子不运动B.水分子间没有间隙C.糖分子间没有斥力D.物质分子运动缓慢3.下列现象能说明分子做无规则运动的是 ()A.春风拂面,柳絮飞扬B.晨曦微露,雾漫山野C.百花齐放,花香四溢D.天寒地冻,大雪纷飞4.端午时节,人们佩戴装有中药材的香囊,我们能闻到淡淡的药香,说明 ()A.分子间有引力B.分子间有斥力C.分子是运动的D.分子间有空隙5.将两个表面光滑的铅块相互压紧,两铅块就会粘在一起、并能吊起多个钩码,如图所示。
近年高考物理一轮复习 第12章 量子论初步 原子核易错排查练(2021年整理)
（通用版）2018高考物理一轮复习第12章量子论初步原子核易错排查练编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（通用版）2018高考物理一轮复习第12章量子论初步原子核易错排查练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（通用版）2018高考物理一轮复习第12章量子论初步原子核易错排查练的全部内容。
第12章量子论初步原子核(限时：40分钟)易错点1 天然放射现象的理解易错角度1。
α粒子、β粒子的产生机理．2．γ射线是一种电磁波，不是粒子．3．衰变次数分析错误。
1．如图1所示,向外．已知放射源放出的射线有α、β、γ三种,下列判断正确的是（)图1A．甲是α射线，乙是γ射线，丙是β射线B．甲是β射线，乙是γ射线，丙是α射线C．甲是γ射线，乙是α射线，丙是β射线D．甲是α射线,乙是β射线,丙是γ射线B［γ射线不带电，在磁场中不发生偏转，C、D错．由左手定则可以判定甲带负电，丙带正电，由此可知．甲是β射线，丙是α射线，B对．]2．关于天然放射现象，下列说法正确的是( ）A．放射性元素的原子核内的核子有半数发生变化所需的时间就是半衰期B．放射性物质放出的射线中，α粒子动能很大，因此贯穿物质的本领很强C．当放射性元素的原子的核外电子具有较高能量时，将发生β衰变D．放射性的原子核发生衰变后产生的新核从高能级向低能级跃迁时，辐射出γ射线D［放射性元素的半衰期是原子核数有半数发生衰变所用的时间，而非原子核内核子发生衰变，故A错;放射线中γ射线贯穿物质的本领最大，α粒子电离本领最强，故B错;因β衰变是原子核内一个中子(错误!n）变为一个质子(错误!H)同时释放一个电子(错误!e)，不涉及核外电子，故C错；原子核发生衰变后生成的新核由高能级向低能级跃迁时，辐射出γ射线，故D正确．］3．(多选）美国科研人员正在研制一种新型镍铜长效电池,它是采用半衰期长达100年的放射性同位素镍63（错误!Ni)和铜两种金属作为长寿命电池的材料，利用镍63发生β衰变时释放电子给铜片，把镍63和铜片做电池两极给负载提供电能．下面有关该电池的说法正确的是( )A．β衰变所释放的电子是原子核内的中子转化成质子和电子所产生的B．镍63的衰变方程是错误!Ni→0－1e＋错误!CuC．提高温度，增大压强可以改变镍63的半衰期D．该电池内部电流方向是从镍到铜片AB［β衰变的实质错误!n→错误!H＋错误!e，则A对;镍63发生β衰变的方程为错误!Ni→错误!e＋错误!Cu，则B对；元素的半衰期只由元素本身决定，与外界压强、温度等无关，则C 错;在电池内部电子从镍流向铜，则电流方向应是从铜流向镍,D错．]易错点2 核能的计算4错误!错误!He）的热核反应,核反应方程是4错误!H→错误!He＋2X,这个核反应释放出大量核能．已知质子、氦核、X的质量分别为m1、m2、m3，真空中的光速为c。
量子力学答案完全版
⒈热辐射的峰值波长与辐射体温度之间的关系被维恩位移定律： 表示，其中。
求人体热辐射的峰值波长（设体温为）。
解：，由题意，人体辐射峰值波长为：。
⒉宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀各向同性的背景热辐射相当于黑体辐射。
此辐射的峰值波长是多少？在什么波段？解：T=2.726K ，由维恩位移定律，属于毫米波。
⒊波长为的X 射线光子与静止的电子发生碰撞。
在与入射方向垂直的方向上观察时，散射X射线的波长为多大？碰撞后电子获得的能量是多少eV ？解：设碰撞后，光子、电子运动方向与入射方向夹角分别为θ,α，由能量守恒，，动量守恒:;；整理得:;联立第一式：nm c m h e 01.0;2sin 20201===-λλθλλ ;则X 射线的波长为：01.02sin 221+=θλc m h e ；电子能量：1λλhchc E e -= ⒋在一束电子束中，单电子的动能为，求此电子的德布罗意波长。
解：电子速度远小于光速，故：;则：。
5.设归一化函数： （x ）=Aexp(-2x 2)(-)a 为常数，求归一化常数A 。
解：由归一化条件 |2dx=1 得A 2==A=6.设归一化波函数=A(0n为整数，a为常数，求归一化常数A解：由归一化条件|2dx得A2=1解得A=7.自由粒子的波函数为=Aexp()其中和是粒子的动量和能量，和t是空间与时间变量，ℏ是普朗克常数，A是归一化常数，试建立自由粒子波函数所满足的方程。
解：由=Aexp()，将其对时间求偏微商，得到=-E,然后对其空间求偏微商，得到：=-利用自由粒子的能量和动能的关系式：E=就可以得到：i=---------自由粒子波函数所满足的方程8．设一个微观粒子的哈密顿算符的本征方程为Ĥ=该粒子的初始波函数为=+设和是实数，求任意时刻的波函数及粒子的几率密度.解：由=exp()=dx=== exp()+ exp()粒子的几率密度===[ exp()+ exp()][ exp()+ exp()]因为和是实数，利用欧拉公式：原式=9.宽度为a的一维无限深势阱中粒子的本征函数为=求证本征函数的正交性：dx=0(m)证：===[]=0()10．原子核内的质子和中子可以粗略地当成处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中可以认为是自由的，按一维无限深势阱估算，质子从第一激发态（n=2）跃迁到基态（n=1）时，释放的能量是多少MeV?核的线度按a=1.0m计算。
大学物理习题12第十二章答案
习题1212.1选择题(1) 已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是 1.2 eV ，而钠的红限波长是540nm(A) 535nm ． (B) 500nm ．(C) 435nm ． (D) 355nm ． ［ ］ 答： D ；(2) 设用频率为ν1和ν2的两种单色光，先后照射同一种金属均能产生光电效应．已知金属的红限频率为ν0，测得两次照射时的遏止电压|U a 2| = 2|U a 1|，则这两种单色光的频率有如下关系： (A) ν2 = ν1 - ν0． (B) ν2 = ν1 + ν0．(C) ν2 = 2ν1 - ν0． (D) ν2 = ν1 - 2ν0． ［ ］ 答： C ；(3) 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的 1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为(A) 2． (B) 3． (C) 4． (D) 5． ［ ］ 答：D ；(4) 氢原子光谱的巴耳末系中波长最大的谱线用λ1表示，其次波长用λ2表示，则它们的比值λ1/λ2为：(A) 20/27． (B) 9/8．(C) 27/20． (D) 16/9． ［ ］ 答： C ；(5) 假定氢原子原是静止的，质量为1.67×10-27 kg ，则氢原子从n = 3 的激发状态直接通过辐射跃迁到基态时的反冲速度大约是 ［ ］(A) 4 m/s ． (B) 10 m/s ． (C) 100 m/s ． (D) 400 m/s ． 答： A ；(6) 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是 0.4 ÅU 约为(A) 150 V ． (B) 330 V ．(C) 630 V ． (D) 940 V ． ［ ］ 答： D ；(7) 如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同． (B) 能量相同．(C) 速度相同． (D) 动能相同． ［ ］ 答： A ；(8) 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：a x ax 23cos 1)(π⋅=ψ, ( - a ≤x ≤a )那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为(A) 1/(2a )． (B) 1/a ．(C) a 2/1． (D) a /1 ［ ］答： A ；(9) 关于不确定关系2x p x ∆∆≥，有以下几种理解：(a ) 粒子的动量不可能确定． (b ) 粒子的坐标不可能确定．(c ) 粒子的动量和坐标不可能同时准确地确定． (d ) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子．其中正确的是： ［ ］ (A) (a )，(b ). (B) (c )，(d ). (C) (a )，(d ). (D) (b )，(d ).答： B ；(10) 设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？［ ］ 答： A 。
曾谨言量子力学课后答案
2
得a2
=
nh mωπ
=
2hn mω
（3）
2
代入（2），解出
En = nhω,
n = 1, 2,3 u 2 du = u a 2 − u 2 + a 2 arcsin u + c
2
2
a
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。
∫ 提示：利用
2π 0
（1） （2）
5
取（1）之复共轭：
−
ih
∂ψ * 1 ∂t
= −
h2 ∇2 2m
+
V
ψ
* 1
ψ
2
×
（3）
−ψ
* 1
×
（2）,得
（3）
对全空间积分：
( ) ( ) − ih
∂ ∂t
ψ *ψ 12
=
−
h2 2m
ψ
2
∇
2ψ
* 1
−ψ 1*∇ 2ψ
2
∫ ∫ [ ] − ih d dt
d
3 rψ
* 1
(rv,
因而平面转子的能量
Em = pϕ2 / 2I = m2h 2 / 2I ， m =1, 2,3,L
第二章 波函数与 Schrödinger 方程
2.1
设质量为
m
的粒子在势场V
v (r )
中运动。
∫ （a）证明粒子的能量平均值为 E = d 3r ⋅ w ，
w = h 2 ∇ψ *ψ +ψ *Vψ 2m
d
3rψ
*
−
h2 2m
∇
2
ψ
(动能平均值)
=
量子力学习题及答案
量子力学习题及答案1. 简答题a) 什么是量子力学？量子力学是一门研究微观领域中原子和基本粒子行为的物理学理论。
它描述了微观粒子的特性和相互作用，以及它们在粒子与波的二重性中所呈现出的行为。
b) 什么是波函数？波函数是描述量子体系的数学函数。
它包含了关于粒子的位置、动量、能量等信息。
波函数通常用符号ψ表示，并且可用于计算概率分布。
c) 什么是量子态？量子态是描述量子系统的状态。
它包含了有关系统性质的完整信息，并且根据量子力学规则演化。
量子系统可以处于多个量子态的叠加态。
d) 什么是量子叠加态？量子叠加态是指量子系统处于多个不同态的线性叠加。
例如，一个量子比特可以处于0态和1态的叠加态。
2. 选择题a) 下列哪个物理量在量子力学中具有不确定性？1.速度2.质量3.位置4.电荷答案：3. 位置b) 关于波函数的哪个说法是正确的？1.波函数只能描述单个粒子的行为2.波函数可以表示粒子的位置和动量的确定值3.波函数的模的平方表示粒子的位置概率分布4.波函数只适用于经典力学体系答案：3. 波函数的模的平方表示粒子的位置概率分布c) 下列哪个原理是量子力学的基本假设？1.宏观世界的实在性2.新托尼克力学3.不确定性原理4.不可分割性原理答案：4. 不可分割性原理3. 计算题a) 计算氢原子的基态能级氢原子的基态能级可以通过解氢原子的薛定谔方程得到。
基态能级对应的主量子数为n=1。
基态能级的能量公式为： E = -13.6 eV / n^2代入n=1，可以计算得到氢原子的基态能级为：-13.6 eVb) 简述量子力学中的双缝干涉实验双缝干涉实验是一种经典的量子力学实验，用于研究光和物质粒子的波粒二象性。
实验装置包括一道光源、两个狭缝和一个光屏。
当光的波长足够小，两个狭缝足够细时，光通过狭缝后会形成一系列的波纹，这些波纹会在光屏上出现干涉条纹。
实验结果显示，光在光屏上呈现出干涉现象，表现为明暗相间的条纹。
这种实验结果说明了光具有波动性，同时也具有粒子性。
量子力学导论答案下(7-12)
第七章 粒子在电磁场中的运动7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场ε和均匀磁场B 中运动，求能级本征值和本征。
（参《导论》225P ）解：以电场方向为x 轴，磁场方向为z 轴，则()0,0,εε=， ()B ,0,0= （1）去电磁场的标势和矢势为x εφ-=， ()0,,0Bx = （2）满足关系φε-∇=， ⨯∇=粒子的Hamiton 量为 x q p x C qB p p u H z y x ε-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22221 （3） 取守恒量完全集为()z y p p H ,,，它们的共同本征函数可写成()()()z p y p i z y ex z y x +=ψψ,, （4）其中y P 和z P 为本征值，可取任意函数。
()z y x ,,ψ满足能量本证方程： ()()z y x E z y x H ,,,,ψψ=因此()x ψ满足方程()()()x E x x q x p x C qB p p u z y x ψψεψ=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+22221 （5） 亦即，对于()x ψ来说，H 和F 式等价：()2222222222122z y y p p u x p uC qB q x uC B q x u H ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∂∂-⇒ε ()()22202222022222221222z y p p u x uCB q x x uC B q x u ++--+∂∂-= （6） 其中 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=u p B C qB uC p uC qB q B q uC x y y εε2220 （7） 式（6）相当于一维谐振子能量算符()uCB q x x u x u =-+∂∂-ωω ,212202222 再加上两项函数，因此本题能级为()222022221221z y p p u x uC B q n E ++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ω222221221z y p u p B C B u C uC q B n +--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=εε （8） 其中y P 和z P 为任意实数， ,2,1,0=n式（4）中 为以()x ψ为()0x x -变量的一维谐振子能量本征函数，即()()()202ξξψψ-=-=e H x x x n n （9）()ξn H 为厄密多项式，()()00x x C B q x x u -=-=ωξ 。
第十二周 量子力学基础(I)典型题解析
（一）黑体辐射的实验定律
MB (T)
2200K 2000K
1800K 1600K
m
1、斯特藩-玻耳兹曼定律 Stefan – Boltzmann Law
M (T ) = T 4
= 5.6710 -8 W/m2K4
2、维恩位移定律 T m = b
波长 m 483 nm ，估算太阳表面的温度.（3）以上
两辐出度之比为多少？
解： 由维恩位移定律： T m = b
（1）
m
b T1
2.898 103 293
9890
nm
（2）
T2
b
m
2.898 103 483 109
K 6000
K
理学院物理系
量子物理
大学物理
黑体辐射 、普朗克能量子假设
例 1: （1）温度为 20 C 的黑体，其单色辐出度的峰 值所对应的波长是多少？(2)太阳的单色辐出度的峰值
波长 m 483 nm ，估算太阳表面的温度.（3）以上
两辐出度之比为多少？
解： （3） 由斯特藩 - 玻耳兹曼定律：
M (T ) = T 4
M (T2 ) M (T1) (T2 T1)4 1.76105
理学院物理系
量子物理
大学物理
黑体辐射 、普朗克能量子假设
例 2 : 在加热黑体的过程中， 其单色辐出度的峰值波长由0.69μm变化到0.50μm， 求总辐出度改变为原来的多少倍？
一束光是一束以光速 C 运动的粒子流， 这些粒子称为光量子（光子）Photon
对于频率为 的单色光,每个光子的能量:
（二）爱因斯坦光电效应方程
第12章 量子物理基础(习题与答案)
第12章 量子物理基础一. 基本要求1. 了解普朗克假设。
2. 理解光电效应实验规律，了解康普顿效应及其实验规律，理解爱因斯坦的光子假设及其对光电效应的解释。
3. 理解德布罗意波假设及电子衍射实验。
4. 理解不确定关系。
二. 内容提要1. 普朗克量子假设 νεh =2. 光电效应的实验规律（1）入射光的频率ν一定时，饱和光电流与光强成正比；（2）光电子的初动能仅与入射光的频率成线性关系，与入射光的强度无关；（3）光电效应存在有一个红限ν0，如果入射光的频率ν＜ν0便不会产生光电效应；（4）光电流与光照射几乎是同时发生的，延迟时间在10-9s 以下。
3. 光子假设与光电效应方程光子的能量 νεh =光电效应方程 221v m A h +=ν 4. 德布罗意波假设 ph =λ 5. 不确定关系 h p x x ≥∆∆习 题12-1用频率为ν1的单色光照射某一种金属时，测得光电子的最大动能为E k1；用频率为ν2的单色光照射另一种金属时，测得光电子的最大动能为E k 2。
如果E k1 ＞E k2,那么(A) ν1一定大于ν2。
(B) ν1一定大小于ν2 。
(C) ν1一定等于ν2 。
(D) ν1可能大于也可能小于ν2。
[ ]12-6以一定频率的单色光照射在某种金属上，测得其光电流曲线如图中实线所示，然后在光强度不变的条件下增大照射光的频率。
测得其光电流曲线如图中虚线所示。
满足题意的图是：[ ]12-7以一定频率的单色光照射在某种金属上，测得其光电流曲线如图中实线所示，然后在光的频率不变，增大照射光的强度。
测得其光电流曲线如图中虚线所示。
满足题意的图是：[ ]12-11若一无线电接收机接收到频率为10Hz 的电磁波的功率为1微瓦，则每秒接收到的光子数为。
（普朗克恒量h=6.63×10-34J ·s ）12-19静止质量不为零的微观粒子做高速运动，这时粒子物质波的波长λ与速度v 有如下关系：（A ）λ∝v （B ）λ∝v 1 （C ）2211c -∝v λ （D ）22v -∝c λ [ ] 12-20设氢原子的动能等于氢原子处于温度为T 的热平衡状态时的平均动能，氢原子的质量为m ，那么此氢原子的德布罗意波长为（A ）m kT h3=λ （B ）m kT h5=λ（C ）h mkT 3=λ （D ）hmkT 5=λ [ ] 12-21已知中子的质量是ｍ=1.67×10-27kg ，当中子的动能等于温度为T=300K 的热平衡中子气体的平均动能时，其德布罗意波长为 。
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
.
解：(i)
(ii) 10 当
时，显然
20 假设当
时，满足
成立； ，则
这就是说当 综上 10,20 可知 3.4 证明：
时，满足 对于任意
；
；
；
. 的整数恒成立.
. 证：1)
由角动量与坐标算符的对易子
，知
同理有
，
即
6
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
角动量算符与动量算符的对易子 2)
，同上可证
式中 是坐标， , 是相应于 态和 态的能量，求和对一切可能的状态进行. (注：由于质量 与态 字母一样，故将质量 改为 ,避免混淆)
解：
,
,
故
4.6 证明两个厄米矩阵能用同一个幺正变换对角化的充要条件是它们彼此对易.
证:(充分性)
.设使 对角化的幺正变换 ,则
.
的变换矩阵元
即
于是
即时
,
时
故
是对角矩阵的元素，
的两个不可穿透的同心球面之间运动，不存在其他势
径向波函数所满足的边界条件是 径向部分的薛定谔方程
. .
5
引入变换 的解是
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
,
,基态
,代入边界条件有
,可化为
即 而 归一化 即 基态波函数 归一化
粒子的基态能量
基态波函数
3.1 若算符 、 满足
,求证:
（i）
；
（ii）用数学归纳法证明：
(必要性) 能同时将 对角化,即
的变换矩阵元
是对角矩阵， 能用同一个幺正变换 对角化. , (同充分性)
4.7 已知在和的共同表象中，算符和的矩阵分别为：
量子力学导论第12章答案
第十二章 散射12－1) 对低能粒子散射，设只考虑s 波和p 波，写出散射截面的一般形式。
解： ()()()22cos sin 121∑∞=+=l l l i P el klθδθσδ只考虑s 波和p 波，则只取1,0=l ，于是()()()211002cos sin 3cos sin 110θδθδθσδδP e P e k i i +=()1cos 0=θP ， (),c o s c o s 1θθ=P 代入上式，得 ()2102cos sin 3sin 110θδδθσδδi i e e k +=()22121010022cos sin 9cos cos cos sin 6sin 1θδθδδδδδ+-+=k222102cos cos 1θθA A A k++= 其中 020sin δ=A ，()10101cos cos sin 6δδδδ-=A ，122sin 9δ=A 。
12－2) 用波恩近似法计算如下势散射的微分截面： （a ） ()⎩⎨⎧><-=.,0;,0a r a r V r V （b ） ()20r e V r V α-= （c ） ()rer V αγκ-=（d ） ()().r r V γδ=解：本题的势场皆为中心势场，故有()()⎰∞-=0''''2sin 2dr qr r V r qu f θ ，2sin 2θk q = （1） ()()()2''''2422sin 4⎰∞==dr qr r V r qu f θθσ （1）（a ）()()qa qa qa q V dr qr V r acos sin sin 2''0'--=-⎰()()264202cos sin 4 qa qa qa qV u -=∴ θσ（b ）()⎰⎰∞--∞--=⎪⎭⎫ ⎝⎛0''0''0'''2'2'2sin dr e eer iV dr qr e V r iqr iqr r r αα⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎰⎰∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛--0'42'0'42'022'22'2dr er dr e r i V q iq r q iq r αααααα ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎰⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛---0'2'0'2'402'2'22dr e r dr e r e i V iq r iq r q ααααα[]214022I I e iV q -=-α（3）其中 1I ⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛--='2'2'dr er iq r αα()⎰⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=0'20'2'2'2'22dr eiqdr eiq r iq r iq r αααααα⎰⎰∞-∞-+=0222ξαξξαξαξd e iqd e 23421απαiq +=（4） 类似地可求得 2I ⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='2'2'dr er iq r αα23421απαiq -=（5） （4）、（5）代入（3），得ααααπαπ423023400''0'222'422sin q qr e q V iq e iV dr qr e V r --∞--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰（6）代入（2），得()ααπθσ23420224qeV u -= （7）（c ）I dr qr e dr qr r e r r r ==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰∞-∞-0''0''''sin sin ''αακκ⎰∞--=0''sin r de qr αακ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰∞-∞-0'''cos sin ''dr qr eq e qr r r ααακ⎰∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0''cos 1r de qr q ααακ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰∞-∞-0''0'2sin cos ''dr qr e q e qr q r r ααακ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=I q q κακ12由此解得 =I 220''''sin 'q q dr qr r e r r +=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰∞-ακκα （8） 代入（2），解得 ()()22242222224244qu q q q u +=+=ακακθσ （9）将()().r r V γδ=代入§12.3.2式（18），()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅-''32'2,r V e r d u f r q iπϕθ，得 ()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅-''32'2,e d u f r q i γδπϕθ 22 πγu -= ()=∴θσ ()422222,πγϕθu f = （10） 可见，()θσ与ϕθ,均无关，是各项同性的，=σ422 πγu 。
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第十二章 散射理论
12-1 粒子受势能为2)(r r U α
=的场的散射。
求S 分波的微分散射截面。
12-2 慢速粒子受到势能为⎩⎨⎧><=a
r a r U r U 当当,0,)(0的场的散射，若0,00><U U E ，求散射截面。
12-3 只考虑S 分波，求慢速粒子受到势能4/)(r r U α=的场散射时的散射截面。
12-4 用玻恩近似法求粒子在势能220)(r e U r U α-=场中散射时的散射截面
12-5用玻恩近似法求粒子在势能⎪⎩
⎪⎨⎧><-=a r a r b r r ze r U s 当当,0,)(2场中散射的微分散射截面。
式中22s ze a b = 。
12-6用玻恩近似法求粒子在势能)0()(0>-=-a e
U r U a r 场中散射时的微分散射截面，并讨论在什么条件下可以
应用玻恩近似法。
12-7 设势场20/)(r U r U = ，用分波法求l 分波的相移。
12-8 计及S 波，P 波及d 波情况下，给出截面与散射角θ的依赖关系的一般表示式。
12-9用玻恩近似法计算粒子对δ势)()(0r U r U δ=的散射截面。
截面有何特点？并与低能粒子的散射截面与库仑势的散射截面的特点比较。
12-10 考虑中子束对双原子分子H 2 的散射。
中子束沿z 轴方向入射，两个氢原子核位于a x ±=处，中子与电子无相互作用，中子与氢原子核（即质子）之间的短程作用为[])()()()()()()(0z y a x z y a x U r U δδδδδδ++--=，为简单起见，不考虑反冲。
试用玻恩一级近似公式计算散射振幅及微分截面。
12-11 设有两个电子，自旋态分别为⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2/2/2sin 2cos 01ϕϕθθξi i e e x 与，（1）证明两个单电子处于自旋单态（S=0）及三重态（S=1）的几率分别为)2cos 1(212θ-=a W )2
cos 1(212θ+=s W ，（2）设有两束这样的极化电子散射，证明[]13)cos 1()cos 3(4
1)(q q q θθθ-++=，其中3q 与1q 分别表示两个电子处于三重态及单态下的散射截面。
12-12 质量为m 的粒子束被球壳δ势场散射，)()(0a r U r U -=δ，在高能近似下，用玻恩近似计算散射振幅和微分截面。
12-13 设有某种球对称的电荷分布，电荷密度记为)(r ρ，具有下列性质：∞→r ，)(r ρ迅速趋于0；⎰⎰==A d r r ；
d r τρτρ2)(0)(。
今有一束质量m ，电荷
e ，动量k p =的粒子，沿Z 轴方向入射，受到此电荷分布所生静电场作用而发生散射，试用玻恩近似公式计算向前散射（0=θ）的微分截面。