第1章 场论基础
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ax ay az ,ay az ax ,az ax ay(1.11)
矢量A和B的直角分量及其代数运算 A ax Ax ay Ay az Aza B axBx ayBy az Bzb
A B ax ( Ax Bx ) ay ( Ay By ) az ( Az Bz3
A B A B AzBz21
A B a A a A az Az a B a B azBz
a ( A Bz Az B ) a ( Az B A Bz ) az ( A B A B
a a az
A
A
Az
22
B
B
Bz
点P的位置矢量
r a az z23
圆柱、直角坐标系间的变换关系
x cos, y sin, z z24a x2 y2 , arctan y , z z24b
x 3．球坐标系
图1.8表示球坐标系，其单位矢量 ar 、a 和 a 指向r、 和 增加的方向，且满足右旋关系
ara a ,a a ar ,a ar a 25
矢量A和B的球坐标分量及其代数运算
1.1 场的概念及其表示法 1.1.1 场的分类 场是表征空间区域中各点物理量的时空分布函数
标量场——空间各点仅有确定大小的物理量 （如温度场、密度场、气压场和电位场）
矢量场——空间各点同时有大小和方向的物理量 （如速度场、加速度场、重力场、电场和磁场）
静态场——仅由空间位置确定，不随时间变化的场 （如静电场和静磁场）
图1.1 点p处的矢量
1．矢量加、减法 图1.2表示矢量A和B按平行四边行法则合成矢量C=A+B。
图1.2 矢量加法
矢量加法服从交换律和结合律 AB= B A (A B) + C = A (B C)
图1.3表示借助于矢量加法可以实现矢量减法 A (B) = A B
(1.2) (1.3)
ara a ArA A 29
BrB B
点P的位置矢量
r arr(1.30)
a x a y a z AxAyAz 5
Bx By Bz
点P的位置矢量及其微分
r ax x ay y az z(1.16) d r ax d x ay d y az d z(1.17)
2、圆柱坐标系 图1.7表示圆柱坐标系，其单位矢量 a 、a 和az 指 向 、 和z增加的方向，且满足右旋关系
(1.4)
图1.3 矢量减法
2．矢量乘法
图1.4表示矢量A和B的点积（或标积）为两个矢量相互
投影之值
A B = ABcos
(1.5)
图1.4 矢量点积
取值范围为 0 。
矢量点积服从交换律和分配律
A B= B A
(1.6)
A (B + C) = A B A C
(1.7)
图1.5表示矢量A和B的叉积（或矢积）为一个按右旋法
第一章 场论基础
矢量分析主要包含矢量代数、正交坐标系和矢量微积 分，场的理论是通过矢量分析来表述的，所以矢量分析与 场论密不可分。
本章首先介绍场的数学概念和表示方法，进而对场的 场域性质和场点性质及其描述方法做了对比讨论，着重讨 论了标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的物理概念及其 运算规律，在此基础上介绍总结矢量场性质的亥姆霍兹定 理。
电磁场与电磁波基础 教程（符果行编著）
电子工业出版社
版本说明
由于电子教案必须在教材定稿后制作，为满足 教学急需，暂时只能先提供过渡版供教师试用， 近期将更换为正式版。教案的编辑功能、文字与 公式字体大小的统一规范及整体美化，在正式版 中将得到完善。
电子教案使用建议
1、在整个教学过程中，始终把握突出物理概念，强调 理论推导和计算方法的分析思路；
a a aza az a az a a8
矢量A和B的圆柱坐标分量及其代数运算
A a A a A az Aza B a B a B az Bzb A B a ( A B ) a ( A B ) az ( Az Bz20
A B a A a A az Az a B a B azBz
则确定的矢量
A B = an ABsin
(1.8)
矢量叉积只服从分配律
A B = B A A (B + C) = A B AC
(1.9) (Fra Baidu bibliotek.10)
1.1.3 常用正交坐标系 引入坐标系可以将矢量运算中的矢量按坐标投影形式分 解为标量，可简化分析与计算。 1．直角坐标系 图1.6表示直角坐标系， 其单位矢量 ax 、a y 和 az 指向x、y和z增加的方向，且 满足右旋关系
AB ax Ax ay Ay az Az axBx ayBy az Bz
AxBx AyBy AzBz4
A B ax Ax ay Ay az Az axBx ayBy az Bz
ax ( Ay Bz Az By ) ay ( Az Bx AxBz ) az ( AxBy Ay Bx
2、在教案中提出的“问题”，教师可按教材内容引导 学生进行探讨；
3、电磁场与电磁波的工程应用十分广泛，对教材中应 用部分提供的阅读材料，可根据教学和专业需要，要求学 生自学，教师选讲或补充新的内容。
目录
1 . 1 场的概念及其表示法 1 . 2 场的性质和描述 1 . 3 梯度、散度和旋度的比较 1 . 4 常用恒等式和公式 1 . 5 亥姆霍兹定理
A = ar Ar a A a A26a B = ar Br a B a B26b
A
B
ar ( Ar
B r
)
a ( A
B )
a ( A
B 27
AgB ArBr A B A B28
A B ar ( A B A B ) a ( A Br Ar B ) a ( Ar B A Br
时变场（动态场）——同时随空间位置和时间变化 的场（如时变电磁场）
（如速度场、加速度场、重力场、电场和磁场）
1.1.2 矢量场的基本运算
图1.1中用箭头指示方向的线段表示矢量A，线段长度
表示矢量A的模A，箭头指向表示A的方向。一个模为1的
矢量称为单位矢量 a A 。
A
aA A，aA
A A
(1.1)
矢量A和B的直角分量及其代数运算 A ax Ax ay Ay az Aza B axBx ayBy az Bzb
A B ax ( Ax Bx ) ay ( Ay By ) az ( Az Bz3
A B A B AzBz21
A B a A a A az Az a B a B azBz
a ( A Bz Az B ) a ( Az B A Bz ) az ( A B A B
a a az
A
A
Az
22
B
B
Bz
点P的位置矢量
r a az z23
圆柱、直角坐标系间的变换关系
x cos, y sin, z z24a x2 y2 , arctan y , z z24b
x 3．球坐标系
图1.8表示球坐标系，其单位矢量 ar 、a 和 a 指向r、 和 增加的方向，且满足右旋关系
ara a ,a a ar ,a ar a 25
矢量A和B的球坐标分量及其代数运算
1.1 场的概念及其表示法 1.1.1 场的分类 场是表征空间区域中各点物理量的时空分布函数
标量场——空间各点仅有确定大小的物理量 （如温度场、密度场、气压场和电位场）
矢量场——空间各点同时有大小和方向的物理量 （如速度场、加速度场、重力场、电场和磁场）
静态场——仅由空间位置确定，不随时间变化的场 （如静电场和静磁场）
图1.1 点p处的矢量
1．矢量加、减法 图1.2表示矢量A和B按平行四边行法则合成矢量C=A+B。
图1.2 矢量加法
矢量加法服从交换律和结合律 AB= B A (A B) + C = A (B C)
图1.3表示借助于矢量加法可以实现矢量减法 A (B) = A B
(1.2) (1.3)
ara a ArA A 29
BrB B
点P的位置矢量
r arr(1.30)
a x a y a z AxAyAz 5
Bx By Bz
点P的位置矢量及其微分
r ax x ay y az z(1.16) d r ax d x ay d y az d z(1.17)
2、圆柱坐标系 图1.7表示圆柱坐标系，其单位矢量 a 、a 和az 指 向 、 和z增加的方向，且满足右旋关系
(1.4)
图1.3 矢量减法
2．矢量乘法
图1.4表示矢量A和B的点积（或标积）为两个矢量相互
投影之值
A B = ABcos
(1.5)
图1.4 矢量点积
取值范围为 0 。
矢量点积服从交换律和分配律
A B= B A
(1.6)
A (B + C) = A B A C
(1.7)
图1.5表示矢量A和B的叉积（或矢积）为一个按右旋法
第一章 场论基础
矢量分析主要包含矢量代数、正交坐标系和矢量微积 分，场的理论是通过矢量分析来表述的，所以矢量分析与 场论密不可分。
本章首先介绍场的数学概念和表示方法，进而对场的 场域性质和场点性质及其描述方法做了对比讨论，着重讨 论了标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的物理概念及其 运算规律，在此基础上介绍总结矢量场性质的亥姆霍兹定 理。
电磁场与电磁波基础 教程（符果行编著）
电子工业出版社
版本说明
由于电子教案必须在教材定稿后制作，为满足 教学急需，暂时只能先提供过渡版供教师试用， 近期将更换为正式版。教案的编辑功能、文字与 公式字体大小的统一规范及整体美化，在正式版 中将得到完善。
电子教案使用建议
1、在整个教学过程中，始终把握突出物理概念，强调 理论推导和计算方法的分析思路；
a a aza az a az a a8
矢量A和B的圆柱坐标分量及其代数运算
A a A a A az Aza B a B a B az Bzb A B a ( A B ) a ( A B ) az ( Az Bz20
A B a A a A az Az a B a B azBz
则确定的矢量
A B = an ABsin
(1.8)
矢量叉积只服从分配律
A B = B A A (B + C) = A B AC
(1.9) (Fra Baidu bibliotek.10)
1.1.3 常用正交坐标系 引入坐标系可以将矢量运算中的矢量按坐标投影形式分 解为标量，可简化分析与计算。 1．直角坐标系 图1.6表示直角坐标系， 其单位矢量 ax 、a y 和 az 指向x、y和z增加的方向，且 满足右旋关系
AB ax Ax ay Ay az Az axBx ayBy az Bz
AxBx AyBy AzBz4
A B ax Ax ay Ay az Az axBx ayBy az Bz
ax ( Ay Bz Az By ) ay ( Az Bx AxBz ) az ( AxBy Ay Bx
2、在教案中提出的“问题”，教师可按教材内容引导 学生进行探讨；
3、电磁场与电磁波的工程应用十分广泛，对教材中应 用部分提供的阅读材料，可根据教学和专业需要，要求学 生自学，教师选讲或补充新的内容。
目录
1 . 1 场的概念及其表示法 1 . 2 场的性质和描述 1 . 3 梯度、散度和旋度的比较 1 . 4 常用恒等式和公式 1 . 5 亥姆霍兹定理
A = ar Ar a A a A26a B = ar Br a B a B26b
A
B
ar ( Ar
B r
)
a ( A
B )
a ( A
B 27
AgB ArBr A B A B28
A B ar ( A B A B ) a ( A Br Ar B ) a ( Ar B A Br
时变场（动态场）——同时随空间位置和时间变化 的场（如时变电磁场）
（如速度场、加速度场、重力场、电场和磁场）
1.1.2 矢量场的基本运算
图1.1中用箭头指示方向的线段表示矢量A，线段长度
表示矢量A的模A，箭头指向表示A的方向。一个模为1的
矢量称为单位矢量 a A 。
A
aA A，aA
A A
(1.1)