高中数学破题致胜微方法(直线与双曲线的位置关系)：12.双曲线的焦点弦长公式推导(一)

今天我们介绍双曲线的焦点弦。

如果过双曲线焦点的直线与该双曲线相交于两点，那么这两个交点间的线段就叫做双曲线的焦点弦。

关于直线与双曲线相交求弦长，通用方法是将直线方程代入双曲线方程，消元化为一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。

但是对于过焦点的弦长计算比较特殊，利用双曲线的第一定义推导出双曲线的焦点弦长公式，在相关计算中就更为简捷。

先看例题：
例：设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，其中两焦点坐标为21(),,()0,0F c F c －，经过右焦点的直线交双曲线于A 、B 两点，求弦长|AB |。

解：
（1）当弦AB 所在直线的斜率k 存在时, 设直线AB 为y = k ( x- c ) ,
双曲线方程22
221x y a b
-=可化为2222220b x a y a b --=……①， 将直线y = k ( x- c ) 代入①整理得，
()22222222222()0a k b x a ck x a c k b -++-+=，
设1122(,),(,)A x y B x y ，22
12222
2,a ck x x a k b +=- 当b k a
>时, 弦AB 的两个端点同在右支曲线上(如图1) , 于是 ∴222212122222(1)||||||()()()2ab k AB AF BF ex a ex a e x x a a k b
+=+=-+-=+-=-，
图1
当0b k a
≤<时, 弦AB 的两个端点在左右两支曲线上(如图2) , 于是
图2
222221122222(1)||||||()()2()ab k AB BF AF a ex ex a a e x x b a k
+=-=---=-+=- （2）当弦AB 所在直线的斜率k 不存在时, 弦AB 与x 轴垂直,
22
2||2()a b AB c e c a
=-= 当弦A B 过左焦点时,其结论与过右焦点是相同的.
若直线l 的倾斜角为θ，则有：
2
2222|cos |
ab AB a c θ=-……焦点弦长公式
整理：
设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，其中两焦点坐标为21(),,()0,0F c F c －，经过右焦点的直线且倾斜角为θ交双曲线于A 、B 两点，则有：
2
2222|cos |
ab AB a c θ=-……焦点弦长公式 特殊情形；倾斜角为=90θ，即为双曲线的通径，2
2=b AB a。

再看一个例题，加深印象：
例：过双曲线22
4-=x y 的右焦点F 作倾斜角为150的直线，交双曲线于A 、B 两点，求弦长|AB|。

解：利用公式2
2222|cos |
=-ab AB a c θ，代入得 22222224==83|cos ||48|4
ab AB a c θ⨯⨯=--⨯。

总结：
1.在求直线与双曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理→弦长公式。

2.掌握双曲线的焦点弦长公式，根据已知条件直接得出弦长.
练习：
1.过双曲线22
4-=x y 的右焦点F 作倾斜角为30的直线，交双曲线于A 、B 两点，求弦长|AB|。

2.已知双曲线22
x y -132
=的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交双曲线于A,B 两点，求2ABF ∆的面积
答案：
1.
2.。