双曲线离心率求解的基本方法

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双曲线离心率的求法

一、利用双曲线定义

例1．已知椭圆E 上存在点P ，在P 与椭圆E 的两个焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2中， 121221sin :sin :sin 7:10:11.PF F F PF PF F ∠∠∠=则椭圆E 的离心率等于 二、利用平面几何性质 例2 设点P 在双曲线)0b ,0a (1b

y a x 22

22>>=-的右支上，双曲线两 焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。

三、利用数形结合

例3 （同例2）

四、利用均值不等式

例4 已知点P 在双曲线)0b ,0a (1b

y a x 22

22>>--的右支上，双曲线两焦 点为21F F 、，|

PF ||PF |22

1最小值是a 8，求双曲线离心率的取值范围。 五、利用已知参数的范围

例5 已知梯形ABCD 中，|CD |2|AB |=，点E 分有向线

段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B

为焦点，当4

332≤λ≤时，求双曲线离心率的取值范围。

六、利用直线与双曲线的位置关系

例6 已知双曲线)0a (1y a

x 222

>=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。

七、利用点与双曲线的位置关系

例7 已知双曲线)0a (1y a

x 222

>=-上存在P 、Q 两点关于直线 1y 2x =+对称，求双曲线离心率的取值范围。

八、利用非负数性质

例8 已知过双曲线)0b ,0a (1b

y a x 22

22>>=-左焦点1F 的直线l 交 双曲线于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥（O 为原点），求双曲线离心率的取值范围。

九、利用双曲线性质

例9.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F a PF F c

∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是