一元二次方程全章教案
人教版初中数学九年级上册第二十一章:一元二次方程(全章教案)
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第二十一章一元二次方程本章的主要内容包括:一元二次方程及其有关概念,一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法),一元二次方程根与系数的关系,运用一元二次方程分析和解决实际问题.其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容.方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习做好准备.联系一元二次方程和函数的基本知识,继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律,让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”.本章是中考考查的重点内容,主要考查一元二次方程的解及其解法、一元二次方程根与系数的关系、建立一元二次方程模型解决实际问题.【本章重点】一元二次方程的解法及应用.【本章难点】1.一元二次方程根与系数的关系的应用.2.利用一元二次方程解决实际问题.【本章思想方法】1.体会和掌握转化法,如:在解一元二次方程时,利用转化法将一元二次方程转化为一元一次方程.2.掌握建模思想,如:在利用一元二次方程解决实际问题时,根据题意建立适当的一元二次方程,将实际问题转化为数学模型.21.1一元二次方程1课时21.2解一元二次方程4课时21.3实际问题与一元二次方程1课时21.1一元二次方程一、基本目标【知识与技能】1.理解一元二次方程及相关概念.2.掌握一元二次方程的一般形式.3.了解一元二次方程根的概念,会检验一个数是不是一元二次方程的解.【过程与方法】从实际问题中建立方程模型,体会一元二次方程的概念.【情感态度与价值观】通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程,培养学生良好的研究问题的习惯,使学生逐步提高自己的数学素养.二、重难点目标【教学重点】1.一元二次方程的概念及其一般形式.2.判断一个数是不是一元二次方程的解.【教学难点】能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项.环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P1~P4的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.解决下列问题:问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样大小的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?【解析】设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为__(100-2x)_cm__,宽为__(50-2x)_cm__.列方程,得__(100-2x )(50-2x )=3600__, 化简,整理,得__x 2-75x +350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?【解析】全部比赛的场数为__4×7=28(场)__.设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他__(x -1)__个队各赛一场.因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共__12x (x -1)__场.列方程,得__12x (x -1)=28__.化简、整理,得 __x 2-x -56=0__.②归纳总结:方程①②的共同特点是:方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数,并且未知数的最高次数是__2__.2.一元二次方程的定义:等号两边都是__整式__,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.3.一元二次方程的一般形式是__ax 2+bx +c =0(a ≠0)__.其中__ax 2__是二次项,__a __是二次项系数,__bx __是一次项,__b __是一次项系数,__c __是常数项.环节2 合作探究,解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】判断下列方程,哪些是一元二次方程? (1)x 3-2x 2+5=0; (2)x 2=1;(3)5x 2-2x -14=x 2-2x +35;(4)2(x +1)2=3(x +1); (5)x 2-2x =x 2+1; (6)ax 2+bx +c =0.【互动探索】(引发学生思考)要判断一个方程是一元二次方程,那么它应该满足哪些条件?【解答】(2)(3)(4)是一元二次方程.【互动总结】(学生总结,老师点评)判断一个方程是不是一元二次方程,首先看方程等号两边是不是整式,然后移项,使方程的右边为0,再观察左边是否只有一个未知数,且未知数的最高次数是否为2.【例2】将方程2x ⎝⎛⎭⎫12-x +2=5(x -1)化成一元二次方程的一般形式,并指出各项系数. 【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程的一般形式是怎样的?【解答】去括号,得x-2x2+2=5x-5.移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式:2x2+4x-7=0.其中二次项系数是2,一次项系数是4,常数项是-7.【互动总结】(学生总结,老师点评)将一元二次方程化成一般形式时,通常要将二次项化负为正,化分为整.【例3】下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的解?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.【互动探索】(引发学生思考)你能类比判断一个数是一元一次方程的解的方法判断一元二次方程的解吗?【解答】将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的解.【互动总结】(学生总结,老师点评)要判断一个数是否是方程的解,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.若相等,则这个数是方程的解,若不相等,则这个数不是方程的解.【活动2】巩固练习(学生独学)1.下列方程是一元二次方程的是(D)A.ax2+bx+c=0 B.3x2-2x=3(x2-2)C.x3-2x-4=0 D.(x-1)2+1=02.已知x=2是一元二次方程x2-2mx+4=0的一个解,则m的值为(A)A.2B.0C.0或2D.0或-2【教师点拨】将x=2代入x2-2mx+4=0得,4-4m+4=0.再解关于m的一元一次方程即可得出m的值.3.把一元二次方程(x+1)(1-x)=2x化成二次项系数大于0的一般式是__x2+2x-1=0__,其中二次项系数是__1__,一次项系数是__2__,常数项是__-1__.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例4】求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.【互动探索】(引发学生思考)已知关于x的方程,且含有字母系数,要证明该方程是一元二次方程,则该方程的二次项系数必须满足什么条件?【证明】m2-8m+17=m2-8m+42+1=(m-4)2+1.∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0,∴不论m取何值,该方程都是一元二次方程.【互动总结】(学生总结,老师点评)要证明不论m 取何值,该方程都是一元二次方程,只需证明二次项系数恒不为0,即m 2-8m +17≠0.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)1.一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧必须满足的三要素⎩⎪⎨⎪⎧ 是整式方程只有一个未知数未知数的最高次数是2一般形式:ax 2+bx +c =0(a ≠0)2.判断一个数是否是一元二次方程解的方法:将这个数分别代入方程的左右两边,如果“左边=右边”,则这个数是方程的解;如果“左边≠右边”,则这个数不是方程的解.请完成本课时对应练习!21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1.理解一元二次方程“降次”转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.2.理解并掌握直接开方法、配方法解一元二次方程的方法.【过程与方法】1.通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.2.通过把一元二次方程转化为形如(x-a)2=b的过程解一元二次方程.【情感态度与价值观】通过对一元二次方程解法的探索,体会“降次”的基本思想,培养学生良好的研究问题的习惯,使学生逐步提高自己的数学素养.二、重难点目标【教学重点】掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程.【教学难点】把一元二次方程转化为形如(x-a)2=b的形式.环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P5~P9的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.一般地,对于方程x2=p:(1)当p>0时,根据平方根的意义,方程有两个不等的实数根,x1=__p__,x2=__-p __.(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=__0__;(3)当p<0时,方程__无实数根__.2.用直接开平方法解下列方程:(1)(3x +1)2=9; x 1=23,x 2=-43.(2)y 2+2y +1=25. y 1=4,y 2=-6. 3.(1)x 2+6x +__9__=(x +__3__)2; (2)x 2-x +__14__=(x -__12__)2;(3)4x 2+4x +__1__=(2x + __1__)2.4.一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成(x +n )2=p 的形式,那么就有:(1)当p >0时,根据平方根的意义,方程有两个不等的实数根,x 1=,x 2=;(2)当p =0时,方程有两个相等的实数根x 1=x 2=__-n __; (3)当p <0时,方程__无实数根__. 环节2 合作探究,解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学) 【例1】用配方法解下列关于x 的方程: (1)2x 2-4x -8=0; (2)2x 2+3x -2=0.【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的实质和关键点是什么? 【解答】(1)移项,得2x 2-4x =8. 二次项系数化为1,得x 2-2x =4.配方,得x 2-2x +12=4+12,即(x -1)2=5. 由此可得x -1=±5, ∴x 1=1+5,x 2=1- 5. (2)移项,得2x 2+3x =2.二次项系数化为1,得x 2+32x =1.配方,得⎝⎛⎭⎫x +342=2516. 由此可得x +34=±54,∴x 1=12,x 2=-2.【互动总结】(学生总结,老师点评)用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形,转化为开平方所需要的形式,配方法的一般步骤可简记为:一移,二化,三配,四开.【活动2】 巩固练习(学生独学)1.若x 2-4x +p =(x +q )2,则p 、q 的值分别是( B ) A .p =4,q =2 B .p =4,q =-2 C .p =-4,q =2D .p =-4,q =-22.用直接开平方法或配方法解下列方程: (1)3(x -1)2-6=0 ; (2)x 2-4x +4=5; (3)9x 2+6x +1=4; (4)36x 2-1=0; (5)4x 2=81; (6)x 2+2x +1=4. (1)x 1=1+2,x 2=1- 2. (2)x 1=2+5,x 2=2- 5. (3)x 1=-1,x 2=13.(4)x 1=16,x 2=-16.(5)x 1=92,x 2=-92.(6)x 1=1,x 2=-3.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】如果x 2-4x +y 2+6y +z +2+13=0,求(xy )z 的值.【互动探索】(引发学生思考)一个数的平方是正数还是负数?一个数的算术平方根是正数还是负数?几个非负数相加的和是正数还是负数?【解答】由已知方程,得x 2-4x +4+y 2+6y +9+z +2=0, 即(x -2)2+(y +3)2+z +2=0, ∴x =2,y =-3,z =-2. ∴(xy )z =[2×(-3)]-2=136.【互动总结】(学生总结,老师点评)若几个非负数相加等于0,则这几个数都等于0. 环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤: 一移项→二化简→三配方→四开方请完成本课时对应练习!21.2.2 公式法(第2课时)一、基本目标 【知识与技能】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念. 2.会熟练运用公式法解一元二次方程. 【过程与方法】复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式的推导,并应用公式法解一元二次方程.【情感态度与价值观】在一元二次方程求根公式的推导过程中,激发学生兴趣,了解解决问题多样性. 二、重难点目标 【教学重点】求根公式的推导及用公式法解一元二次方程. 【教学难点】一元二次方程求根公式的推导.环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P9~P12的内容,完成下面练习. 【3 min 反馈】1.用配方法解下列方程: (1)x 2-5x =0; x 1=0,x 2=5. (2)2x 2-4x -1=0. x 1=1+62,x 2=1-62. 2.如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它的两根? x 1=-b +b 2-4ac 2a ,x 2=-b -b 2-4ac2a.【教师点拨】因为前面解具体数字的一元二次方程已做得很多,我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.3.一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定.(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0.当b 2-4ac ≥0时,将a 、b 、c 代入式子x =-b ±b 2-4ac2a就得到方程的根.(2)这个式子叫做一元二次方程的__求根公式__. (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫__公式法__.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2__个实数根,也可能__没有__实数根. (5)一般地,式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=__b 2-4ac __.当Δ__>__0时,方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个不相等的实数根;当Δ__=__0时,方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个相等的实数根;当Δ__<__0时,方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)没有实数根.4.不解方程,判断方程根的情况. (1)16x 2+8x =-3; (2)9x 2+6x +1=0; (3)2x 2-9x +8=0; (4)x 2-7x -18=0.解:(1)没有实数根. (2)有两个相等的实数根. (3)有两个不相等的实数根. (4)有两个不相等的实数根.【教师点拨】将方程化为一般形式,再用判别式进行判断. 环节2 合作探究,解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学) 【例1】用公式法解下列方程: (1)2x 2+1=3x ; (2)2x (x -1)-7x =2.【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的步骤是怎样的? 【解答】(1)原方程整理,得2x 2-3x +1=0. 其中a =2,b =-3,c =1,则Δ=b 2-4ac =(-3)2-4×2×1=1>0. ∴x =-b ±b 2-4ac 2a =-(-3)±12×2,即x 1=12,x 2=1.(2)原方程整理,得2x 2-9x -2=0. 其中a =2,b =-9,c =-2,则Δ=b 2-4ac =(-9)2-4×2×(-2)=97>0. ∴x =-b ±b 2-4ac 2a =-(-9)±972×2,即x 1=9+974,x 2=9-974.【互动总结】(学生总结,老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤:(1)把方程化为一般形式,确定a 、b 、c 的值;(2)求出Δ=b 2-4ac 的值;(3)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根,即x 1=-b +b 2-4ac 2a ,x 2=-b -b 2-4ac2a ;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根,即x 1=x 2=-b2a;当Δ<0时,方程没有实数根.【活动2】 巩固练习(学生独学)1.方程x 2-4x +4=0的根的情况是( B ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .有一个实数根 D .没有实数根2.如果方程5x 2-4x =m 没有实数根,那么m 的取值范围是__m <-45__.3.用公式法解下列方程:(1)2x 2-6x -1=0; (2)2x 2-2x +1=0; (3)5x +2=3x 2.解:(1)x 1=3+112,x 2=3-112.(2)方程没有实数根. (3)x 1=2,x 2=-13.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】已知a 、b 、c 分别是三角形的三边,试判断方程(a +b )x 2+2cx +(a +b )=0的根的情况.【互动探索】(引发学生思考)三角形的三边满足什么关系?是怎样根据一元二次方程的系数判断根的情况?【解答】∵a 、b 、c 分别是三角形的三边,∴a +b >0,c +a +b >0,c -a -b <0,∴Δ=(2c )2-4(a +b )·(a +b )=4(c +a +b )(c -a -b )<0,故原方程没有实数根.【互动总结】(学生总结,老师点评)解答本题的关键是掌握三角形三边的关系,即两边之和大于第三边,以及运用根的判别式Δ=b 2-4ac 判断方程的根的情况.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)1.一元二次方程根的情况⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根Δ=0⇔方程有两个相等的实数根Δ<0⇔方程没有实数根2.当Δ≥0时,方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的实数根为x =-b ±b 2-4ac2a.请完成本课时对应练习!21.2.3因式分解法(第3课时)一、基本目标【知识与技能】1.掌握用因式分解法解一元二次方程.2.能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法.【过程与方法】通过复习用配方法、公式法解一元二次方程,体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程,并应用因式分解法解决一些具体问题.【情感态度与价值观】了解因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法,它避免了复杂的计算,提高了解题速度和准确程度,培养学生的应用意识和创新能力.二、重难点目标【教学重点】运用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】选择适当的方法解一元二次方程.环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P12~P14的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.将下列各题因式分解:am+bm+cm=__m(a+b+c)__;a2-b2=__(a+b)(a-b)__;a2+2ab+b2=__(a+b)2__;x2+5x+6=__(x+2)(x+3)__;3x2-14x+8=__(x-4)(3x-2)__.2.按要求解下列方程:(1)2x2+x=0(用配方法);(2)3x2+6x-24=0(用公式法).解:(1)x 1=0,x 2=-12. (2)x 1=2,x 2=-4.3.对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做__因式分解法__.4.如果ab =0,那么a =0或b =0,这是因式分解法的根据.即:如果(x +1)(x -1)=0,那么x +1=0或 __x -1=0__,即x =-1或__x =1__.环节2 合作探究,解决问题 【活动1】 小组讨论(师生对学) 【例1】用因式分解法解下列方程: (1)x 2-3x -10=0; (2)5x 2-2x -14=x 2-2x +34;(3)3x (2x +1)=4x +2; (4)(x -4)2=(5-2x )2.【互动探索】(引发学生思考)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么? 【解答】(1)因式分解,得(x +2)(x -5)=0. ∴x +2=0或x -5=0, ∴x 1=-2,x 2=5.(2)移项、合并同类项,得4x 2-1=0. 因式分解,得(2x +1)(2x -1)=0. ∴2x +1=0或2x -1=0, ∴x 1=-12,x 2=12.(3)原方程可变形为3x (2x +1)-2(2x +1)=0. 因式分解,得(2x +1)(3x -2)=0. ∴2x +1=0或3x -2=0, ∴x 1=-12,x 2=23.(4)移项,得(x -4)2-(5-2x )2=0. 因式分解,得(1-x )(3x -9)=0, ∴1-x =0或3x -9=0, ∴x 1=1,x 2=3.【互动总结】(学生总结,老师点评)用因式分解法解一元二次方程的步骤:(1)将一元二次方程化成一般形式,即方程右边为0;(2)将方程左边进行因式分解,将一元二次方程转化成两个一元一次方程;(3)对两个一元一次方程分别求解.【活动2】 巩固练习(学生独学) 1.解方程: (1)x 2-3x -10=0; (2)3x (x +2)=5(x +2); (3)(3x +1)2-5=0; (4)x 2-6x +9=(2-3x )2. 解:(1)x 1=5,x 2=-2. (2)x 1=-2,x 2=53.(3)x 1=-1+53,x 2=5-13.(4)x 1=-12,x 2=54.2.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x 2-12x +35=0的根,求该三角形的周长.解:解x 2-12x +35=0,得x 1=5,x 2=7.∵3+4=7,∴x =5,故该三角形的周长=3+4+5=12. 【活动3】 拓展延伸(学生对学) 【例2】已知9a 2-4b 2=0,求代数式a b -b a -a 2+b 2ab的值. 【互动探索】(引发学生思考)a 、b 的值能求出来吗?a 、b 之间有怎样的关系?怎样将a 、b 的值与已知代数式联系起来.【解答】原式=a 2-b 2-a 2-b 2ab =-2ba .∵9a 2-4b 2=0, ∴(3a +2b )(3a -2b )=0, 即3a +2b =0或3a -2b =0, ∴a =-23b 或a =23b .当a =-23b 时,原式=-2b-23b =3;当a =23b 时,原式=-3.【互动总结】(学生总结,老师点评)要求a b -b a -a 2+b 2ab 的值,首先要对它进行化简,然后从已知条件入手,求出a 与b 的关系后代入,但也可以直接代入,因计算量比较大,容易发生错误.本题注意不要漏解.环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:先将方程一边化为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0.请完成本课时对应练习!*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(第4课时)一、基本目标【知识与技能】掌握一元二次方程的根与系数的关系.【过程与方法】利用求根公式得到一元二次方程的根,推导出根与系数的关系,体现了数学推理的严密性与严谨性.【情感态度与价值观】通过公式的引入,培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识,培养学生观察思考、归纳概括的能力.二、重难点目标【教学重点】理解一元二次方程的根与系数的关系.【教学难点】利用一元二次方程根与系数的关系解决问题.环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P15~P16的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.解下列方程,并填写表格:方程x1x2x1+x2x1·x2x2-2x=00220x2+3x-4=0-41-3-4x2-5x+6=0235 6(1)用语言描述你发现的规律:__一元二次方程的两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项__.(2)关于x的方程x2+px+q=0的两根为x1、x2,请用式子表示x1、x2与p、q的关系:__x1+x2=-p,x1x2=q__.2.解下列方程,并填写表格:(1)用语言描述你发现的规律:__两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比__.(2)关于x 的方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1、x 2,请用式子表示x 1、x 2与a 、b 、c 的关系:__x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca__.3.求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x 2-6x -15=0; (2)5x -1=4x 2; (3)x 2=4; (4)2x 2=3x .解:(1)x 1+x 2=6,x 1x 2=-15. (2)x 1+x 2=54,x 1x 2=14.(3)x 1+x 2=0,x 1x 2=-4. (4)x 1+x 2=32,x 1x 2=0.环节2 合作探究,解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】x 1、x 2是方程2x 2-3x -5=0的两个根,不解方程,求下列代数式的值: (1)x 1+x 2 ; (2)1x 1+1x 2;(3)x 21+x 22; (4)x 21+3x 22-3x 2.【互动探索】(引发学生思考)根据一元二次方程的根与系数的关系可考虑将所求代数式转化为两根之和与两根之积的关系.【解答】(1)x 1+x 2=32,(2)∵x 1x 2=-52,∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=-35.(3)x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=294. (4)x 21+3x 22-3x 2=(x 21 +x 22 ) +(2x 22 -3x 2 )=1214. 【互动总结】(学生总结,老师点评)解答这类问题一般先将求值式进行变形,使其含有两根的和与两根的积,再求出方程的两根的和与两根的积,整体代入即可求解.【活动2】 巩固练习(学生独学)1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积. (1)x 2-5x -3=0; (2)9x +2=x 2; (3)6x 2-3x +2=0; (4)3x 2+x +1=0. 解:(1)x 1+x 2=5,x 1x 2=-3. (2)x 1+x 2=9,x 1x 2=-2. (3)方程无解. (4)方程无解.2.已知方程x 2-3x +m =0的一个根为1,求另一根及m 的值. 解:另一根为2,m =2.【教师点拨】本题有两种解法:一种是根据根的定义,将x =1代入方程先求m ,再求另一个根;另一种是利用根与系数的关系解答.3.若一元二次方程x 2+ax +2=0的两根满足:x 21 +x 22 =12,求a 的值.解:a =±4.【教师点拨】由x 21 + x 22 =(x 1+x 2)2-2x 1x 2=12,再整体代入方程的两根之和与两根之积得到答案.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】已知关于x 的方程x 2-(k +1)x +14k 2+1=0,且方程两实根的积为5,求k 的值.【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程有根的条件是什么?一元二次方程两实根的积与什么有关?【解答】∵方程两实根的积为5,∴ ⎩⎨⎧Δ=[-(k +1)]2-4⎝⎛⎭⎫14k 2+1≥0,x 1x 2=14k 2+1=5,∴k ≥32,k =±4.故当k =4时,方程两实根的积为5.【互动总结】(学生总结,老师点评)根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件,即所求的值应满足Δ≥0.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根x 1、x 2和系数的关系如下: x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.请完成本课时对应练习!。
21 一元二次方程全章教案
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21.1一元二次方程1.理解一元二次方程及其相关概念,能够熟练地把一元二次方程化为一般形式.2.会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题.3.在分析、揭示实际问题中的数量关系,并把实际问题转化为数学模型的过程中,感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具,增强对一元二次方程的感性认识.一、情境导入参加一次集会,如果有x个人,每两人之间都握一次手,共握了21次手,请你列出符合上述条件的方程,并判断方程是什么类型?二、合作探究探究点一:一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别下列选项中,是关于x的一元二次方程的是( )A.x2+1x2=1 B.3x2-2xy-5y2=0C.(x-1)(x-2)=3 D.ax2+bx+c=0解析:选项A中的方程分母含有未知数,所以它不是一元二次方程;选项B中的方程含有2个未知数,所以它不是一元二次方程;当a=0时,选项D中的方程不含二次项,所以它不是一元二次方程,排除A、B、D,故选C.方法总结:判断一个方程是不是一元二次方程,必须将方程化简后再进行判断.一元二次方程的三个条件:一是方程两边都是整式;二是只含有一个未知数;三是未知数的最高次数是 2.上述三个条件必须同时满足,缺一不可.【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数关于x的方程(k+1)x|k-1|+kx+1=0是一元二次方程,则k的值为________.解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|k-1|=2,k+1≠0,∴⎩⎪⎨⎪⎧k=3或k=-1,k≠-1.∴k=3.方法总结:由一元二次方程的概念满足的条件:未知数最高次数为2,构造方程,解出字母取值,并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值,从而确定字母取值.探究点二:一元二次方程的一般形式将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项.(1)3x2-2=5x;(2)9x2=16;(3)2x(3x+1)=17;(4)(3x-5)(x+1)=7x-2.解析:先分别将各方程化为一般形式,再指出它们的各部分的名称.解:(1)方程化为一般形式为3x2-5x-2=0,二次项系数是3,一次项系数是-5,常数项是-2.(2)方程化为一般形式为9x2-16=0,二次项系数是9,一次项系数是0,常数项是-16.(3)方程化为一般形式为6x2+2x-17=0,二次项系数是6,一次项系数是2,常数项是-17.(4)方程化为一般形式为3x2-9x-3=0,二次项系数是3,一次项系数是-9,常数项是-3.方法总结:求一元二次方程的各项系数和常数项,必须先把方程化为一般形式,特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号.探究点三:列一元二次方程(2015·深圳一模)在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边,剩下部分面积为1.6m 2.已知床单的长是2m ,宽是1.4m ,求花边的宽度.请根据题意列出方程.解析:设花边的宽度为x m ,则由图可知剩下部分的长为(2-2x )m ,剩下部分的宽为(1.4-2x )m.∵剩下部分面积为1.6m 2,∴可列方程(2-2x )(1.4-2x )=1.6.方法总结:列方程最重要的是审题,只有理解题意,才能恰当的设出未知数,准确地找出已知量和未知量之间的等量关系,正确的列出方程.探究点四:一元二次方程的解 【类型一】判断一元二次方程的解方程x -2x =0的解为( ) A .x 1=1,x 2=2 B .x 1=0,x 2=1C .x 1=0,x 2=2D .x 1=12,x 2=2解析:把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边,只有选项C 中的x 1=0,x 2=2都能使方程x 2-2x =0的左右两边相等,所以选C.方法总结:判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解,可以把未知数的值代入方程左右两边,能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解.【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值已知1是关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+x +1=0的一个根,则m 的值是( )A .1B .-1C .0D .无法确定解析:根据方程的根的概念,直接代入方程,左右两边相等,但考虑到是一元二次方程,所以二次项系数不能等于0.由此得,(m -1)+1+1=0,解得m =-1,此时m -1=-2≠0,∴m =-1.故选B.方法总结:方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值,在涉及方程根的题目中,我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题.三、板书设计教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,经历将实际问题转化为数学问题,体会数学建模的思想方法.21.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法1.学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.2.运用开平方法解形如(x +m )2=n 的方程. 3.体验类比、转化、降次的数学思想方法,增强学习数学的兴趣.一、情境导入一个正方形花坛的面积为10,若设其边长为x ,根据正方形的面积可列出怎样的方程?用怎样的方法可以求出所列方程的解呢?二、合作探究探究点:直接开平方法 【类型一】用直接开平方法解一元二次方程运用开平方法解下列方程: (1)4x 2=9;(2)(x +3)2-2=0.解析:(1)先把方程化为x 2=a (a ≥0)的形式;(2)原方程可变形为(x +3)2=2,则x +3是2的平方根,从而可以运用开平方法求解.解:(1)由4x 2=9,得x 2=94,两边直接开平方,得x =±32,∴原方程的解是x 1=32,x 2=-32.(2)移项,得(x +3)2=2.两边直接开平方,得x +3=± 2.∴x +3=2或x +3=- 2.∴原方程的解是x 1=2-3,x 2=-2-3. 方法总结:由上面的解法可以看出,一元二次方程是通过降次,把一元二次方程转化为一元一次方程求解的,这是解一元二次方程的基本思想;一般地,对于形如x 2=a (a ≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得x 1=a ,x 2=-a .【类型二】直接开平方法的应用 次方程ax 2=b (ab >0)的两个根分别是m +1与2m -4,则ba=________.解析:∵ax 2=b ,∴x =±ba,∴方程的两个根互为相反数,∴m +1+2m -4=0,解得m =1,∴一元二次方程ax 2=b (ab>0)的两个根分别是2与-2,∴ba=2,∴b a=4,故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用若一元二次方程(a +2)x 2-ax +a 2-4=0的一个根为0,则a =________.解析:∵一元二次方程(a +2)x 2-ax +a 2-4=0的一个根为0,∴a +2≠0且a 2-4=0,∴a =2.故答案为2.【类型四】直接开平方法的实际应用有一个边长为11cm 的正方形和一个长为13cm ,宽为8cm 的矩形,要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形,边长应为多少厘米?分析:要求新正方形的边长,可先求出原正方形和矩形的面积之和,然后再用开平方计算.解:设新正方形的边长为x cm ,根据题意得x 2=112+13×8,即x 2=225,解得x =±15.因为边长为正,所以x =-15不合题意,舍去,所以只取x =15.答:新正方形的边长应为15cm.方法总结:在解决与平方根有关的实际问题时,除了根据题意解题外,有时还要结合实际,把平方根中不符合实际情况的负值舍去.三、板书设计教学过程中,强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程.同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.第2课时 配方法1.了解配方的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.2.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系,能够熟练地运用配方法解决有关问题.一、情境导入李老师让学生解一元二次方程x 2-6x -5=0,同学们都束手无策,学习委员蔡亮考虑了一下,在方程两边同时加上14,再把方程左边用完全平方公式分解因式……,你能按照他的想法求出这个方程的解吗?二、合作探究 探究点:配方法 【类型一】配方用配方法解一元二次方程x 2-4x=5时,此方程可变形为( )A .(x +2)2=1B .(x -2)2=1C .(x +2)2=9D .(x -2)2=9 解析:由于方程左边关于x 的代数式的二次项系数为1,故在方程两边都加上一次项系数一半的平方,然后将方程左边写成完全平方式的形式,右边化简即可.因为x2-4x =5,所以x 2-4x +4=5+4,所以(x -2)2=9.故选D.方法总结:用配方法将一元二次方程变形的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边,使方程的左边只留下二次项和一次项;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.【类型二】利用配方法解一元二次方程用配方法解方程:x2-4x+1=0.解析:二次项系数是1时,只要先把常数项移到右边,然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方,把方程配成(x+m)2=n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解.解:移项,得x2-4x=-1.配方,得x2-4x+(-2)2=-1+(-2)2.即(x-2)2=3.解这个方程,得x-2=± 3.∴x1=2+3,x2=2- 3.方法总结:用配方法解一元二次方程,实质上就是对一元二次方程变形,转化成开平方所需的形式.【类型三】用配方解决求值问题已知:x+4x+y-6y+13=0,求x-2yx2+y2的值.解:原方程可化为(x+2)2+(y-3)2=0,∴(x+2)2=0且(y-3)2=0,∴x=-2且y=3,∴原式=-2-613=-813.【类型四】用配方解决证明问题(1)用配方法证明2x-4x+7的值恒大于零;(2)由第(1)题的启发,请你再写出三个恒大于零的二次三项式.证明:(1)2x2-4x+7=2(x2-2x)+7=2(x2-2x+1-1)+7=2(x-1)2-2+7=2(x-1)2+5.∵2(x-1)2≥0,∴2(x-1)2+5≥5,即2x2-4x+7≥5,故2x2-4x+7的值恒大于零.(2)x2-2x+3;2x2-2x+5;3x2+6x+8等.【类型五】配方法与不等式知识的综合应用证明关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0不论m为何值时,都是一元二次方程.解析:要证明“不论m为何值时,方程都是一元二次方程”,只需证明二次项系数m2-8m+17的值不等于0.证明:∵二次项系数m2-8m+17=m2-8m+16+1=(m-4)2+1,又∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即m2-8m+17>0.∴不论m为何值时,原方程都是一元二次方程.三、板书设计教学过程中,强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程.因此需熟练掌握完全平方式的形式.21.2.2 公式法1.知道一元二次方程根的判别式的概念. 2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围. 3.经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程. 一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解,大家都才解第一个方程呢,小强突然站起来说出每个方程解的情况,你想知道他是如何判断的吗? 二、合作探究 探究点一:一元二次方程的根的情况 【类型一】判断一元二次方程根的情况 不解方程,判断下列方程的根的情况. (1)2x 2+3x -4=0; (2)x 2-x +14=0; (3)x 2-x +1=0. 解析:根据根的判别式我们可以知道当b 2-4ac ≥0时,方程才有实数根,而b 2-4ac <0时,方程没有实数根.由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况. 解:(1)2x 2+3x -4=0,a =2,b =3,c =-4,∴b 2-4ac =32-4×2×(-4)=41>0.∴方程有两个不相等的实数根. (2)x 2-x +14=0,a =1,b =-1,c =14.∴b 2-4ac =(-1)2-4×1×14=0.∴方程有两个相等的实数根.(3)x 2-x +1=0,a =1,b =-1,c =1.∴b 2-4ac =(-1)2-4×1×1=-3<0.∴方程没有实数根. 方法总结:给出一个一元二次方程,不解方程,可由b 2-4ac 的值的符号来判断方程根的情况.当b 2-4ac >0时,一元二次方程有两个不相等的实数根;当b 2-4ac =0时,一元二次方程有两个相等的实数根;当b 2-4ac <0时,一元二次方程无实数根.【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x 的一元二次方程(a -1)x 2-2x +1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是( )A .a >2B .a <2C .a <2且a ≠1D .a <-2 解析:由于一元二次方程有两个不相等的实数根,判别式大于0,得到一个不等式,再由二次项系数不为0知a -1不为0.即4-4(a -1)>0且a -1≠0,解得a <2且a ≠1.选C.方法总结:若方程有实数根,则b 2-4ac ≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程,所以,二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题.【类型三】说明含有字母系数的一元二次方程根的情况已知:关于x 的方程2x 2+kx -1=0,求证:方程有两个不相等的实数根.证明:Δ=k 2-4×2×(-1)=k 2+8,无论k 取何值,k 2≥0,所以k 2+8>0,即Δ>0,∴方程2x 2+kx -1=0有两个不相等的实数根. 方法总结:要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况,只需求出该方程根的判别式,分析其正、负情况,即可得出结论.【类型四】一元二次方程的根的情况的实际应用小林准备进行如下操作实验:把一根长为40cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2”,他的说法对吗?请说明理由.解:假设能围成.设其中一个正方形的边长为x,则另一个正方形的边长是(10-x),由题可得,x2+(10-x)2=48.化简得x2-10x+26=0.因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0,所以此方程没有实数根.所以小峰的说法是对的.探究点二:公式法解一元二次方程【类型一】用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程:(1)2x2+x-6=0;(2)x2+4x=2;(3)5x2-4x+12=0;(4)4x2+4x+10=1-8x.解析:方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式,可以直接确定a,b,c的值,并计算b2-4ac的值,然后代入求根公式,即可求出方程的根;方程(2)(4)则需要先化成一般形式,再求解.解:(1)这里a=2,b=1,c=-6,b2-4ac=12-4×2×(-6)=1+48=49.∴x=-b±b2-4ac2a=-1±492×2=-1±74,即原方程的解是x1=-2,x2=32.(2)将方程化为一般形式,得x2+4x-2=0.∵b2-4ac=24,∴x=-4±242=-2± 6.∴原方程的解是x1=-2+6,x2=-2- 6.(3)∵b2-4ac=-224<0,∴原方程没有实数根.(4)整理,得4x2+12x+9=0.∵b2-4ac=0,∴x1=x2=-32.方法总结:用公式法解一元二次方程时,一定要先将方程化为一般形式,再确定a,b,c的值.【类型二】一元二次方程解法的综合运用三角形的两边分别为2和6,第三边是方程x2-10x+21=0的解,则第三边的长为( )A.7 B.3C.7或3 D.无法确定解析:解一元二次方程x2-10x+21=0,得x1=3,x2=7.根据三角形三边的关系,第三边还应满足4<x<8.所以第三边的长x=7.故选A.方法总结:解题的关键是正确求解一元二次方程,并会运用三角形三边的关系进行取舍.三、板书设计教学过程中,强调用判别式去判断方程根的情况,首先需把方程化为一般形式.同时公式法的得出是通过配方法来的,用公式法解方程∴前提是Δ≥0.21.2.3 因式分解法1.认识用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.一、情境导入我们知道ab =0,那么a =0或b =0,类似的解方程(x +1)(x -1)=0时,可转化为两个一元一次方程x +1=0或x -1=0来解,你能求出(x +3)(x -5)=0的解吗? 二、合作探究 探究点一:用因式分解法解一元二次方程 【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程: (1)x 2+5x =0;(2)(x -5)(x -6)=x -5.解析:变形后方程右边是零,左边是能分解的二次三项式,可用因式分解法.解:(1)原方程转化为x (x +5)=0,∴x =0或x +5=0,∴原方程的解为x 1=0,x 2=-5; (2)原方程转化为(x -5)(x -6)-(x -5)=0,∴(x -5)[(x -6)-1]=0,∴(x -5)(x -7)=0,∴x -5=0或x -7=0,∴原方程的解为x 1=5,x 2=7. 【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程 用因式分解法解下列方程: (1)x 2-6x =-9; (2)4(x -3)2-25(x -2)2=0. 解:(1)原方程可变形为:x 2-6x +9=0,则(x -3)2=0,∴x -3=0,因此原方程的解为:x 1=x 2=3.(2)[2(x -3)]2-[5(x -2)]2=0,[2(x -3)+5(x -2)][2(x -3)-5(x -2)]=0,(7x -16)(-3x +4)=0,∴7x -16=0或-3x +4=0,∴原方程的解为x 1=167,x 2=43. 方法总结:因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:①将方程的右边化为0;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每一个因式分别为零,就得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.探究点二:用因式分解法解决问题若a 、b 、c 为△ABC 的三边,且a 、b 、c 满足a 2-ac -ab +bc =0,试判断△ABC的形状. 解析:先分解因式,确定a ,b ,c 的关系,再判断三角形的形状.解:∵a 2-ac -ab +bc =0,∴(a -b )(a-c )=0,∴a -b =0或a -c =0,∴a =c 或a =b ,∴△ABC 为等腰三角形.三、板书设计利用因式分解法解一元二次方程,能否分解是关键,因此,要熟练掌握因式分解的知识,提高用分解因式法解方程的能力.在使用因式分解法时,先考虑有无公因式,如果没有再考虑公式法.*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2.会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题.一、情境导入一般地,对于关于x 的方程x 2+px +q =0(p ,q 为已知常数,p 2-4q ≥0),试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2,算一算x 1+x 2、x 1·x 2的值,你能得出什么结果? 二、合作探究 探究点:一元二次方程根与系数的关系 【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值 已知m 、n是方程2x -x -2=0的两实数根,则1m +1n的值为( )A .-1 B.12 C .-12 D .1解析:根据根与系数的关系,可以求出m +n 和mn 的值,再将原代数式变形后,整体代入计算即可.因为m 、n 是方程2x 2-x -2=0的两实数根,所以m +n =12,mn =-1,1m +1n =n +m mn =12-1=-12.故选C. 方法总结:解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式,注意前提:方程有两个实数根时,判别式大于或等于0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程已知一元二次方程的两根分别是4和-5,则这个一元二次方程是( )A .x 2-6x +8=0B .x 2+9x -1=0C .x 2-x -6=0D .x 2+x -20=0解析:∵方程的两根分别是4和-5,设两根为x 1,x 2,则x 1+x 2=-1,x 1·x 2=-20.如果令方程ax 2+bx +c =0中,a =1,则-b =-1,c =-20.∴方程为x 2+x -20=0.故选D. 方法总结:先把所构造的方程的二次项系数定为1,利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项. 【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解 (2014·云南曲靖)已知x =4是一元二次方程x 2-3x +c =0的一个根,则另一个根为________.解析:设另一根为x 1,则由根与系数的关系得x 1+4=3,∴x 1=-1.故答案为x =-1.方法总结:解决这类问题时,利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决. 【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数 )关于x 的方程x 2-ax +2a =0的两根的平方和是5,则a的值是( )A .-1或5B .1C .5D .-1解析:将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式,从而利用一元二次方程根与系数的关系解决.设方程两根为x 1,x 2,由题意,得x 21+x 22=5.∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=5.∵x 1+x 2=a ,x 1x 2=2a ,∴a 2-2×2a =5.解得a 1=5,a 2=-1.又∵Δ=a 2-8a ,当a =5时,Δ<0,此时方程无实数根,所以舍去a =5.当a =-1时,Δ>0,此时方程有两实数根.所以取a =-1.故选D.方法总结:解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式,从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题.注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0,导致解答不全面.【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知x 1、x 2是一元二次方程(a -6)x 2+2ax +a =0的两个实数根.(1)是否存在实数a ,使-x 1+x 1x 2=4+x 2成立?若存在,求出a 的值;若不存在,请你说明理由;(2)求使(x 1+1)(x 2+1)为负整数的实数a 的整数值.解:(1)根据题意,得Δ=(2a )2-4×a (a -6)=24a ≥0.解得a ≥0.又∵a -6≠0,∴a ≠6.由根与系数关系得:x 1+x 2=-2aa -6,x 1x 2=aa -6.由-x 1+x 1x 2=4+x 2得x 1+x 2+4=x 1x 2,∴-2a a -6+4=a a -6,解得a =24.经检验a =24是方程-2a a -6+4=aa -6的解.即存在a =24,使-x 1+x 1x 2=4+x 2成立.(2)原式=x 1+x 2+x 1x 2+1=-2a a -6+aa -6+1=66-a 为负整数,则6-a 为-1或-2,-3,-6.解得a =7或8,9,12.三、板书设计教学过程中,强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的,在利用此关系确定字母的取值时,一定要记住Δ≥0这个前提条件.21.3实际问题与一元二次方程第1课时传播问题与一元二次方程1.会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解,能根据问题中的实际意义,检验所得的结果是否合理.2.联系实际,让学生进一步经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程,获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验,进一步掌握解应用题的步骤和关键.一、情境导入某细菌利用二分裂方式繁殖,每次一个分裂成两个,那么五次繁殖后共有多少个细菌呢?二、合作探究探究点:传播问题与一元二次方程【类型一】疾病传染问题有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少个人?(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?解析:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,根据题意可知,在第一轮,有x个人被传染,此时,共有(1+x)人患了流感;到了第二轮,患流感的(1+x)人作为“传染源”,每个人又传染给了x个人,这样,在第二轮中新增加的患了流感的人有x(1+x)人,根据等量关系可列一元二次方程解答.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人,由题意,得1+x+x(1+x)=64,解之,得x1=7,x2=-9(不合题意,舍去).答:每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)7×64=448(人).答:又将有448人被传染.方法总结:建立数学模型,利用一元二次方程来解决实际问题.读懂题意,正确的列出方程是解题的关键.【类型二】分裂增长问题月季生长速度很快,开花鲜艳诱人,且枝繁叶茂.现有一棵月季,它的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支的总数是73.求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,根据题意得:1+x+x2=73,解得:x1=8,x2=-9(舍去).答:每个支干长出8个小分支.三、板书设计教学过程中,强调利用一元二次方程解应用题的步骤和关键.特别是解有关的传播问题时,一定要明确每一轮传染源的基数.第2课时平均变化率与一元二次方程1.掌握用“倍数关系”建立数学模型,并利用它解决一些具体问题.2.会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题.一、情境导入月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?二、合作探究探究点:用一元二次方程解决增长率问题【类型一】增长率问题(2014·辽宁大连)某工厂一种产品2013年的产量是100万件,计划2015年产量达到121万件.假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同.(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率;(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件?解析:(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率;(2)依据求得的增长率,代入2014年产量的表达式即可解决.解:(1)设这种产品产量的年增长率为x,根据题意列方程得100(1+x)2=121,解得x1=0.1,x2=-2.1(舍去).答:这种产品产量的年增长率为10%.(2)100×(1+10%)=110(万件).答:2014年这种产品的产量应达到110万件.方法总结:增长率问题中可以设基数为a,平均增长率为x,增长的次数为n,则增长后的结果为a(1+x)n;而增长率为负数时,则降低后的结果为a(1-x)n.(2014·新疆乌鲁木齐)某工厂使用旧设备生产,每月生产收入是90万元,每月另需支付设备维护费5万元;从今年1月份起使用新设备,生产收入提高且无设备维护费,使用当月生产收入达100万元,1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长,累计达364万元,3月份后,每月生产收入稳定在3月份的水平.(1)求使用新设备后,2月、3月生产收入的月增长率;(2)购进新设备需一次性支付640万元,使用新设备几个月后,该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润?(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)解析:(1)设2月,3月生产收入的月增长率为x,根据题意建立等量关系,即3个月之和为364万元,解方程时要对结果进行合理取舍;(2)根据题意,建立不等关系:前三个月的生产收入+以后几个月的收入减去一次性支付640万元大于或等于旧设备几个月的生产收入-每个月的维护费,然后解不等式.解:(1)设2月,3月生产收入的月增长率为x,根据题意有100+100(1+x)+100(1+x)2=364,即25x2+75x-16=0,解得,x1=-3.2(舍),x2=0.2,所以2月,3月生产收入的月增长率为20%.(2)设m个月后,使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润,根据题意有364+100(1+20%)2(m-3)-640≥90m-5m,解得,m≥12.所以,使用新设备12个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润.方法总结:根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程,通过解方程解决实际问题,当方程的解不只一个时,要根据题意及实际问题确定出符合题意的解.【类型二】利润问题一学校为了绿化校园环境,向某园林公司购买了一批树苗,园林公司规定:如果购买树苗不超过60棵,每棵售价为120元;如果购买树苗超过60棵,每增加1棵,所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元,但每棵树苗最低售价不得少于100元.该校最终向园林公司支付树苗款8800元.请问该校共购买了多少棵树苗?解析:根据条件设该校共购买了x棵树苗,根据“售价=数量×单价”就可求解.解:∵60棵树苗售价为120元×60=7200元<8800元,∴该校购买树苗超过60棵.设该校共购买了x棵树苗,由题意得x[120-0.5(x-60)]=8800,解得x1=220,x2=80.当x1=220时,120-0.5(220-60)=40<100,∴x1=220不合题意,舍去;当x2=80时,120-0.5(80-60)=110>100,∴x2=80,∴x=80.答:该校共购买了80棵树苗.方法总结:根据实际问题中的数量关系或题目中给出的数量关系得到方程,当求出的方程的解不只一个时,要根据题意及实际问题确定出符合题意的解.【类型三】方案设计问题(2014·内蒙古兴安)菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销,李伟为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以每千克3.2元的价格对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率;(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜,因数量多,李伟决定再给予两种优惠方案以供选择:方案一,打九折销售;方案二,不打折,每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠?请说明理由.分析:第(1)小题设平均每次下调的百分率为x,列一元二次方程求出x,舍去不合题意的解;第(2)小题通过计算进行比较即可求解.解:(1)设平均每次下调的百分率为x,由题意,得5(1-x)2=3.2,解得x1=0.2=20%,x2=1.8(舍去).∴平均每次下调的百分率为20%;(2)小华选择方案一购买更优惠,理由如下:方案一所需费用为:3.2×0.9×5000=14400(元);方案二所需费用为:3.2×5000-200×5=15000(元),∵14400<15000,∴小华选择方案一购买更优惠.三、板书设计教学过程中,强调解决有关增长率及利润问题时,应考虑实际,对方程的根进行取舍.。
初中数学人教版九年级上册:第21章《一元二次方程》全章教案
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初中数学人教版九年级上册实用资料第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程1.通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般式ax 2+bx +c =0(a ≠0),分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念.2.了解一元二次方程的解的概念,会检验一个数是不是一元二次方程的解.重点通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般式ax 2+bx +c =0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念,并能用这些概念解决简单问题.难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别.活动1 复习旧知1.什么是方程?你能举一个方程的例子吗?2.下列哪些方程是一元一次方程?并给出一元一次方程的概念和一般形式. (1)2x -1 (2)mx +n =0 (3)1x+1=0 (4)x 2=13.下列哪个实数是方程2x -1=3的解?并给出方程的解的概念. A .0 B .1 C .2 D .3 活动2 探究新知 根据题意列方程.1.教材第2页 问题1.提出问题:(1)正方形的大小由什么量决定?本题应该设哪个量为未知数?(2)本题中有什么数量关系?能利用这个数量关系列方程吗?怎么列方程? (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗?请说出整理之后的方程. 2.教材第2页 问题2.提出问题:(1)本题中有哪些量?由这些量可以得到什么?(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系?如果有5个队参赛,每个队比赛几场?一共有20场比赛吗?如果不是20场比赛,那么究竟比赛多少场?(3)如果有x 个队参赛,一共比赛多少场呢?3.一个数比另一个数大3,且两个数之积为0,求这两个数.提出问题:本题需要设两个未知数吗?如果可以设一个未知数,那么方程应该怎么列? 4.一个正方形的面积的2倍等于25,这个正方形的边长是多少? 活动3 归纳概念 提出问题:(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点?(2)类比一元一次方程,我们可以给这一类方程取一个什么名字?(3)归纳一元二次方程的概念.1.一元二次方程:只含有________个未知数,并且未知数的最高次数是________,这样的________方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.提出问题:(1)一元二次方程的一般形式有什么特点?等号的左、右分别是什么?(2)为什么要限制a≠0,b,c可以为0吗?(3)2x2-x+1=0的一次项系数是1吗?为什么?3.一元二次方程的解(根):使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根).活动4例题与练习例1在下列方程中,属于一元二次方程的是________.(1)4x2=81;(2)2x2-1=3y;(3)1x2+1x=2;(4)2x2-2x(x+7)=0.总结:判断一个方程是否是一元二次方程的依据:(1)整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项,但是化简后二次项系数为0,这样的方程不是一元二次方程.例2教材第3页例题.例3以-2为根的一元二次方程是()A.x2+2x-1=0 B.x2-x-2=0C.x2+x+2=0 D.x2+x-2=0总结:判断一个数是否为方程的解,可以将这个数代入方程,判断方程左、右两边的值是否相等.练习:1.若(a-1)x2+3ax-1=0是关于x的一元二次方程,那么a的取值范围是________.2.将下列一元二次方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)4x2=81;(2)(3x-2)(x+1)=8x-3.3.教材第4页练习第2题.4.若-4是关于x的一元二次方程2x2+7x-k=0的一个根,则k的值为________.答案:1.a≠1;2.略;3.略;4.k=4.活动5课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识?一元二次方程的一般形式是什么?一般形式中有什么限制?你能解一元二次方程吗?作业布置教材第4页习题21.1第1~7题.21.2解一元二次方程21.2.1配方法(3课时)第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c =0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex +f)2+c =0型的一元二次方程.重点运用开平方法解形如(x +m)2=n(n ≥0)的方程,领会降次——转化的数学思想. 难点通过根据平方根的意义解形如x 2=n 的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x +m)2=n(n ≥0)的方程.一、复习引入学生活动:请同学们完成下列各题. 问题1:填空(1)x 2-8x +________=(x -________)2;(2)9x 2+12x +________=(3x +________)2;(3)x 2+px +________=(x +________)2.解:根据完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)(p 2)2 p2.问题2:目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元?一元二次方程与一元一次方程有什么不同?二次如何转化成一次?怎样降次?以前学过哪些降次的方法?二、探索新知上面我们已经讲了x 2=9,根据平方根的意义,直接开平方得x =±3,如果x 换元为2t +1,即(2t +1)2=9,能否也用直接开平方的方法求解呢?(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把2t +1变为上面的x ,那么2t +1=±3 即2t +1=3,2t +1=-3 方程的两根为t 1=1,t 2=-2例1 解方程:(1)x 2+4x +4=1 (2)x 2+6x +9=2分析:(1)x 2+4x +4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x +2)2=1. (2)由已知,得:(x +3)2=2直接开平方,得:x +3=±2 即x +3=2,x +3=- 2所以,方程的两根x 1=-3+2,x 2=-3- 2 解:略.例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m 2提高到14.4 m 2,求每年人均住房面积增长率.分析:设每年人均住房面积增长率为x ,一年后人均住房面积就应该是10+10x =10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x =10(1+x)2解:设每年人均住房面积增长率为x ,则:10(1+x)2=14.4 (1+x)2=1.44直接开平方,得1+x =±1.2 即1+x =1.2,1+x =-1.2所以,方程的两根是x 1=0.2=20%,x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x 2=-2.2应舍去. 所以,每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么?共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.三、巩固练习教材第6页练习.四、课堂小结本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程,那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程,那么mx+n=±p,达到降次转化之目的.若p<0则方程无解.五、作业布置教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.通过复习可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤.重点讲清直接降次有困难,如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程:(1)3x2-1=5(2)4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9(4)4x2+16x=-7老师点评:上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p或mx+n=±p(p≥0).如:4x2+16x+16=(2x+4)2,你能把4x2+16x=-7化成(2x+4)2=9吗?二、探索新知列出下面问题的方程并回答:(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢?问题:要使一块矩形场地的长比宽多6 m,并且面积为16 m2,求场地的长和宽各是多少?(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有此特征.(2)不能.既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程,下面,我们就来讲如何转化:x2+6x-16=0移项→x2+6x=16两边加(6/2)2使左边配成x2+2bx+b2的形式→x2+6x+32=16+9左边写成平方形式→(x+3)2=25降次→x+3=±5即x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2,x2=-8可以验证:x1=2,x2=-8都是方程的根,但场地的宽不能是负值,所以场地的宽为2m ,长为8 m .像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法. 可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.例1 用配方法解下列关于x 的方程: (1)x 2-8x +1=0 (2)x 2-2x -12=0分析:(1)显然方程的左边不是一个完全平方式,因此,要按前面的方法化为完全平方式;(2)同上.解:略. 三、巩固练习教材第9页 练习1,2.(1)(2).四、课堂小结 本节课应掌握:左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程的方程.五、作业布置教材第17页 复习巩固2,3.(1)(2).第3课时 配方法的灵活运用了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤. 通过复习上一节课的解题方法,给出配方法的概念,然后运用配方法解决一些具体题目.重点讲清配方法的解题步骤. 难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,通常把常数项移到方程右边后,两边加上的常数是一次项系数一半的平方;对于二次项系数不为1的一元二次方程,要先化二次项系数为1,再用配方法求解.一、复习引入(学生活动)解下列方程:(1)x 2-4x +7=0 (2)2x 2-8x +1=0 老师点评:我们上一节课,已经学习了如何解左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题,那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.解:略. (2)与(1)有何关联? 二、探索新知讨论:配方法解一元二次方程的一般步骤: (1)先将已知方程化为一般形式; (2)化二次项系数为1; (3)常数项移到右边;(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;(5)变形为(x +p)2=q 的形式,如果q ≥0,方程的根是x =-p±q ;如果q <0,方程无实根.例1解下列方程:(1)2x2+1=3x(2)3x2-6x+4=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0分析:我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方式.解:略.三、巩固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6).四、课堂小结本节课应掌握:1.配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.2.配方法是解一元二次方程的通法,它的重要性,不仅仅表现在一元二次方程的解法中,也可通过配方,利用非负数的性质判断代数式的正负性.在今后学习二次函数,到高中学习二次曲线时,还将经常用到.五、作业布置教材第17页复习巩固3.(3)(4).补充:(1)已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,求x+y+z的值.(2)求证:无论x,y取任何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数.21.2.2公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导,并应用公式法解一元二次方程.重点求根公式的推导和公式法的应用.难点一元二次方程求根公式的推导.一、复习引入1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”,比如,方程(1)x2=4(2)(x-2)2=7提问1这种解法的(理论)依据是什么?提问2这种解法的局限性是什么?(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效,不能实施于一般形式的二次方程.)2.面对这种局限性,怎么办?(使用配方法,把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式.)(学生活动)用配方法解方程2x2+3=7x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评).(1)先将已知方程化为一般形式;(2)化二次项系数为1;(3)常数项移到右边;(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;(5)变形为(x +p)2=q 的形式,如果q ≥0,方程的根是x =-p±q ;如果q <0,方程无实根.二、探索新知 用配方法解方程:(1)ax 2-7x +3=0 (2)ax 2+bx +3=0如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.问题:已知ax 2+bx +c =0(a ≠0),试推导它的两个根x 1=-b +b 2-4ac 2a,x 2=-b -b 2-4ac2a(这个方程一定有解吗?什么情况下有解?)分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a ,b ,c 也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.解:移项,得:ax 2+bx =-c二次项系数化为1,得x 2+b a x =-ca配方,得:x 2+b a x +(b 2a )2=-c a +(b2a )2即(x +b 2a )2=b 2-4ac4a 2∵4a 2>0,当b 2-4ac ≥0时,b 2-4ac4a 2≥0∴(x +b 2a )2=(b 2-4ac 2a)2直接开平方,得:x +b2a =±b 2-4ac 2a即x =-b±b 2-4ac2a∴x 1=-b +b 2-4ac 2a ,x 2=-b -b 2-4ac 2a由上可知,一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根由方程的系数a ,b ,c 而定,因此: (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0,当b 2-4ac ≥0时,将a ,b ,c 代入式子x =-b±b 2-4ac2a就得到方程的根.(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. 公式的理解(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根. 例1 用公式法解下列方程:(1)2x 2-x -1=0 (2)x 2+1.5=-3x (3)x 2-2x +12=0 (4)4x 2-3x +2=0分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可.补:(5)(x -2)(3x -5)=0 三、巩固练习教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6). 四、课堂小结 本节课应掌握:(1)求根公式的概念及其推导过程; (2)公式法的概念;(3)应用公式法解一元二次方程的步骤:1)将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号,尽量让a>0;2)找出系数a ,b ,c ,注意各项的系数包括符号;3)计算b 2-4ac ,若结果为负数,方程无解;4)若结果为非负数,代入求根公式,算出结果.(4)初步了解一元二次方程根的情况. 五、作业布置教材第17页 习题4,5.21.2.3 因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程. 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程,体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程,并应用因式分解法解决一些具体问题.重点用因式分解法解一元二次方程. 难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便.一、复习引入(学生活动)解下列方程:(1)2x 2+x =0(用配方法) (2)3x 2+6x =0(用公式法)老师点评:(1)配方法将方程两边同除以2后,x 前面的系数应为12,12的一半应为14,因此,应加上(14)2,同时减去(14)2.(2)直接用公式求解.二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题.(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项? (2)等式左边的各项有没有共同因式?(学生先答,老师解答)上面两个方程中都没有常数项;左边都可以因式分解. 因此,上面两个方程都可以写成:(1)x(2x +1)=0 (2)3x(x +2)=0因为两个因式乘积要等于0,至少其中一个因式要等于0,也就是(1)x =0或2x +1=0,所以x 1=0,x 2=-12.(2)3x =0或x +2=0,所以x 1=0,x 2=-2.(以上解法是如何实现降次的?)因此,我们可以发现,上述两个方程中,其解法都不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.例1 解方程:(1)10x -4.9x 2=0 (2)x(x -2)+x -2=0 (3)5x 2-2x -14=x 2-2x +34 (4)(x -1)2=(3-2x)2思考:使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么?解:略 (方程一边为0,另一边可分解为两个一次因式乘积.) 练习:下面一元二次方程解法中,正确的是( )A .(x -3)(x -5)=10×2,∴x -3=10,x -5=2,∴x 1=13,x 2=7B .(2-5x)+(5x -2)2=0,∴(5x -2)(5x -3)=0,∴x 1=25,x 2=35C .(x +2)2+4x =0,∴x 1=2,x 2=-2D .x 2=x ,两边同除以x ,得x =1 三、巩固练习教材第14页 练习1,2.四、课堂小结 本节课要掌握:(1)用因式分解法,即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用.(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第17页 习题6,8,10,11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用. 2.培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力. 3.渗透由特殊到一般,再由一般到特殊的认识事物的规律. 4.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.重点根与系数的关系及其推导 难点正确理解根与系数的关系.一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系.一、复习引入1.已知方程x 2-ax -3a =0的一个根是6,则求a 及另一个根的值.2.由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系.其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系,这种关系比较复杂,是否有更简洁的关系?3.由求根公式可知,一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1=-b +b 2-4ac 2a,x 2=-b -b 2-4ac 2a .观察两式右边,分母相同,分子是-b +b 2-4ac 与-b -b 2-4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系?二、探索新知解下列方程,并填写表格:(1)关于x 的方程x 2+px +q =0(p ,q 为常数,p 2-4q ≥0)的两根x 1,x 2与系数p ,q 之间有什么关系?(2)关于x 的方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根x 1,x 2与系数a ,b ,c 之间又有何关系呢?你能证明你的猜想吗?解下列方程,并填写表格:(1)关于x 的方程x 2+px +q =0(p ,q 为常数,p 2-4q ≥0)的两根x 1,x 2与系数p ,q 的关系是:x 1+x 2=-p ,x 1·x 2=q(注意:根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零.)(2)形如ax 2+bx +c =0(a ≠0)的方程,可以先将二次项系数化为1,再利用上面的结论.即:对于方程 ax 2+bx +c =0(a ≠0) ∵a ≠0,∴x 2+b a x +c a =0∴x 1+x 2=-b a ,x 1·x 2=ca(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程,写出下列方程的两根和与两根积: (1)x 2-3x -1=0 (2)2x 2+3x -5=0 (3)13x 2-2x =0 (4)2x 2+6x = 3 (5)x 2-1=0 (6)x 2-2x +1=0例2 不解方程,检验下列方程的解是否正确? (1)x 2-22x +1=0 (x 1=2+1,x 2=2-1)(2)2x 2-3x -8=0 (x 1=7+734,x 2=5-734) 例3 已知一元二次方程的两个根是-1和2,请你写出一个符合条件的方程.(你有几种方法?) 例4 已知方程2x 2+kx -9=0的一个根是-3,求另一根及k 的值.变式一:已知方程x 2-2kx -9=0的两根互为相反数,求k ;变式二:已知方程2x 2-5x +k =0的两根互为倒数,求k.三、课堂小结1.根与系数的关系.2.根与系数关系使用的前提是:(1)是一元二次方程;(2)判别式大于等于零.四、作业布置1.不解方程,写出下列方程的两根和与两根积.(1)x 2-5x -3=0 (2)9x +2=x 2 (3)6x 2-3x +2=0(4)3x 2+x +1=02.已知方程x 2-3x +m =0的一个根为1,求另一根及m 的值.3.已知方程x 2+bx +6=0的一个根为-2,求另一根及b 的值.21.3 实际问题与一元二次方程(2课时)第1课时 解决代数问题1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程,总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.2.通过学生自主探究,会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解,熟悉解题的具体步骤.3.通过实际问题的解答,让学生认识到对方程的解必须要进行检验,方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题.难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程,找到传播问题和百分率问题中的数量关系.一、引入新课1.列方程解应用题的基本步骤有哪些?应注意什么?2.科学家在细胞研究过程中发现:(1)一个细胞一次可分裂成2个,经过3次分裂后共有多少个细胞?(2)一个细胞一次可分裂成x 个,经过3次分裂后共有多少个细胞?(3)如是一个细胞一次可分裂成2个,分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂,试问经过3次分裂后共有多少个细胞?二、教学活动活动1:自学教材第19页探究1,思考教师所提问题.有一人患了流感,经过两轮传染后,有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?(1)如何理解“两轮传染”?如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人,第一轮传染后共有________人患流感.第二轮传染后共有________人患流感.(2)本题中有哪些数量关系?(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程?解答:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则依题意第一轮传染后有(x+1)人患了流感,第二轮有x(1+x)人被传染上了流感.于是可列方程:1+x+x(1+x)=121解方程得x1=10,x2=-12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人.变式练习:如果按这样的传播速度,三轮传染后有多少人患了流感?活动2:自学教材第19页~第20页探究2,思考老师所提问题.两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率?它们相等吗?(2)若设甲种药品年平均下降率为x,则一年后,甲种药品的成本下降了________元,此时成本为________元;两年后,甲种药品下降了________元,此时成本为________元.(3)增长率(下降率)公式的归纳:设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为a(1±x);二月(或二年)后产量为a(1±x)2;n月(或n年)后产量为a(1±x)n;如果已知n月(n年)后总产量为M,则有下面等式:M=a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为:________________.三、课堂小结与作业布置课堂小结1.列一元二次方程解应用题的步骤:审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际.2.传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立.3.若平均增长(降低)率为x,增长(或降低)前的基准数是a,增长(或降低)n次后的量是b,则有:a(1±x)n=b(常见n=2).4.成本下降额较大的药品,它的下降率不一定也较大,成本下降额较小的药品,它的下降率不一定也较小.作业布置教材第21-22页习题21.3第2-7题.第2课时解决几何问题1.通过探究,学会分析几何问题中蕴含的数量关系,列出一元二次方程解决几何问题.2.通过探究,使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换,使列方程更容易.3.通过实际问题的解答,再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验,方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.重点通过实际图形问题,培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力.难点在探究几何问题的过程中,找出数量关系,正确地建立一元二次方程.活动1创设情境1.长方形的周长________,面积________,长方体的体积公式________.2.如图所示:(1)一块长方形铁皮的长是10 cm,宽是8 cm,四角各截去一个边长为2 cm的小正方形,制成一个长方体容器,这个长方体容器的底面积是________,高是________,体积是________.(2)一块长方形铁皮的长是10 cm,宽是8 cm,四角各截去一个边长为x cm的小正方形,制成一个长方体容器,这个长方体容器的底面积是________,高是________,体积是________.活动2自学教材第20页~第21页探究3,思考老师所提问题要设计一本书的封面,封面长27 cm,宽21 cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上下边衬等宽,左右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm).(1)要设计书本封面的长与宽的比是________,则正中央矩形的长与宽的比是________.(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7?试与同伴交流一下.(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm,左、右边衬的宽均为7x cm,则中央矩形的长为________cm,宽为________cm,面积为________cm2.(4)根据等量关系:________,可列方程为:________.(5)你能写出解题过程吗?(注意对结果是否合理进行检验.)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm,你又怎样去求上下、左右边衬的宽?活动3变式练习如图所示,在一个长为50米,宽为30米的矩形空地上,建造一个花园,要求花园的面积占整块面积的75%,等宽且互相垂直的两条路的面积占25%,求路的宽度.答案:路的宽度为5米.活动4课堂小结与作业布置课堂小结1.利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型,并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系.2.根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程,并能正确解方程,最后对所得结果是否合理要进行检验.作业布置教材第22页习题21.3第8,10题.。
《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)
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《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)元二次方程教案篇一教学设计思想解一元二次方程有四种方法,直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法,这四种方法各有千秋。
直接开平方法很简单,在这里不做过多的介绍。
为保证学生掌握基本的运算技能,教学中进行了一定量的训练,但要避免学生简单的模仿。
我们在探究一元二次方程解法的过程中,要加强思想方法的渗透,发展学生的思维能力。
在解一元二次方程的几种方法中,均需要用到转化的思想方法。
如配方法需要将方程转化为能直接开平方的形式,公式法能根据一元二次方程转化为两个一元一次方程,所有这些均体现了转化的思想。
在教学时老师引导学生在主动进行观察、思考核探究的基础上,体会数学思想方法在其中的作用,充分发展学生的思维能力。
教学目标知识与技能:1.会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。
2.能够根据一元二次方程的特点,灵活选用解方程的方法,体会解决问题策略的多样性。
过程与方法:1.参与对一元二次方程解法的探索,体验数学发现的过程,对结果比较、验证、归纳、理清几种解法之间的关系,并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。
2.在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。
情感态度价值观:在解一元二次方程的实践中,交流、总结经验和规律,体验数学活动乐趣。
教学重难点重点:掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤,并熟练运用上述方法解题。
难点:根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。
教学方法探索发现,讲练结合元二次方程教案篇二一、教学目标1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。
2.通过列方程解应用问题,进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。
3.通过列方程解应用问题,进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。
二、重点·难点·疑点及解决办法1.教学重点:会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章 一元二次方程(教案)因式分解法教案
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21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法一、教学目标【知识与技能】1.会用因式分解法(提公因式法、运用公式)解一元二次方程.2.能根据方程的具体特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.【过程与方法】在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力,分析能力和解决问题能力.【情感态度与价值观】通过因式分解法解一元二次方程的探究活动,培养学生勇于探索的良好习惯,感受数学的严谨性及教学方法的多样性.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】会用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解并应用因式分解法解一元二次方程.五、课前准备课件六、教学过程(一)导入新课1.解一元二次方程的方法有哪些?(出示课件2)学生答:直接开平方法:x 2=a (a≥0),配方法:(x+m)2=n (n≥0),公式法:x=2b a -±(b 2-4ac≥0).2.什么叫因式分解?学生答:把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解,也叫把这个多项式分解因式.3.分解因式的方法有那些?(出示课件3)学生答:(1)提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c).(2)公式法:a²-b²=(a+b)(a-b),a²±2ab+b²=(a±b)².(3)十字相乘法.教师问:下面的方程如何使解答简单呢?x 2+25x=0.出示课件5:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s 的速度竖直上抛,那么经过x s 物体离地面的高度(单位:m)为10x -4.9x 2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s)教师问:你能根据题意列出方程吗?学生答:设物体经过x s 落回地面,这时它离地面的高度为0m,即10x -4.9x 2=0.教师问:你能想出解此方程的简捷方法吗?(二)探索新知探究因式分解法的概念学生用配方法和公式法解方程10x -4.9x 2=0.(两生板演)配方法解方程10x -4.9x 2=0.解:2100049x x -=,22210050500494949x x ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2250504949x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭50504949x -=±50504949x =±+110049,=x 20.=x 公式法解方程10x -4.9x 2=0.解:24.9100x x -=,a=4.9,b=-10,c=0.b 2-4ac=(-10)2-0=100,a acb b x 242-±-=()101024.9--±=⨯110049,=x20. =x教师引导学生尝试找出其简洁解法为:(出示课件7)x(10-4.9x)=0.∴x=0或10-4.9x=0,∴x1=0,x2=10049≈2.04.这种解法是不是很简单?教师问:以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?x(10-4.9x)=0,①x=0或10-4.9x=0,②通过学生的讨论、交流可归纳为:(出示课件8)可以发现,上述解法中,由①到②的过程,不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.教师提示:(出示课件9)1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的方法;3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0”.师生共同归纳:(出示课件10)分解因式法解一元二次方程的步骤是:1.将方程右边化为等于0的形式;2.将方程左边因式分解为A×B;3.根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程;4.分别解这两个一元一次方程,它们的根就是原方程的根.例1解下列方程:(出示课件11)(1)x(x-2)+x-2=0;(2)5x 2-2x-14=x 2-2x+34.师生共同解答如下:解:(1)因式分解,得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x 1=2,x 2=-1;(2)原方程整理为4x 2-1=0.因式分解,得(2x+1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x 1=-12,x 2=12.想一想以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗?如果可以,请比较它们与因式分解法的优缺点.学生思考后,教师总结如下:(出示课件12)一.因式分解法简记歌诀:右化零,左分解;两因式,各求解.二.选择解一元二次方程的技巧:1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程.2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的形式的方程.3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程.出示课件13:解下列方程:2222221 +=0; (2) -=0; (3) 3-6=-3;(4) 4-121=0; (5) 3(2+1)=4+2; (6) (-4)=(5-2).()x x x x x x x x x x x 学生自主思考并解答.(六生板演)解:⑴因式分解,得x(x+1)=0.于是得x=0或x+1=0,x 1=0,x 2=-1.⑵因式分解,得x (x -2)=0于是得x=0或x-2=0x1=0,x2=2.⑶将方程化为x2-2x+1=0.因式分解,得(x-1)(x-1)=0.于是得x-1=0或x-1=0,x1=x2=1.⑷因式分解,得(2x+11)(2x-11)=0.于是得2x+11=0或2x-11=0,x1=-5.5,x2=5.5.⑸将方程化为6x2-x-2=0.因式分解,得(3x-2)(2x+1)=0.于是得3x-2=0或2x+1=0,x1=23,x2=12 .⑹将方程化为(x-4)2-(5-2x)2=0.因式分解,得(x-4-5+2x)(x-4+5-2x)=0.(3x-9)(1-x)=0.于是得3x-9=0或1-x=0,x1=3,x2=1.出示课件16:用适当方法解下列方程:2;(2)x2-6x-19=0;(3)3x2=4x+1;(4)y2-15=2y;(5)5x(x-3)-(x-3)(x+1)=0;(6)4(3x+1)2=25(x-2)2.教师提示:根据方程的结构特征,灵活选择恰当的方法来求解.四种方法的选择顺序是:直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法.师生共同解答如下.(出示课件17,18,19)解:(1)(1-x)2=3,∴(x-1)2∴x12.(2)移项,得x2-6x=19.配方,得x2-6x+(-3)2=19+(-3)2.∴(x-3)2=28..∴x1,x2.(3)移项,得3x2-4x-1=0.∵a=3,b=-4,c=-1,∴x2×3=2±7 3.∴x1=2+73,x2=2-73.(4)移项,得y2-2y-15=0.把方程左边因式分解,得(y-5)(y+3)=0.∴y-5=0或y+3=0.∴y1=5,y2=-3.(5)将方程左边因式分解,得(x-3)[5x-(x+1)]=0.∴(x-3)(4x-1)=0.∴x-3=0或4x-1=0.∴x1=3,x2=1 4 .6)移项,得4(3x+1)2-25(x-2)2=0.∴[2(3x+1)]2-[5(x-2)]2=0.∴[2(3x+1)+5(x-2)]·[2(3x+1)-5(x-2)]=0.∴(11x-8)(x+12)=0.∴11x-8=0或x+12=0.∴x1=811,x2=-12.出示课件20,21:用适当的方法解下列方程:(1)x2-41=0;(2)5(3x+2)2=3x(3x+2).学生自主思考并解答.解:(1)∵x2-14=0,∴x2=14,即x=±14.∴x1=12,x2=-12.⑵原方程可变形为5(3x+2)2-3x(3x+2)=0,∴(3x+2)(15x+10-3x)=0.∴3x+2=0或12x+10=0.∴x1=-23,x2=-56.(三)课堂练习(出示课件22-30)1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+(k²﹣2)x+2k+4=0的一个根,则k的值为.2.解方程:2(x﹣3)=3x(x﹣3).3.解下列方程:(1)x2+4x-9=2x-11;(2)x(x+4)=8x+12.4.小华在解一元二次方程x2-x=0时,只得出一个根x=1,则被漏掉的一个根是()A.x=4B.x=3C.x=2D.x=05.我们已经学习了一元二次方程的四种解法:直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.请从以下一元二次方程中任选一个,并选择你认为适当的方法解这个方程.①x2-3x+1=0;②(x-1)2=3;③x2-3x=0;④x2-2x=4.我选择______________________.6.解方程:(x2+3)2-4(x2+3)=0.参考答案:1.-32.解:2(x﹣3)=3x(x﹣3),移项得2(x﹣3)﹣3x(x﹣3)=0,因式分解得(x﹣3)(2﹣3x)=0,x﹣3=0或2﹣3x=0,解得:x1=3,x2=32.3.解:⑴x2+2x+2=0,(x+1)2=-1.此方程无解.⑵x2-4x-12=0,(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.4.D5.解:答案不唯一.若选择①,①适合公式法,x2-3x+1=0,∵a=1,b=-3,c=1,∴b2-4ac=9-4=5>0.∴x=3±5 2.∴x1=3+52,x2=3-52.若选择②,②适合直接开平方法,∵(x-1)2=3,x-1=±3,∴x1=1+3,x2=1- 3.若选择③,③适合因式分解法,x2-3x=0,因式分解,得x(x-3)=0.解得x1=0,x2=3.若选择④,④适合配方法,x2-2x=4,x2-2x+1=4+1=5,即(x-1)2=5.开方,得x-1=± 5.∴x1=1+5,x2=1- 5.5.提示:把(x2+3)看作一个整体来提公因式,再利用平方差公式,因式分解.解:设x2+3=y,则原方程化为y2-4y=0.分解因式,得y(y-4)=0,解得y=0,或y=4.①当y=0时,x2+3=0,原方程无解;②当y=4时,x2+3=4,即x2=1.解得x=±1.所以原方程的解为x1=1,x2=-1.(四)课堂小结1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点?需注意哪些细节问题?2.通过本节课的学习,你还有哪些收获和体会?⑴公式法虽然是万能的,对任何一元二次方程都适用,但不一定是最简单的,因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法,若不行,再考虑公式法(适当也可考虑配方法).⑵方程中有括号时,应先用整体思想考虑有没有简单方法,若看不出合适的方法时,则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法.(五)课前预习预习下节课(21.2.4)的相关内容。
2023最新-一元二次方程教案(优秀7篇)
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一元二次方程教案(优秀7篇)作为一名默默奉献的教育工作者,时常会需要准备好教案,教案是备课向课堂教学转化的关节点。
优秀的教案都具备一些什么特点呢?牛牛范文为您带来了7篇一元二次方程教案,如果对您有一些参考与帮助,请分享给最好的朋友。
九年级数学《一元二次方程》教案篇一一、教材分析:1、本章的主要内容:(1)一元二次方程的有关概念;(2)一元二次方程的解法,根的判别式及根与系数的关系;(3)实际问题与一元二次方程。
2、本章知识结构图:3、教学目标:(1)以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景,认识一元二次方程及其有关概念;(2)根据化归的思想,抓住“降次”这一基本策略,掌握配方法、直接开平法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法;(3)经历分析和解决实际问题的过程,体会一元二次方程的数学模型作用,进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。
4、本章的重点与难点本章学习的重点:一元二次方程的解法及应用一元二次方程解决实际问题。
难点:(1)分析方程的特点并根据方程的特点选择合适的解法;(2)实际背景问题的等量分析,设元列一元二次方程解应用题。
即建立一元二次方程模型解决实际问题,尽管已经有了运用一次方程(组)解应用问题的经验,但由于实际问题涉及的内容广泛,有的背景学生不熟悉,有的问题数量关系复杂,不易找出等量关系。
同时,还要根据实际问题的意义检验求得的结果是否合理。
二、教学中应注意的问题:1、重视一元二次方程与实际的联系,再次体现数学建模思想。
方程是刻画现实世界的有效数学模型,因而方程教学关注方程的建模过程。
教科书的第1节就是想通过多种实际问题的分析,经历模型化的过程,并在此基础上抽象出数学概念。
当然,在教学中除教科书第1节、第5节提供了大量的实际问题外,教师还应根据学生生活实际和认知水平,创设更为丰富、贴近学生的现实情景,并引导学生分析其中的数量关系,建立方程模型。
在经历多次这样的数学活动,使学生感受到方程与实际问题的联系,领会数学建模思想,增强学生学习数学的兴趣和应用意识,培养学生分析问题、解决问题的能力。
第21章一元二次方程基础(教案)
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-难点三:一元二次方程在实际问题中的应用。学生可能会在将实际问题转化为数学模型时遇到困难,需要通过多个实际例题来指导学生如何建模。
-难点四:根与系数的关系。学生对韦达定理的记忆和应用可能会感到困惑,需要通过具体的方程求解过程来强调和巩固这一知识点。
举例:在讲解判别式时,可以选取具体的方程,如x²-5x+6=0,计算Δ并解释Δ=1(>0)时方程有两个不相等的实数根,同时通过图形展示这一过程,帮助学生形象理解。
四、教学流程
(一)导入新课(用时5分钟)
同学们,今天我们将要学习的是《一元二次方程基础》这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在日常生活中是否遇到过需要解决面积、距离或速度等问题的情况?”(如等腰三角形面积问题)这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索一元二次方程的奥秘。
第21章一元二次方程基础(教案)
一、教学内容
第21章一元二次方程基础(教案)
1.理解一元二次方程的概念;
2.掌握一元二次方程的标准形式:ax² + bx + c = 0;
3.学会使用直接开平方法解一元二次方程;
4.学会使用配方法解一元二次方程;
5.掌握一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac的意义及其应用;
在实践活动的设计上,我认为可以进一步增加实验操作的多样性,让学生在实践中更加直观地感受一元二次方程的应用。通过亲自动手,学生能够更好地理解理论知识,并将其内化为自己的认知结构。
最后,我发现总结回顾环节对学生来说是一个巩固知识、提出疑问的好时机。在未来的教学中,我打算增加这个环节的互动性,让学生不仅仅是被动地听,而是主动地参与进来,比如通过制作思维导图或进行简短的知识点小测验。
一元二次方程的教案(必备3篇)
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一元二次方程的教案(必备3篇)1.一元二次方程的教案第1篇一、教学目标知识与技能(1)理解一元二次方程的意义。
(2)能熟练地把一元二次方程整理成一般形式并能指出它的二次项系数,一次项系数及常数项。
过程与方法在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化成数学模型(一元二次方程)的过程中,使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识。
情感、态度与价值观通过探索建立一元二次方程模型的过程,使学生积极参与数学学习活动,增进对方程的认识,发展分析问题、解决问题的能力。
二、教材分析:教学重点难点重点:经历建立一元二次方程模型的过程,掌握一元二次方程的一般形式。
难点:准确理解一元二次方程的意义。
三、教学方法创设情境——主体探究——合作交流——应用提高四、学案(1)预学检测3x-5=0是什么方程?一元一次方程的定义是怎样的?其一般形式是怎样的?五、教学过程(一)创设情境、导入新(1)自学本P2—P3并完成书本(2)请学生分别回答书本内容再(二)主体探究、合作交流(1)观察下列方程:(35-2x)2=9004x2-9=03y2-5y=7它们有什么共同点?它们分别含有几个未知数?它们的左边分别是未知数的几次几项式?(2)一元二次方程的概念与一般形式?如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边是只含一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫作一元二次方程,它的一般形式是ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数a≠0),其中,a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项,如x2-x=56(三)应用迁移、巩固提高例1:根据一元二次方程定义,判断下列方程是否为一元二次方程?为什么?x2-x=13x(x-1)=5(x+2)x2=(x-1)2例2:将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。
解:去括号得3x2-3x=5x+10移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.学生练习:书本P4练习(四)总结反思拓展升华总结1.一元二次方程的定义是怎样的?2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0),一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的,这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)
![《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)](https://img.taocdn.com/s3/m/57ecf6ee4128915f804d2b160b4e767f5bcf8052.png)
《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)《一元二次方程》优秀教案1学习目标1、一元二次方程的求根公式的推导2、会用求根公式解一元二次方程.3、通过运用公式法解一元二次方程的训练,提高学生的运算能力,养成良好的运算习惯学习重、难点重点:一元二次方程的求根公式.难点:求根公式的条件:b2 -4ac≥0学习过程:一、自学质疑:1、用配方法解方程:2x2-7x+3=0.2、用配方解一元二次方程的步骤是什么?3、用配方法解一元二次方程,计算比较麻烦,能否研究出一种更好的方法,迅速求得一元二次方程的实数根呢?二、交流展示:刚才我们已经利用配方法求解了一元二次方程,那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c=0(a≠0)呢?三、互动探究:一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法由此我们可以看到:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的.因此,在解一元二次方程时,先将方程化为一般形式,然后在b2-4ac≥0的前提条件下,把各项系数a、b、c的值代入,就可以求得方程的根.注:(1)把方程化为一般形式后,在确定a、b、c时,需注意符号.(2)在运用求根公式求解时,应先计算b2-4ac的值;当b2-4ac≥0时,可以用公式求出两个不相等的实数解;当b2-4ac<0时,方程没有实数解.就不必再代入公式计算了.四、精讲点拨:例1、课本例题总结:其一般步骤是:(1)把方程化为一般形式,进而确定a、b,c的值.(注意符号)(2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根)(3)在b2-4ac≥0的前提下,把a、b、c的直代入求根公式,求出的值,最后写出方程的根.例2、解方程:(1)2x2-7x+3=0 (2) x2-7x-1=0(3) 2x2-9x+8=0 (4) 9x2+6x+1=0五、纠正反馈:做书上第P90练习。
数学教案一元二次方程的应用(6篇)
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数学教案一元二次方程的应用(6篇)(经典版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。
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新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案
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新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案(总21页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除第二章 一元二次方程 认识一元二次方程-(1) 晋公庙中学数学组学习目标:1、会根据具体问题列出一元二次方程。
通过“花边有多宽”,“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析,列出方程,体会方程的模型思想,2.通过分析方程的特点,抽象出一元二次方程的概念,培养归纳分析的能力 3.会说出一元二次方程的一般形式,会把方程化为一般形式。
学习重点:一元二次方程的概念学习难点:如何把实际问题转化为数学方程 学习过程:一、导入新课:什么是一元一次方程什么是二元一次方程 二、自学指导:1、自主学习:自学课本31页至32页内容,独立思考解答下列问题:1)情境问题:列方程解应用题:一个面积为120 m 2的矩形苗圃,它的长比宽多2m 。
苗圃的长和宽各是多少?设未知数列方程。
你能将方程化成ax 2+bx+c=0的形式吗?阅读课本P48,回答问题: 1)什么是一元二次方程?2)什么是一元二次方程的一般形式二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项2、合作交流:1.一元二次方程应用举例:1)一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,如图所示,它的长为8m ,宽为5m ,如果地毯中央长方形图案的面积为18m 2,那么花边有多宽?列 方程并化成一般形式。
2)求五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
如果设中间的一个数为x ,列 方程并化成一般形式。
3)如图,一个长为10m 的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ,如果梯子的顶端下滑1m ,那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程并化简。
如果设梯子底端滑动x m ,列 方程并化成一般形式。
2.知识梳理:1)一元二次方程的概念:强调三个特征:①它是______方程;②它只含______未知数;③方程中未知数的最高次数是__________.8一元二次方程的一般形式: 在任何一个一元二次方程中,_______是必不可少的项.2)几种不同的表示形式:①ax 2+bx+c=0 (a ≠0,b ≠0,c ≠0) ② ___________ (a ≠0,b ≠0,c=0) ③____________ (a ≠0,b=0,c ≠0) ④___________ (a ≠0,b=0,c=0) 三、当堂训练1、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。
第22章 一元二次方程教案全章
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教学时间: 教学课题:22.1 一元二次方程 教学课型:新授课 教学目标1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式,能将一个一元二次方程化为一般形式3.理解二次根式的根的概念,会判断一个数是否是一个一元二次方程的根4.通过根据实际问题列方程,向学生渗透知识来源于生活.5通过观察,思考,交流,获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式. 教学重点:一元二次方程的一般形式和一元二次方程的根的概念 教学难点:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型 教学过程 一、复习引入小学学习过简易方程,上初中后学习了一元一次方程,二元一次方程组,可化为一元一次方程的分式方程,运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题,是非常常见的一种数学方法。
从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念. 二、探究新知 (一)探究课本问题2 分析:1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思?2.全部比赛场数是多少?若设应邀请x 个队参赛,如何用含x 的代数式表示全部比赛场数? 整理所列方程后观察:1.方程中未知数的个数和次数各是多少?2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些?4x+3=0;0422=-+x x ;042=-+y x ;0350752=+-x x ;0621=-+x x(二)概念归纳: 1.一元二次方程定义:首先它是整式方程,然后未知数的个数是1,最高次数是2. 2.一元二次方程的一般形式: ①为什么规定a ≠0?②方程左边各项之间的运算关系是什么?关于x 的一元二次方程()002≠=--a c bx ax 的各项分别是什么?各项系数是什么?3.特殊形式:()002≠=+a bx ax ;()002≠=+a c ax ;()002≠=a ax (三)课本例题类比一元一次方程的去括号,移项,合并同类项,进行同解变形,化为一般形式后再写出各项系数,注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号,不是运算符号减号. (四)一元二次方程的根的概念1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念2.下面哪些数是方程x 2+5x+6=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. 3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?(1)x 2-64=0(2)x 2+1=0 (3)x 2-3x=0 (4)0122=++x x 4.思考:一元一次方程一定有一个根,一元二次方程呢?5.排球邀请赛问题中,所列方程562=-x x 的根是8和-7,但是答案只能有一个,应该是哪个? 归纳:①一元二次方程的根的情况 ②一元二次方程的解要满足实际问题 三、课堂训练 1.课本练习 2补充:1).在下列方程中①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③(x-2)(x+5)=x 2-1 ④3x 2-5x=0,一元二次方程的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个2).关于x 的方程(a-1)x 2+3x=0是一元二次方程,则a 范围________. 3).已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3,则m 的值为________ 4).关于x 的方程(2m 2+m )x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗? 四、小结归纳1.一元二次方程的概念及其一般形式,能将一个一元二次方程化为一般形式,并正确指出其各项系数.2.一元二次方程的根的概念,能判断一个数是否是一个一元二次方程的根. 五、作业设计 必做:P28:1-7 选做:.P29:8、9教学时间:教学课题:22.2.1配方法(1) 教学课型:新授课教学目标1.理解一元二次方程“降次”的转化思想.2.根据平方根的意义解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程,然后迁移到解(mx+n)2=p(p≥0)型的一元二次方程.3.把一般形式的一元二次方程(二次项系数是1,一次项系数是偶数)与左边是含有未知数的完全平方式右边是非负常数的一元二次方程对比,引入配方法,并掌握.4.通过根据实际问题列方程,向学生渗透知识来源于生活.5.通过观察,思考,对比获得一元二次方程的解法-----直接开平方法,配方法教学重点:1.运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.2用配方法解二次项是1,一次项系数是偶数的一元二次方程教学难点:降次思想,配方法教学过程一、复习引入已经学习了一元二次方程的概念,本节课开始学习其解法,首先学习直接开平方法,配方法.二、探究新知(一)探究课本问题11.用列方程方法解题的等量关系是什么?2.解方程的依据是什么?3.方程的解是什么?问题的答案是什么?4.该方程的结构是怎样的?归纳:可根据数的开方的知识解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程,方程有两个根,但是不一定都是实际问题的解.(二)解决课本思考1如何理解降次?2本题中的一元二次方程是通过什么方法降次的?3能化为(x+m)2=n(n≥0)的形式的方程需要具备什么特点?归纳:1运用平方根知识将形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程降次,转化为两个一元一次方程,解一元一次方程即可;2左边是含有未知数的完全平方式,右边是非负常数的一元二次方程可化为(x+m)2=n(n≥0).(三)探究课本问题21.根据题意列方程并整理成一般形式.2.将方程x2+6x-16=0和x2+6x+9=2对比,怎样将方程x2+6x-16=0化为像x2+6x+9=2一样,左边是含有未知数的完全平方式,右边是非负常数的方程?①完成填空:x2+6x+ =(x+ )2②方程移项之后,两边应加什么数,可将左边配成完全平方式?归纳:用配方法解二次项系数是1且一次项系数是偶数的一元二次方程的一般步骤及注意事项:先将常数项移到方程右边,然后给方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成完全平方式的三项式形式,再将左边写成平方形式,右边完成有理数加法运算,到此,方程变形为(x+m)2=n(n≥0)的形式.三、课堂训练课本练习: P31页练习,P34页练习1,2(1)四、小结归纳1.根据平方根的意义,用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程.2.用配方法解二次项系数是1,一次项系数是偶数的一元二次方程,特别地,移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方.3.在用方程解决实际问题时,方程的根一定全实际是问题的解,但是实际问题的解一定是方程的根.五、作业设计必做:P42:1、2、3(1)(2)选做:下面补充作业补充作业:1.若8x2-16=0,则x的值是_________.2.如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是________.3.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分别是().A.p=4,q=2 B.p=4,q=-2 C.p=-4,q=2 D.p=-4,q=-24.方程3x2+9=0的根为().A.3 B.-3 C.±3 D.无实数根5.已知x2-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是().A.x2-8x+(-4)2=31 B.x2-8x+(-4)2=1 C.x2+8x+42=1 D.x2-4x+4=-116.某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),•另三边用木栏围成,木栏长40m.(1)鸡场的面积能达到180m2吗?能达到200m吗?(2)鸡场的面积能达到210m2吗?教学时间: 教学课题:22.2.1配方法(2) 教学课型:新授课 教学目标:1.进一步理解配方法和配方的目的.2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程.4.通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程,解二次项系数不是1的一元二次方程,经历从简单到复杂的过程,对配方法全面认识 教学重点:用配方法解一元二次方程 教学难点:用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程,首先方程两边都除以二次项系数,将方程化为二次项系数是1的类型 教学过程 一、复习引入我们在上节课,已经学习了用直接开平方法解形如x 2=p (p≥0)或(mx+n )2=p (p≥0)的一元二次方程,以及用配方法解二次项系数是1,一次项系数是偶数的一元二次方程,这节课继续学习配方法解一元二次方程. 二、探究新知 1.填空: ①()22________8+=++x x x②()22________-=+-x x x③()22____4___+=++x x ④()22____49___-=+-x x 2.填空: ①a x x++82是完全平方式,a=②92++mx x是完全平方式,m =3.解下列方程:①x 2-8x+7=0 ②2x 2+8x-2=0 ③2x 2+1=3x ④3x 2-6x+4=0 分析:(1)解方程①,复习用配方法解二次项系数为1的一元二次方程步骤;(2)对比○1的解法得到方程○2的解法,总结出用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤: ①.把常数项移到方程右边;②.方程两边同除以二次项系数,化二次项系数为1; ③.方程两边都加上一次项系数一半的平方; ④.原方程变形为(x+m )2=n 的形式;⑤.如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.(3)运用总结的配方法步骤解方程○3,先观察将其变形,即将一次项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;解方程○4配方后右边是负数,确定原方程无解. (4) 不写出完整的解方程过程,到哪一步就可以确定方程的解得情况? 三、课堂训练1.方程()的形式,正确的是化为b a x x x =+=+-2202344( )A.()4532=-x B.()4532-=-x C.41232=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x D.3232=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x 2.配方法解方程2x 2-43x-2=0应把它先变形为( ). A .(x-13)2=89 B .(x-23)2=0 C .(x-13)2=89 D .(x-13)2=1093.下列方程中,一定有实数解的是( ).A .x 2+1=0B .(2x+1)2=0C .(2x+1)2+3=0D .(12x-a )2=a4.解决课本练习2(2)到(6)5.已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z 的值是( ). A .1 B .2 C .-1 D .-26. a ,b ,c 是ABC ∆的三条边①当bc c ab a 2222+=+时,试判断ABC ∆的形状. ②证明02222<-+-ac c b a四、小结归纳:用配方法解一元二次方程的步骤 1.把原方程化为()002≠=++a c bx ax 的形式, 2.把常数项移到方程右边;3.方程两边同除以二次项系数,化二次项系数为1;4.方程两边都加上一次项系数一半的平方;5.原方程变形为(x+m )2=n 的形式;6.如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.不写出完整的解方程过程,原方程变形为(x+m )2=n 的形式后,若n 为0,原方程有两个相等的实数根;若n 为正数,原方程有两个不相等的实数根;若n 为负数,则原方程无实数根. 五、作业设计必做:P42:3(3)(4) 选做:P43:8、9教学时间: 教学课题:22.2.2公式法 教学课型:新授课 教学目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.掌握公式结构,知道使用公式前先将方程化为一般形式,通过判别式判断根的情况.3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.4.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程,探索求根公式,发展学生合情合理的推理能力,并认识到配方法是理解公式的基础.;5.通过对公式的推导,认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程,操作简单. 教学重点:求根公式的推导,公式的正确使用 教学难点:求根公式的推导 教学过程 一、复习引入我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程,能否用配方法解一般形式的一元二次方程()002≠=++a c bx ax二、探究新知活动1.学生观察下面两个方程思考它们有何异同?①6x 2-7x+1=0 ②()002≠=++a c bx ax 活动2.按配方法一般步骤同时对两个方程求解: 1.移项得到6x 2-7x=-1,c bx ax -=+22.二次项系数化为1得到ac x a b x x x -=+-=-22,6167 3.配方得到 x 2-76x+(712)2=-16+(712)2 x 2+b a x+(2b a )2=-c a+(2ba )24.写成(x+m )2=n 形式得到(x-712)2=25144,(x+2b a)2=2244b ac a - 5.直接开平方得到x-712=±512,注意:(x+2ba)2=2244b ac a -是否可以直接开平方? 活动3.对(x+2b a)2=2244b ac a -观察,分析,在0≠a 时对2244b ac a -的值与0的关系进行讨论活动4.归纳出一元二次方程的根的判别式和求根公式,公式法. 活动5.初步使用公式解方程6x 2-7x+1=0.活动6.总结使用公式法的一般步骤:①把方程整理成一般形式,确定a,b,c 的值,注意符号②求出ac b 42-的值,方程()002≠=++a c bx ax ,当Δ>0时,有两个不等实根;Δ=0时有两个相等实根;Δ<0时无实根.③在ac b 42-≥0的前提下把a ,b ,c 的值带入公式.三、课堂训练1.利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况 (1)2x 2-4x-1=0 (2)5x+2=3x 2 (3)(x-2)(3x-5)=0 (4)4x 2-3x+1=02.课本例2 四、小结归纳1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根2.用求根公式求一元二次方程的根3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程. 五、作业设计 必做:P42:4、5 选做:P43:11、12某电厂规定:该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时,•那么这户居民这个月只交10元电费,如果超过A 千瓦时,那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时100A 元收费.(1)若某户2月份用电90千瓦时,超过规定A 千瓦时,则超过部分电费为多少元?(•用A 表示) (2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况根据上表数据,求电厂规定的A 值为多少?教学时间: 教学课题:22.2.3因式分解法 教学课型:新授课 教学目标1.了解因式分解法的概念.2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解,根据两个因式的积等于0,必有因式为0,从而降次解方程.3.经历探索因式分解法解一元二次方程的过程,发展学生合情合理的推理能力.4.体验解决问题方法的多样性,灵活选择解方程的方法.教学重点:会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解,从而降次解方程 教学难点:将整理成一般形式的方程左边因式分解 教学过程 一、复习引入我们学习了用配方法和公式法解一元二次方程,这节课我们来学习一种新的方法. 二、探究新知 1.因式分解x 2-5x ;; 2x(x-3)-5(x-3); 25y 2-16; x 2+12x+36;4x 2+4x+1 2.若ab=0,则可以得到什么结论? 3.试求下列方程的根 :x(x-5)=0; (x-1)(x+1)=0;(2x-1)(2x+1)=0;(x+1)2 =0; (2x-3)2=0.分析:解左边是两个一次式的积,右边是0的一元二次方程,初步体会因式分解法解方程实现降次的方法特点,只要令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解. 4. 试求下列方程的根①、4x 2-11x =0 x(x-2)+ (x-2)=0 (x-2)2 -(2x-4)=0 ②、25y 2-16=0 (3x+1)2 -(2x-1)2 =0 (2x-1)2 =(2-x)2 ③、x 2+10x+25=0 9x 2-24x+16=0; ④、5x 2-2x-41= x 2-2x+432x 2+12x+18=0; 分析:观察①②③三组方程的结构特点,在方程右边为0的前提下,对左边灵活选用合适的方法因式分解,并体会整体思想.总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:首先使方程右边为0,其次将方程的左边分解成两个一次因式的积,再令两个一次因式分别为0,从而实现降次,得到两个一元一次方程,最后解这两个一元一次方程,它们的解就都能是原方程的解.这种解法叫做因式分解法. ④中的方程结构较复杂,需要先整理.5.选用合适方法解方程x2+x+41=0 x2+x-2=0 (x-2)2 =2-x 2x2-3=0.分析:四个方程最适合的解法依次是:利用完全平方公式,求根公式法,提公因式法,直接开平方法或利用平方差公式.归纳:配方法要先配方,再降次;公式法直接利用求根公式;因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程,因式分解法用于某些一元二次方程. 解一元二次方程的基本思路:化二元为一元,即降次.三、课堂训练1.完成课本练习2.补充练习:①已知(x+y)2 –x-y=0,求x+y的值.②下面一元二次方程解法中,正确的是().A.(x-3)(x-5)=10×2,∴x-3=10,x-5=2,∴x1=13,x2=7B.(2-5x)+(5x-2)2=0,∴(5x-2)(5x-3)=0,∴x1=25,x2=35C.(x+2)2+4x=0,∴x1=2,x2=-2D.x2=x 两边同除以x,得x=1③今年初,湖北武穴市发生禽流感,某养鸡专业户在禽流感后,打算改建养鸡场,建一个面积为150m2的长方形养鸡场.为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长am,另三边用竹篱围成,如果篱笆的长为35m,问鸡场长与宽各为多少?(其中a≥20m)四、小结归纳本节课应掌握:1.用因式分解法解一元二次方程2.归纳一元二次方程三种解法,比较它们的异同,能根据方程特点选择合适的方法解方程五、作业设计必做:P43:6、10选做:P43:13、14教学时间:教学课题:22.2.4一元二次方程的根与系数关系教学课型:新授课教学目标:1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.4.学生经历探索,尝试发现韦达定理,感受不完全归纳验证以及演绎证明教学重点:一元二次方程的根与系数关系教学难点:对根与系数关系的理解和推导教学过程一、复习引入一元二次方程的根与系数有着密切的关系,早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系,你能发现吗?二、探究新知1.课本思考分析:将(x- x1)(x-x2)=0化为一般形式x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0与x2+px+ q=0对比,易知p=-( x1 +x2),q= x1 x2. 即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根,则一次项系数等于两根和的相反数,常数项等于两根之积.2.跟踪练习求下列方程的两根x1、x2. 的和与积.x2+3x+2=0;x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=03. 方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗?分析:这个方程的二次项系数等于2,与上面情形有所不同,求出方程两根,再通过计算两根的和、积,检验上面的结论是否成立,若不成立,新的结论是什么?4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的a不一定是1,它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗?分析:利用求根公式,求出方程两根,再通过计算两根的和、积,得到方程的两个根x1、x2和系数a,b,c的关系,即韦达定理,也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导得到,根与系数的关系由求根公式得到,因此,任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.5.跟踪练习求下列方程的两根x1、x2. 的和与积.①3x2+7x+2=0;3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0;3x2-7x-2=0;②5x-1=4x2;5x2-1=4x2+x6.拓展练习①已知一元二次方程2x 2+bx+c=0的两个根是-1,3,则b= ,c= .②已知关于x 的方程x 2+kx-2=0的一个根是1,则另一个根是 ,k 的值是 .③若关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两个根互为相反数,则p= ; 若两个根互为倒数,则q= . 分析:方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数;方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时,若方程的两根互为相反数或互为倒数,利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项.④两个根均为负数的一元二次方程是( )A.4x 2+21x+5=0B.6x 2-13x-5=0C.7x 2-12x+5=0D.2x 2+15x-8=0⑤.两根异号,且正根的绝对值较大的方程是( )A.4x 2-3=0B.-3x 2+5x-4=0C.0.5x 2-4x-3=0D.2x 2+53x-6=0⑥.若关于x 的一元二次方程2x 2-3x+m=0,当m 时方程有两个正根;当m 时方程有两个负根;当m 时方程有一个正根一个负根,且正根的绝对值较大.三、课堂训练1.完成课本练习2.补充练习:x 1 ,x 2是方程3x 2-2x-4=0的两根,利用根与系数的关系求下列各式的值:①2111x x +; ②221212x x x x + ③2221x x +; ④()221x x -;⑤2112x x x x + 四、小结归纳本节课应掌握:1. 韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系2. 运用韦达定理时,注意隐含条件:二次项系数不为0,△≥0;3.韦达定理的应用常见题型:①不解方程,判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根;②已知方程和方程的一根,求另一个根和字母系数的值;③由给出的两根满足的条件,确定字母系数的值;④判断两个根的符号;○5不解方程求含有方程的两根的式子的值. 五、作业设 计必做:P43:7选做:补充作业:已知一元二次方程x 2+3x+1=0的两个根是βα、,求αββα+的值.教学时间:教学课题:22.3实际问题与一元二次方程(1)教学课型:新授课教学目标:1.使学生会列出一元二次方程解应用题,初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题.2.培养学生的阅读能力.3.通过根据实际问题列方程,向学生渗透知识来源于生活.4.通过观察,思考,交流,进一步提高逻辑思维和分析问题解决问题能力.5.经历观察,归纳列一元二次方程的一般步骤教学重点:建立数学模型,找等量关系,列方程教学难点:找等量关系,列方程教学过程一、复习引入同一元一次方程,二元一次方程(组)等一样,一元二次方程和实际问题,也有紧密的联系,本节课就来讨论如何利用一元二次方程来解决实际问题.二、探究新知●探究课本30页问题1分析:设正方体的棱长是xdm,则一个正方体的表面积是多少?10个呢?等量关系是什么?●探究课本38页问题分析:设物体经过xs落回地面,这时它离地面的高度是多少?●某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税为利息的20%)分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其它依此类推●课本46页探究2分析:设甲种药品的成本年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本是多少?两年后甲种药品成本是多少?相关的等量关系是什么?类似的乙甲种药品成本的年平均下降率是多少?相关的等量关系是什么?方程的解都是该问题的解吗?如果不是,如何选择?为什么?如何回答课本46页思考?归纳:通过解决以上问题,列一元二次方程解实际问题的基本步骤是什么?与以前学过的列方程解实际问题的步骤有何异同?●某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台,第一季度生产电视机的总台数是3.31万台,求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少?分析:设平均增长率是x ,则二月份生产电视机的台数是多少?三月份生产电视机的台数是多少?第一季度生产电视机的总台数还可以怎样表示?等量关系是什么?归纳:以上这几道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程(组)、分式方程等为背景建立数学模型是一样的,而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型.三、课堂训练补充练习:①.一台电视机成本价为a 元,销售价比成本价增加25%,因库存积压,•所以就按销售价的70%出售,那么每台售价为( ).A .(1+25%)(1+70%)a 元B .70%(1+25%)a 元C .(1+25%)(1-70%)a 元D .(1+25%+70%)a 元②.某商场的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏损成本,•售价的折扣(即降低的百分数)不得超过d%,则d 可用p 表示为( ).A .100p p +B .pC .1001000p p -D .100100p p+ ③. 2009年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家,后来二、•三月份新发生禽流感的养鸡场共250家,设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ,依题意列出的方程是( ).A .100(1+x )2=250B .100(1+x )+100(1+x )2=250C .100(1-x )2=250D .100(1+x )2四、小结归纳1.列一元二次方程解应用题的一般步骤2.利用一元二次方程解决实际生活中的百分率问题五、作业设计必做:P48:1、2、3选做:P49:9补充作业:上海甲商场七月份利润为100万元,九月份的利率为121万元,乙商场七月份利率为200万元,九月份的利润为288万元,那么哪个商场利润的年平均上升率较大?教学时间:教学课题:22.3实际问题与一元二次方程(2)教学课型:新授课教学目标:1.能根据○1以流感为问题背景,按一定传播速度逐步传播的问题;○2以封面设计为问题背景,边衬的宽度问题中的数量关系列出一元二次方程,体会方程刻画现实世界的模型作用.2.培养学生的阅读能力与分析能力.3.能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.4.通过自主探究,独立思考与合作交流,使学生弄清实际问题的背景,挖掘隐藏的数量关系,把有关数量关系分析透彻,找出可以作为列方程依据的主要相等关系,正确的建立一元二次方程教学重点:建立数学模型,找等量关系,列方程教学难点;找等量关系,列方程教学过程:一、复习引入通过上节课的学习,谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般步骤及应注意的问题.二、探究新知●课本45页探究1分析:①设每轮传染中平均一个人传染x了个人.这里的一轮指一个传染周期.②第一轮的传染源有几个人?第一轮后有几个人被传染了流感?包括传染源在内,共有几个人患着流感?③第二轮的传染源有几个人?第二轮后有几个人被传染了流感?包括第二轮的传染源在内,共有几个人患着流感?④本题用来列方程的相等关系是什么?列出方程.拓展:课本思考.四轮呢?归纳:本题一流感为问题背景,讨论按一定传播速度逐步传播的问题,,特别需要注意的是,在第二轮传染中,在实际生活中,类似原型很多,比如细胞分裂,信息传播,传染病扩散,害虫繁殖等,一般就考虑两轮传播,这些问题有通性,在解题时有规律可循.●课本47页探究3分析:①正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同,是什么含义?②上下边衬与左右边衬的宽度相等吗?如果不相等,应该有什么关系?③若设正中央的长方形的长和宽分别为9a㎝,7a㎝,尝试表示边衬的长度,并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系?④“应如何设计四周边衬的宽度?”是要求四周边衬的宽度,除了根据上下边衬与左右边衬的宽度比为,设上下边衬宽为与左右边衬宽为.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为9:7,设正中央的长方形的长为。
《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)
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《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)《一元二次方程》优秀教案1教学目标:1、经历抽象一元二次方程概念的过程,进一步体会是刻画现实世界的有效数学模型2、理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
3、能将一元二次方程转化为一般形式,正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
教学重点1、一元二次方程及其它有关的概念。
2、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型。
教学难点1、建立一元二次方程实际问题的数学模型.2、把一元二次方程化为一般形式教学方法:指导自学,自主探究课时:第一课时教学过程:(学生通过导学提纲,了解本节课自己应该掌握的内容)一、自主探索:(学生通过自学,经历思考、讨论、分析的过程,最终形成一元二次方程及其有关概念)1、请认真完成课本P39—40议一议以上的内容;化简上述三个方程.。
2、你发现上述三个方程有什么共同特点?你能把这些特点用一个方程概括出来吗?3、请同学看课本40页,理解记忆一元二次方程的概念及有关概念你觉得理解这个概念要掌握哪几个要点?你还掌握了什么?二、学以致用:(通过练习,加深学生对一元二次方程及其有关概念的理解与把握)1、下列哪些是一元二次方程?哪些不是?①②③④x2+2x-3=1+x2 ⑤ax2+bx+c=02、判断下列方程是不是关于x的一元二次方程,如果是,写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1)3-6x2=0(2)3x(x+2)=4(x-1)+7(3)(2x+3)2=(x+1)(4x-1)3、若关于x的方程(k-3)x2+2x-1=0是一元二次方程,则k的值是多少?4、关于x的方程(k2-1)x2+2(k+1)x+2k+2=0,在什么条件下它是一元二次方程?在什么条件下它是一元一次方程?5、以-2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项,请你写出满足条件的不同的一元二次方程?三、反思:(学生,进一步加深本节课所学内容)这节课你学到了什么?四、自查自省:(通过当堂小测,及时发现问题,及时应对)1、下列方程中是一元二次方程的有()A、1个B、2个 C、3个D、4个(1)(2)(3)(4)(5)(6)2、将方程-5x2+1=6x化为一般形式为____________________.其二次项是_________,系数为_______,一次项系数为______,常数项为______。
《一元二次方程》全章教案
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《一元二次方程》全章教案【3篇】一、教材分析:1、教材所处的地位:此前学生已经学习了应用一元一次方程与二元一次方程组来解决实际问题。
本节仍是进一步争论如何建立和利用一元二次方程模型来解决实际问题,只是在问题中数量关系的简单程度上又有了新的进展。
2、教学目标要求:(1)能依据详细问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型;(2)能依据详细问题的实际意义,检验结果是否合理;(3)经受将实际问题抽象为代数问题的过程,探究问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对之进展描述;(4)通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学学问应用的价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和进展人类理性精神的作用。
3、教学重点和难点:重点:列一元二次方程解与面积有关问题的应用题。
难点:发觉问题中的等量关系。
二.教法、学法分析:1、本节课的设计中除了探究3教师参加多一些外,其余时间都坚持以学生为主体,充分发挥学生的主观能动性。
教学过程中,教师只注意点、引、激、评,注意学生探究力量的培育。
还课堂给学生,让学生去亲身体验学问的产生过程,拓展学生的制造性思维。
同时,留意加强对学生的启发和引导,鼓舞培育学生们大胆猜测,当心求证的科学讨论的思想。
2、本节内容学习的关键所在,是如何寻求、抓准问题中的数量关系,从而精确列出方程来解答。
因此课堂上从审题,找到等量关系,列方程等一系列活动都由生生沟通,兵教兵从而到达进展学生思维力量和自学力量的目的,开掘学生的创新精神。
三.教学流程分析:本节课是新授课,依据学生的学问构造,整个课堂教学流程大致可分为:活动1复习回忆解决课前参加活动2封面设计问题的探究活动3草坪规划问题的延长活动4课堂回眸这一流程表达了学问发生、形成和进展的过程,让学生体会到观看、猜测、归纳、验证的思想和数形结合的思想。
活动1复习回忆解决课前参加由学生展现课前参加题目,集体订正。
目的在于回忆常用几何图形的面积公式,并且引出本节学习内容——面积问题。
《一元二次方程全章复习》教案
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《一元二次方程全章复习》教案教学目标教学目标:对本章内容进行梳理总结并建立知识体系,综合应用本章知识解决问题. 教学重点:对本章内容进行梳理总结,综合应用本章知识解决问题.教学难点:通过对本章内容进行梳理,建立知识体系.教学过程时间教学环节主要师生活动50ʺ梳理知识结构知识结构2ʹ40ʺ1ʹ1. 一元二次方程的概念等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程.一般形式:ax2+bx+c=0 (a≠0)例1 已知关于x的方程(2)310mm x mx-++=是一元二次方程,则m 的值为.解:由题意得20,2.mm-≠⎧⎨=⎩①②由①得m≠2.由②得m=±2.∴m=-2.2. 一元二次方程ax2+bx+c=0的解法基本思路:降次基本方法:直接开平方法配方法{10,0. m-≠>m≠1.△=(-2)2-4(m解得m<2.m≠1.代入原方程,得1)2-2×(-1)+16ʹ15ʺ= k2-2k+1=(k-1)2.∵(k-1)2≥0,∴方程总有两个实数根.(2) 解:2(3)(1)(3)(1).212k k k kx+±-+±-==⨯即x1=k+1,x2=2.∵方程有一个根小于1,∴k+1<1.∴k<0.∴k的取值范围是k<0.小结:①证明一元二次方程根的情况.②已知一元二次方程的根的具体情况时,需要解出方程的根,再根据条件解决问题.4. 一元二次方程的实际应用➢增长(降低) 率问题➢几何图形问题➢销售问题➢传播问题、单(双) 循环比赛问题等一般步骤:审设列解验答例4 随着经济建设的发展,某省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业. 据统计,2019年全省5G基站的数量约3.6万座. 若计划到2020年底,全省5G基站的数量是2019年的53倍;到2022年底,全省5G基站的数量将达到17.34万座.(1) 计划到2020年底,全省5G基站的数量是多少万座?(2) 按照计划,求2020年底至2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率.解:(1) 3.6×53=6 (万座).答: 计划到2020年底,全省5G基站的数量为6万座.(2) 设2020年底至2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率为x.6(1+x)2=17.34.x1=0.7,x2=-2.7(不合题意,舍去).答:2020年底至2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率为70%.1ʹ35ʺ课堂小本章知识结构图知能演练提升一、能力提升1.如图,把一块长为40 cm,宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形,然后把纸板的四边沿虚线折起,并用胶带粘好,即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600 cm2,设剪去小正方形的边长为x cm,则可列方程为()A.(30-2x)(40-x)=600B.(30-x)(40-x)=600C.(30-x)(40-2x)=600D.(30-2x)(40-2x)=6002.如图,某小区规划在一块长为30 m,宽为20 m的长方形空地ABCD上修建三条同样宽的通道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种花草.要使每一块花草地的面积都为78 m2,那么通道的宽应设计成多少米?设通道的宽为x m,由题意列得的方程为.3.若直角三角形的三条边长为三个连续偶数,且面积为24 cm2,则此三角形的三条边长分别为.4.如图,若某幼儿园有一面长为16 m 的墙,计划用32 m长的围栏靠墙围成一个面积为120 m2的矩形草坪ABCD,则该矩形草坪BC边的长为.5.如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么几秒后△PBQ的面积等于8 cm2?★6.在一块长为16 m,宽为12 m的矩形荒地上,要建造一个花园,要求花园面积是荒地面积的一半,下面分别是小华与小芳的设计方案.(1) 同学们都认为小华的方案是正确的,但对小芳的方案是否符合条件有不同意见,你认为小芳的方案符合条件吗?若不符合,请用方程的方法说明理由;(2)你还有其他的设计方案吗?请在图③中画出你所设计的草图,将花园部分涂上阴影,并加以说明.二、创新应用★7.如图,在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上修建同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540 m2,求道路的宽.(参考数据:322=1 024,522=2 704,482=2 304)知能演练·提升一、能力提升1.D2.x2-35x+66=0由题意可知,每一块小矩形花草地的长都是30-2x3 m,宽都是20-x2m.所以可得30-2x3×20-x2=78.化简,得x2-35x+66=0.3.6 cm,8 cm,10 cm4.12 m设BC边的长为x m,根据题意得x·32-x2=120,解得x1=12,x2=20,∵20>16, ∴x2=20不合题意,舍去.故该矩形草坪BC边的长为12 m.5.解设x s后△PBQ的面积等于8 cm2,则12(6-x)·2x=8,解得x1=2,x2=4.经检验,这两个解都符合题意.所以点P,Q分别从点A,B同时出发,2 s或4 s后△PBQ 的面积等于8 cm2.6.解(1)不符合.设小路宽度均为x m,根据题意,得(16-2x)(12-2x)=12×16×12,解这个方程,得x1=2,x2=12.但x2=12不符合题意,应舍去,所以x=2.故小芳的方案不符合条件,小路的宽度应为2 m.(2)答案不唯一.例如:二、创新应用7.解法一由题意转化为图①,设道路宽为x m,根据题意,得(20-x)(32-x)=540,整理得x2-52x+100=0,解得x1=50(不合题意,舍去),x2=2.故道路宽为2 m.解法二由题意转化为图②,设道路宽为x m,根据题意,得20×32-(20+32)x+x2=540,整理得x2-52x+100=0,解得x1=2,x2=50(不合题意,舍去).故道路宽为2 m.。
最新211一元二次方程教案(优秀4篇)
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最新211一元二次方程教案(优秀4篇)(经典版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。
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一元二次方程(教案)
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第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程【知识与技能】1.使学生理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程化成一般式,正确识别二次项系数、一次项系数和常数项.2.会判断一个数是否是一元二次方程的根.【过程与方法】经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.【情感态度】进一步培养学生的观察、类比、归纳能力,体验数学的严密性和深刻性.【教学重点】一元二次方程的概念及其一般表现形式.【教学难点】从实际问题中抽象出一元二次方程的模型;识别方程中的“项”及“系数”.一、知识与回顾什么是一元一次方程?如:4x+3=1什么是二元一次方程?如:3x-2y=5一、情境导入,初步认识①问题1中,要制作一个无盖的方盒,四角都要剪去一个相同的正方形,我们设正方形边长为x cm,则盒底的宽为(50-2x) cm,盒底的长为(100-2x) cm,根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600,你能把它整理为课本上的方程②吗?试说明具体经过哪几步变形得到.先去括号5000-100x-200x+4x2=3600移项合并同类项4x2-300x+1400=0系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0【教学说明】针对上述问题可给予5~8分钟时间让学生讨论,教师可相应设置如下问题帮助学生分析:如果设四角折起的正方形的边长为xm,则制成的无盖方盒的底面长为多少?宽为多少?由底面积为3600cm2,可得到的方程又是怎样的?【讨论结果】设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,由此可得到方程(100-2x)(50-2x)=3600,整理为:4x2-300x+1400=0,化简,得x2-75x+350=0,由此方程可得出所切去的正方形的大小.二、思考探究,获取新知由上述问题,我们可以得到x2-75x+350=0.显然这个方程只含有一个未知数,且x的最高次数为2,这类方程在现实生活中有广泛的应用.观察思考观察前面所构建的三个方程,它们有什么共同点?可让学生先独立思考,然后相互交流,得出这些方程的特征:(1)方程各项都是整式;(2)方程中只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.【归纳结论】1.一元二次方程:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.想一想1.二次项的系数a为什么不能为0?2.在指出二次项系数、一次项系数和常数项时,a、b、c都一定是正数吗?谈谈你的看法.【教学说明】本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程,教学时应让学生进行充分的探索和交流.注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法.三、典例精析,掌握新知.例2将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3x=5x+10,移项、合并同类项,得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10=0.其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.【教学说明】以上两例均可让学生独立思考,自主完成.教师巡视,了解学生的掌握情况,最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考,加深对本节知识的理解和掌握.四、运用新知,深化理解1.下列各式中,是一元二次方程的是()A.3x2+1x=0B.ax2+bx+c=0C.(x-3)(x-2)=x2D.(3x-1)(3x+1)=32.关于x的方程(k-1)x|k|+1-2x=3是一元二次方程,则k= .3.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式,指出其二次项系数、一次项系数及常数项:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x;(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的平方,求较短一段的长x.【教学说明】让学生当堂完成上述练习,达到巩固新知目的.最后全班同学核对答案即可.【答案】1.D 2.-1 3、(1)4x2-25=0,其中二次项系数为4,一次项系数为0,常数项为-25;(2)x2-2x-100=0,其二次项系数、一次项系数和常数项分别为1,-2,-100;(3)x2-3x+1=0,其二次项系数、一次项系数和常数项分别为1,-3,1.五、师生互动,课堂小结教师提出以下问题,让学生交流,加强反思、提炼及知识归纳.(1)一元二次方程的定义,一般式及二次项系数、一次项系数和常数项;(2)一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)中的括号是否可有可无?为什么?(3)通过这节课的学习你还有哪些收获?【教学说明】师生共同回顾,注重学生的交流发言..布置作业:从教材“习题21.1”中1、3题1.注重知识的前后联系,在温故而知新的过程中孕育新知,按照由特殊到一般的规律,降低学生理解的难度.2.教师创设情境,给出实例,学生积极主动探索,教师引导与启发、点拨与设疑相结合,师生互动,体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.3.增设例题难度,让学生产生困惑,避免今后犯类似错误,增加课堂练习,巩固知识.4.对于一元二次方程的根的概念形成过程,要让学生大胆猜测,经过思考、讨论、分析的过程,让学生在交流中体会成功.。
一元二次方程教案 一元二次方程数学教学教案8篇
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一元二次方程教案一元二次方程数学教学教案8篇元二次方程教案篇一一、素质教育目标(一)知识教学点:1.使学生了解一元二次方程及整式方程的意义;2.掌握一元二次方程的一般形式,正确识别二次项系数、一次项系数及常数项.(二)能力训练点:1.通过一元二次方程的引入,培养学生分析问题和解决问题的能力;2.通过一元二次方程概念的学习,培养学生对概念理解的完整性和深刻性.(三)德育渗透点:由知识来源于实际,树立转化的思想,由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法,由此培养学生用数学的意识.二、教学重点、难点1.教学重点:一元二次方程的意义及一般形式.2.教学难点:正确识别一般式中的“项”及“系数”.三、教学步骤(一)明确目标1.用电脑演示下面的操作:一块长方形的薄钢片,在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形,然后把四边折起来,就成为一个无盖的长方体盒子,演示完毕,让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀,实际操作一下刚才演示的过程.学生的实际操作,为解决下面的问题奠定基础,同时培养学生手、脑、眼并用的能力.2.现有一块长80cm,宽60cm的薄钢片,在每个角上截去四个相同的小正方形,然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子,那么应该怎样求出截去的小正方形的边长?教师启发学生设未知数、列方程,经整理得到方程x2-70x+825=0,此方程不会解,说明所学知识不够用,需要学习新的知识,学了本章的知识,就可以解这个方程,从而解决上述问题.板书:“第十二章一元二次方程”.教师恰当的语言,激发学生的求知欲和学习兴趣.(二)整体感知通过章前引例和节前引例,使学生真正认识到知识来源于实际,并且又为实际服务,学习了一元二次方程的知识,可以解决许多实际问题,真正体会学习数学的意义;产生用数学的意识,调动学生积极主动参与数学活动中.同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位.(三)重点、难点的学习及目标完成过程1.复习提问(1)什么叫做方程?曾学过哪些方程?(2)什么叫做一元一次方程?九年级数学《一元二次方程》教案篇二教学目标知识与技能目标1、构建本章的部分知识框图。
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第二十二章一元二次方程单元要点分析教材内容1.本单元教学的主要内容.一元二次方程概念;解一元二次方程的方法;一元二次方程应用题.2.本单元在教材中的地位与作用.一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的,它也是一种数学建模的方法.学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的,是学好高中数学的奠基工程.应该说,一元二次方程是本书的重点内容.教学目标1.知识与技能了解一元二次方程及有关概念;掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程;掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法;应用熟练掌握以上知识解决问题.2.过程与方法(1)通过丰富的实例,让学生合作探讨,老师点评分析,建立数学模型.•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念.(2)结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念,如二次项等.(3)通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法,•导入用配方法解一元二次方程,又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程.(4)通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0(a≠0)导出解一元二次方程的求根公式,接着讨论求根公式的条件:b2-4ac>0,b2-4ac=0,b2-4ac<0.(5)通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移,解决用因式分解法解一元二次方程,并用练习巩固它.(6)提出问题、分析问题,建立一元二次方程的数学模型,•并用该模型解决实际问题.3.情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型;经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想;经历设置丰富的问题情景,使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程,从而更好地理解方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣.教学重点1.一元二次方程及其它有关的概念.2.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程.3.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.教学难点1.一元二次方程配方法解题.2.用公式法解一元二次方程时的讨论.3.建立一元二次方程实际问题的数学模型;方程解与实际问题解的区别.教学关键1.分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型.2.用配方法解一元二次方程的步骤.3.解一元二次方程公式法的推导.课时划分本单元教学时间约需16课时,具体分配如下:22.1 一元二次方程2课时22.2 降次──解一元二次方程7课时22.3 实际问题与一元二次方程4课时教学活动、习题课、小结3课时22.1 一元二次方程第一课时教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念.教学目标了解一元二次方程的概念;一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念;应用一元二次方程概念解决一些简单题目.1.通过设置问题,建立数学模型,模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义.2.一元二次方程的一般形式及其有关概念.3.解决一些概念性的题目.4.态度、情感、价值观5.通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.重难点关键1.重点:一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题.2.难点关键:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.教学过程一、复习引入学生活动:列方程.问题(1)《九章算术》“勾股”章有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈,问户高、广各几何?”大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少?如果假设门的高为x尺,那么,这个门的宽为_______尺,根据题意,得________.整理、化简,得:__________.问题(2)如图,如果AC CBAB AC,那么点C叫做线段AB的黄金分割点.如果假设AB=1,AC=x,那么BC=________,根据题意,得:________.整理得:_________.问题(3)有一面积为54m2的长方形,将它的一边剪短5m,另一边剪短2m,恰好变成一个正方形,那么这个正方形的边长是多少?如果假设剪后的正方形边长为x,那么原来长方形长是________,宽是_____,根据题意,得:_______.整理,得:________.老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型,并整理.二、探索新知学生活动:请口答下面问题.(1)上面三个方程整理后含有几个未知数?(2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几次?(3)有等号吗?或与以前多项式一样只有式子?老师点评:(1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次数都是2次的;(3)都有等号,是方程.因此,像这样的方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.一般地,任何一个关于x的一元二次方程,•经过整理,•都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.例1.将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.分析:一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).因此,方程(8-2x)•(•5-2x)=18必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项等.解:去括号,得:40-16x-10x+4x2=18移项,得:4x2-26x+22=0其中二次项系数为4,一次项系数为-26,常数项为22.例2.(学生活动:请二至三位同学上台演练)将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项.分析:通过完全平方公式和平方差公式把(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.解:去括号,得:x2+2x+1+x2-4=1移项,合并得:2x2+2x-4=0其中:二次项2x2,二次项系数2;一次项2x,一次项系数2;常数项-4.三、巩固练习教材P32练习1、2四、应用拓展例3.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.分析:要证明不论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可.证明:m2-8m+17=(m-4)2+1∵(m-4)2≥0∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0∴不论m取何值,该方程都是一元二次方程.五、归纳小结(学生总结,老师点评)本节课要掌握:(1)一元二次方程的概念;(2)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)•和二次项、二次项系数,一次项、一次项系数,常数项的概念及其它们的运用.六、布置作业1.教材P34习题22.1 1、2.2.选用作业设计.作业设计一、选择题1.在下列方程中,一元二次方程的个数是().①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③(x-2)(x+5)=x2-1 ④3x2-5x=0A.1个B.2个C.3个D.4个2.方程2x2=3(x-6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为().A.2,3,-6 B.2,-3,18 C.2,-3,6 D.2,3,63.px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程,则().A.p=1 B.p>0 C.p≠0 D.p为任意实数二、填空题1.方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________,一次项系数为_________,常数项为_________.2.一元二次方程的一般形式是__________.3.关于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程,则a的取值范围是________.三、综合提高题1.a满足什么条件时,关于x的方程a(x2+x)x-(x+1)是一元二次方程?2.关于x 的方程(2m 2+m )x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗?为什么?3.一块矩形铁片,面积为1m 2,长比宽多3m ,求铁片的长,小明在做这道题时,•是这样做的:设铁片的长为x ,列出的方程为x (x-3)=1,整理得:x 2-3x-1=0.小明列出方程后,想知道铁片的长到底是多少,下面是他的探索过程:第一步:所以,________<x<__________第二步:所以, (1)请你帮小明填完空格,完成他未完成的部分;(2)通过以上探索,估计出矩形铁片的整数部分为_______,十分位为______.答案:一、1.A 2.B 3.C 二、1.3,-2,-42.ax+bx+c=0(a ≠0) 3.a ≠1三、1.化为:ax 2+()x+1=0,所以,当a ≠0时是一元二次方程. 2.可能,因为当21220m m m +=⎧⎨+≠⎩,∴当m=1时,该方程是一元二次方程.3.(1)-1,3,3,4,-0.01,0.36,3.3,3.4 (2)3,322.1 一元二次方程第二课时教学内容1.一元二次方程根的概念;2.根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目.教学目标了解一元二次方程根的概念,会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题.提出问题,根据问题列出方程,化为一元二次方程的一般形式,列式求解;由解给出根的概念;再由根的概念判定一个数是否是根.同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题.重难点关键1.重点:判定一个数是否是方程的根;2.难点关键:由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.教学过程一、复习引入学生活动:请同学独立完成下列问题.问题1.如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,那么梯子的底端距墙多少米?108设梯子底端距墙为xm,那么,根据题意,可得方程为___________.整理,得_________.列表:问题2.一个面积为120m2的矩形苗圃,它的长比宽多2m,•苗圃的长和宽各是多少?设苗圃的宽为xm,则长为_______m.根据题意,得________.整理,得________.列表:老师点评(略)二、探索新知提问:(1)问题1中一元二次方程的解是多少?问题2中一元二次方程的解是多少?(2)如果抛开实际问题,问题1中还有其它解吗?问题2呢?老师点评:(1)问题1中x=6是x2-36=0的解,问题2中,x=10是x2+2x-120=0的解.(3)如果抛开实际问题,问题(1)中还有x=-6的解;问题2中还有x=-12的解.为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别,我们称:一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.回过头来看:x2-36=0有两个根,一个是6,另一个是-6,但-6不满足题意;同理,问题2中的x=-12的根也满足题意.因此,由实际问题列出方程并解得的根,并不一定是实际问题的根,还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.例1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.分析:要判定一个数是否是方程的根,只要把其代入等式,使等式两边相等即可.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足方程的等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.例2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?(1)x2-64=0 (2)3x2-6=0 (3)x2-3x=0分析:要求出方程的根,就是要求出满足等式的数,可用直接观察结合平方根的意义.解:(1)移项得x2=64根据平方根的意义,得:x=±8即x1=8,x2=-8(2)移项、整理,得x2=2根据平方根的意义,得x=即x1,x2(3)因为x2-3x=x(x-3)所以x2-3x=0,就是x(x-3)=0所以x=0或x-3=0即x1=0,x2=3三、巩固练习教材P33思考题练习1、2.四、应用拓展例3.要剪一块面积为150cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5cm,•这块铁片应该怎样剪?设长为xcm,则宽为(x-5)cm列方程x(x-5)=150,即x2-5x-150=0请根据列方程回答以下问题:(1)x可能小于5吗?可能等于10吗?说说你的理由.(2)完成下表:(3)你知道铁片的长x是多少吗?分析:x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同,不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根,•但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根.解:(1)x不可能小于5.理由:如果x<5,则宽(x-5)<0,不合题意.x不可能等于10.理由:如果x=10,则面积x2-5x-150=-100,也不可能.(2)(3)铁片长五、归纳小结(学生归纳,老师点评)本节课应掌握:(1)一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处;(2)要会判断一个数是否是一元二次方程的根;(3)要会用一些方法求一元二次方程的根.六、布置作业1.教材P34复习巩固3、4 综合运用5、6、7 拓广探索8、9.2.选用课时作业设计.作业设计一、选择题1.方程x(x-1)=2的两根为().A.x1=0,x2=1 B.x1=0,x2=-1 C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=2 2.方程ax(x-b)+(b-x)=0的根是().A.x1=b,x2=a B.x1=b,x2=1aC.x1=a,x2=1aD.x1=a2,x2=b23.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根(b≠0)().A.1 B.-1 C.0 D.2二、填空题1.如果x2-81=0,那么x2-81=0的两个根分别是x1=________,x2=__________.2.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为________.3.方程(x+1)2(x+1)=0,那么方程的根x1=______;x2=________.三、综合提高题1.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根,求(a-b)2+4ab的值.2.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数,求证:-1必是该方程的一个根.3.在一次数学课外活动中,小明给全班同学演示了一个有趣的变形,即在(21xx-)2-2x21xx-+1=0,令21xx-=y,则有y2-2y+1=0,根据上述变形数学思想(换元法),解决小明给出的问题:在(x2-1)2+(x2-1)=0中,求出(x2-1)2+(x2-1)=0的根.答案:一、1.D 2.B 3.A二、1.9,-9 2.-13 3.-1,三、1.由已知,得a+b=-3,原式=(a+b)2=(-3)2=9.2.a+c=b,a-b+c=0,把x=-1代入得ax2+bx+c=a×(-1)2+b×(-1)+c=a-b+c=0,∴-1必是该方程的一根.3.设y=x2-1,则y2+y=0,y1=0,y2=-1,即当x2-1=0,x1=1,x2=-1;当y2=-1时,x2-1=-1,x2=0,x3=x4=0,∴x1=1,x2=-1,x3=x4=0是原方程的根.22.2.1 直接开平方法教学内容运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程. 教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a (ex+f )2+c=0型的一元二次方程. 重难点关键1.重点:运用开平方法解形如(x+m )2=n (n ≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.2.难点与关键:通过根据平方根的意义解形如x 2=n ,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m )2=n (n ≥0)的方程. 教学过程一、复习引入学生活动:请同学们完成下列各题 问题1.填空1)x 2-8x+______=(x-______)2;2)9x 2+12x+_____=(3x+_____)2;3)x 2+px+_____=(x+______)2.问题2.如图,在△ABC 中,∠B=90°,点P 从点B 开始,沿AB 边向点B 以1cm/s•的速度移动,点Q 从点B 开始,沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动,如果AB=6cm ,BC=12cm ,•P 、Q 都从B 点同时出发,几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2?BCAQ P老师点评:问题1:根据完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)(2p )2 2p . 问题2:设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 则PB=x ,BQ=2x 依题意,得:12x ·2x=8 x 2=8 根据平方根的意义,得x=±即x 1,x 2可以验证,和-2都是方程12x ·2x=8的两根,但是移动时间不能是负值. 所以PBQ 的面积等于8cm 2. 二、探索新知上面我们已经讲了x 2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=±,如果x 换元为2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x ,那么2t+1=±即 方程的两根为t 1-12,t 2-12例1:解方程:x 2+4x+4=1分析:很清楚,x 2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1. 解:由已知,得:(x+2)2=1 直接开平方,得:x+2=±1 即x+2=1,x+2=-1 所以,方程的两根x 1=-1,x 2=-3例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ,求每年人均住房面积增长率. 分析:设每年人均住房面积增长率为x .一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10(1+x );二年后人均住房面积就应该是10(1+x )+10(1+x )x=10(1+x )2 解:设每年人均住房面积增长率为x , 则:10(1+x )2=14.4 (1+x )2=1.44直接开平方,得1+x=±1.2 即1+x=1.2,1+x=-1.2所以,方程的两根是x 1=0.2=20%,x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x 2=-2.2应舍去. 所以,每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么? 共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.三、巩固练习 教材P 36 练习. 四、应用拓展例3.某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ,•那么二月份的营业额就应该是(1+x ),三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x )2. 解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x . 那么1+(1+x )+(1+x )2=3.31 把(1+x )当成一个数,配方得:(1+x+12)2=2.56,即(x+32)2=2.56 x+32=±1.6,即x+32=1.6,x+32=-1.6方程的根为x 1=10%,x 2=-3.1因为增长率为正数,所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%. 五、归纳小结 本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x 2=p (p ≥0),那么x=mx+n )2=p(p ≥0),那么mx+n=六、布置作业1.教材P 45 复习巩固1、2. 2.选用作业设计:作业设计: 一、选择题1.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分别是().A.p=4,q=2 B.p=4,q=-2 C.p=-4,q=2 D.p=-4,q=-2 2.方程3x2+9=0的根为().A.3 B.-3 C.±3 D.无实数根3.用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是().A.(x-13)2=89,x=13±3;B.(x-13)2=-89,原方程无解C.(x-23)2=59,x1=23x2;D.(x-23)2=1,x1=53,x2=-13二、填空题1.若8x2-16=0,则x的值是_________.2.如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是________.3.如果a、b2-12b+36=0,那么ab的值是_______.三、综合提高题1.解关于x的方程(x+m)2=n.2.某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长40m.(1)鸡场的面积能达到180m2吗?能达到200m吗?(2)鸡场的面积能达到210m2吗?3.在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,并说明你制作的理由吗?答案:一、1.B 2.D 3.B二、12.9或-3 3.-8三、1.当n≥0时,x+m=,x1-m,x2-m.当n<0时,无解2.(1)都能达到.设宽为x,则长为40-2x,依题意,得:x(40-2x)=180整理,得:•x2-20x+90=0,x1x2同理x(40-2x)=200,x1=x2=10,长为40-20=20.(2)不能达到.同理x(40-2x)=210,x2-20x+105=0,b2-4ac=400-410=-10<0,无解,即不能达到.3.因要制矩形方框,面积尽可能大,所以,应是正方形,即每边长为1米的正方形.22.2.2 配方法第1课时教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程.教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.通过复习可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法,•引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤.重难点关键1.重点:讲清“直接降次有困难,如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.2.难点与关键:不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.教学过程一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程(1)3x2-1=5 (2)4(x-1)2-9=0 (3)4x2+16x+16=9老师点评:上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=mx+n=p≥0).如:4x2+16x+16=(2x+4)2二、探索新知列出下面二个问题的方程并回答:(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?(2)能否直接用上面三个方程的解法呢?问题1:印度古算中有这样一首诗:“一群猴子分两队,高高兴兴在游戏,•八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮,告我总数共多少,两队猴子在一起”.大意是说:一群猴子分成两队,一队猴子数是猴子总数的18的平方,另一队猴子数是12,那么猴子总数是多少?你能解决这个问题吗?问题2:如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上,•修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为5000m2,道路的宽为多少?老师点评:问题1:设总共有x只猴子,根据题意,得:x=(18x)2+12 整理得:x2-64x+768=0问题2:设道路的宽为x,则可列方程:(20-x)(32-2x)=500整理,得:x2-36x+70=0(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有.(2)不能.既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程,下面,我们就来讲如何转化:x2-64x+768=0 移项→x=2-64x=-768两边加(642)2使左边配成x 2+2bx+b 2的形式 → x 2-64x+322=-768+1024 左边写成平方形式 → (x-32)2=256 降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16解一次方程→x 1=48,x 2=16可以验证:x 1=48,x 2=16都是方程的根,所以共有16只或48只猴子.学生活动:例1.按以上的方程完成x 2-36x+70=0的解题.老师点评:x 2-36x=-70,x 2-36x+182=-70+324,(x-18)2=254,x-18=或,x 1≈34,x 2≈2. 可以验证x 1≈34,x 2≈2都是原方程的根,但x ≈34不合题意,所以道路的宽应为2. 例2.解下列关于x 的方程(1)x 2+2x-35=0 (2)2x 2-4x-1=0分析:(1)显然方程的左边不是一个完全平方式,因此,要按前面的方法化为完全平方式;(2)同上. 解:(1)x 2-2x=35 x 2-2x+12=35+1 (x-1)2=36 x-1=±6x-1=6,x-1=-6 x 1=7,x 2=-5 可以,验证x 1=7,x 2=-5都是x 2+2x-35=0的两根.(2)x 2-2x-12=0 x 2-2x=12x 2-2x+12=12+1 (x-1)2=32 x-1=x-1=x 1=1+2x 2=1-2 可以验证:x 1=1+2x 2=1-2三、巩固练习教材P 38 讨论改为课堂练习,并说明理由.教材P 39 练习1 2.(1)、(2).四、应用拓展例3.如图,在Rt △ACB 中,∠C=90°,AC=8m ,CB=6m ,点P 、Q 同时由A ,B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动,它们的速度都是1m/s ,•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半.B C AQ P分析:设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半,△PCQ 也是直角三角形.根据已知列出等式.解:设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半.根据题意,得:12(8-x )(6-x )=12×12×8×6 整理,得:x 2-14x+24=0 (x-7)2=25即x 1=12,x 2=2x 1=12,x 2=2都是原方程的根,但x 1=12不合题意,舍去.所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半.五、归纳小结本节课应掌握:左边不含有x 的完全平方形式,•左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程的方程.六、布置作业1.教材P45复习巩固2.2.选用作业设计.一、选择题1.将二次三项式x2-4x+1配方后得().A.(x-2)2+3 B.(x-2)2-3 C.(x+2)2+3 D.(x+2)2-32.已知x2-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是().A.x2-8x+(-4)2=31 B.x2-8x+(-4)2=1C.x2+8x+42=1 D.x2-4x+4=-113.如果mx2+2(3-2m)x+3m-2=0(m≠0)的左边是一个关于x的完全平方式,则m等于().A.1 B.-1 C.1或9 D.-1或9二、填空题1.方程x2+4x-5=0的解是________.2.代数式2221x xx---的值为0,则x的值为________.3.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值,若设x+y=z,则原方程可变为_______,•所以求出z的值即为x+y的值,所以x+y的值为______.三、综合提高题1.已知三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2-4x+3=0的解,求这个三角形的周长.2.如果x2-4x+y2,求(xy)z的值.3.新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元,市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降50元时,平均每天就能多售出4台,商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元,每台冰箱的定价应为多少元?答案:一、1.B 2.B 3.C二、1.x1=1,x2=-5 2.2 3.z2+2z-8=0,2,-4三、1.(x-3)(x-1)=0,x1=3,x2=1,∴三角形周长为9(∵x2=1,∴不能构成三角形)2.(x-2)2+(y+3)2,∴x=2,y=-3,z=-2,(xy)z=(-6)-2=1 363.设每台定价为x,则:(x-2500)(8+290050x-×4)=5000,x2-5500x+7506250=0,解得x=275022.2.2 配方法第2课时教学内容给出配方法的概念,然后运用配方法解一元二次方程.教学目标了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.通过复习上一节课的解题方法,给出配方法的概念,然后运用配方法解决一些具体题目.重难点关键1.重点:讲清配方法的解题步骤.2.难点与关键:把常数项移到方程右边后,两边加上的常数是一次项系数一半的平方.教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入(学生活动)解下列方程:(1)x2-8x+7=0 (2)x2+4x+1=0老师点评:我们前一节课,已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式,•右边是非负数,不可以直接开方降次解方程的转化问题,那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.解:(1)x2-8x+(-4)2+7-(-4)2=0 (x-4)2=9 x-4=±3即x1=7,x2=1(2)x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22(x+2)2=3即x+2=x1,x2-2二、探索新知像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.例1.解下列方程(1)x2+6x+5=0 (2)2x2+6x-2=0 (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0分析:我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方.解:(1)移项,得:x2+6x=-5配方:x2+6x+32=-5+32(x+3)2=4 由此可得:x+3=±2,即x1=-1,x2=-5 (2)移项,得:2x2+6x=-2二次项系数化为1,得:x2+3x=-1配方x2+3x+(32)2=-1+(32)2(x+32)2=54由此可得x+32=±2x1=2-32,x2=-2-32(3)去括号,整理得:x2+4x-1=0移项,得x2+4x=1 配方,得(x+2)2=5 x+2=x1-2,x2三、巩固练习教材P39练习2.(3)、(4)、(5)、(6).四、应用拓展例2.用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6分析:因为如果展开(6x+7)2,那么方程就变得很复杂,如果把(6x+7)看为一个数y,那么(6x+7)2=y2,其它的3x+4=12(6x+7)+12,x+1=16(6x+7)-16,因此,方程就转化为y的方程,像这样的转化,我们把它称为换元法.解:设6x+7=y则3x+4=12y+12,x+1=16y-16 依题意,得:y 2(12y+12)(16y-16)=6 去分母,得:y 2(y+1)(y-1)=72 y 2(y 2-1)=72, y 4-y 2=72(y 2-12)2=2894y 2-12=±172 y 2=9或y 2=-8(舍) ∴y=±3 当y=3时,6x+7=3 6x=-4 x=-23 当y=-3时,6x+7=-3 6x=-10 x=-53所以,原方程的根为x 1=-23,x 2=-53 五、归纳小结本节课应掌握: 配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.六、布置作业 1.教材P 45 复习巩固3.2.作业设计一、选择题(1.D 2.B 3.B )1.配方法解方程2x 2-43x-2=0应把它先变形为( ). A .(x-13)2=89 B .(x-23)2=0 C .(x-13)2=89 D .(x-13)2=109 2.下列方程中,一定有实数解的是( ).A .x 2+1=0B .(2x+1)2=0C .(2x+1)2+3=0D .(12x-a )2=a 3.已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z 的值是( ).A .1B .2C .-1D .-2二、填空题(1.1,-5 2.正 3.x-y=54) 1.如果x 2+4x-5=0,则x=_______.2.无论x 、y 取任何实数,多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是_______数.3.如果16(x-y )2+40(x-y )+25=0,那么x 与y 的关系是________.三、综合提高题1.用配方法解方程.(1)9y 2-18y-4=0(y 1+1,y 2) (2)x 2x (x 1=x 2 2.已知:x 2+4x+y 2-6y+13=0,求222x y x y -+的值.((x+2)2+(y-3)2=0,x 1=-2,y 2=3,∴原式=2681313--=-) 3.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价一元,商场平均每天可多售出2件.①若商场平均每天赢利1200元,每件衬衫应降价多少元?②每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多?请你设计销售方案.答案:3.(1)设每件衬衫应降价x 元,则(40-x )(20+2x )=1200,x 2-30x+200=0,x 1=10,x 2=20(2)设每件衬衫降价x 元时,商场平均每天赢利最多为y ,则y=-2x 2+60x+800=-2(x 2-30x )+800=-2[(x-15)2-225]+800=-2(x-15)2+1250∵-2(x-15)2≤0,∴x=15时,赢利最多,y=1250元.22.2.3 公式法教学内容1.一元二次方程求根公式的推导过程;2.公式法的概念;3.利用公式法解一元二次方程.教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a≠0)•的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程.重难点关键1.重点:求根公式的推导和公式法的应用.2.难点与关键:一元二次方程求根公式法的推导.教学过程一、复习引入(学生活动)用配方法解下列方程(1)6x2-7x+1=0 (2)4x2-3x=52(老师点评)(1)移项,得:6x2-7x=-1二次项系数化为1,得:x2-76x=-16配方,得:x2-76x+(712)2=-16+(712)2(x-712)2=25144x-712=±512x1=512+712=7512+=1 x2=-512+712=7512-=16(2)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评).(1)移项;(2)化二次项系数为1;(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;(4)原方程变形为(x+m)2=n的形式;(5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0)且b2-4ac≥0,试推导它的两个根x1,x2分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.解:移项,得:ax2+bx=-c 二次项系数化为1,得x2+bax=-ca配方,得:x2+bax+(2ba)2=-ca+(2ba)2即(x+2ba)2=2244b aca-∵b2-4ac≥0且4a2>0 ∴2244b aca-≥0。