1.1 行列式的定义和性质

n
会用该定理、结合行列式性质计算各种各样的行 列式（基本运算） 认识范得蒙行列式、知道范得蒙行列式结论
要 求
事大
学
了解克莱姆法则的条件和结论
第1章
行
列
式
海
连
大
教
学 要
了解全排列、逆序、逆序数、奇排列、偶排列 概念和对换改变排列的奇偶性这一结论
理解行列式定义
求
掌握行列式的性质
1.1 行 列 式 定 义 和 性 质
a1n a2 n ann a11 a12 a1n a21 a22 a2 n a n1 an 2 ann
海
连
大
二 行 列
式 性 质
事大
学
DT
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式
1.1
行列式定义和性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等
a11 D a21 a n1 a12 a1n 1 a p1 1a p2 2 a pnn
n 这 n 个数字的全排列 其中 p1 p2 pn是1 , 2，
t 是排列的逆序数
1.1
行列式定义和性质
连
大
n 阶行列式定义3
a11 a21 a12 a22 a1n a2 n ann
1 , 2， n 的全排列
1 , 2， n 的全排列
一 行 列
( 1)T ah1 p ah2 p
海
1.1
行列式定义和性质
连
大
为了引出行列式的定义，先讲全排列、逆序、逆 序数、奇排列、偶排列概念。
一 行 列
式 定 义
海 事大
学
定义
逆序数： 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 。 2 1 4 6 5 3
1+1+3 = 5
逆序数为奇数的排列叫做奇排列 。 逆序数为偶数的排列叫做偶排列 。
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
注意 符号
海
事大
学
1.1
行列式定义和性质
连
大
a11 a12 a21 a22 a31 a32
列下标：123、231、312 偶排列 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
引
这就需要研究行列式的概念；
思考3：对于m个方程、n个未知数的n元一次线性方程 组，又怎样呢？
例
课本第四章会告诉我们答案。
海 事大
学
1.1
行列式定义和性质
连
大
为了引出行列式的定义，先讲全排列、逆序、逆 序数、奇排列、偶排列概念。
一 行 列
式 定 义
事大
学
定义
全排列：
标准 次序
把 n 个不同元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排 列。 2 1 4 6 5 3 是 1 2 3 4 5 6 的一个全排列 逆序： 对于 n 个不同元素，先规定各元素之间有一个标准 次序，于是在这 n 个元素的任一排列中，当某两个 元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。
a ip j
a jpi
anpn D
海 事大
学
连
大
1.1
行列式定义和性质
性质3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以
同一数 k ，等于用数 k 乘以此行列式 第 i 行（列）乘以 k ，记作 ri k 或ci k
a11 a21 a1n t ka ka ai 1i 1 a ain D 1 ka anpn i 2 ka in 1 a1 p1 a2 p2 a i2 ipip ii kD an1 an 2 ann
海
n 1 , 2， 的全排列
式 定 义
事大
学
1.1
行列式定义和性质
连
大
n 阶行列式定义2
a11 a21 a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
p1 p2 pn 逆序数
一 行 列
式 定 义
海 事大
学
( 1)t a p 1a p
1
2 2
ap
n n
1 , 2， n 的全排列
二 行 列 式 性 质
海
事大
学
1.1
行列式定义和性质
连
大
推论 行列式中某一行（列）中所有元素的公因
子可以提到行列式记号的外面
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，
则此行列式等于零
二 行 列 式 性 质
海
事大
学
1.1
行列式定义和性质
连
大
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数
一 行 列
式 定 义
海 事大
学
两种特殊类型的行列式对角行列式和上（下）三角行 列式是怎样计算的？
1.1
行列式定义和性质
连
大
一 行
任意给出一个四阶、五阶甚至更高阶的行列式，怎样 计算？
列
式
研究行列式的性质
定 义
海 事大
学
1.1
行列式定义和性质
连
大
定义
a11 a21 a n1
转置行列式 DT
D
a12 a22 an 2
引
(a11a22 a12a21 ) x2 b2a11 b1a21 a11 a12 记 D a11a22 a12a21 a a22 21
b1 D1 b1a22 b2a12 b2 a12 a22
D0时
x1 D1 D x2 D2 D
D 0 时 可能无解，可
行列式定义和性质
连
大
例题2 上三角行列式
一 行
a11a22
对角线 元素乘 积
a11 0 0
a12 a22 0
1
a1n a2 n ann
2
ann
列
式
t - 1 a1 p a2 p anp
n
定 义
海 事大
学
目的： 1. 理解行列式定义； 2. 掌握结论。
1.1
行列式定义和性质
连
大
连
大
性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号
a b11 a b12 11 a bii11 a bii2 2 D D1 a bjj11 a bjj2 2 a bn a bn 2 n1 1 bjn a jn a bn nn n a b1n
a bin
-1 b a b a ba ba ba 11 p1 p1 22 p2 p2 ipip jp jp np np i j j i n n
6项
一 行 列
式 定 义
事大
学
a33
行下标：123
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
三阶行列式定义的三要素： 奇排列 列下标：132、213、321 1. 一共有3！项代数和； 2. 每一项都是三个元素的乘积，这三个元素位于行 列式不同的行、不同的列上； 3. 每一项符号的选取：每一项的行下标按自然顺序 排列，看列下标排列，若是偶排列，这一项取正号， 若是奇排列，这一项取负号。
难点：对行列式定义的理解
1.1
行列式定义和性质
连
大
a11 a21 a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
p1 p2 pn 逆序数
n个
( 1)t a1 p a2 p
1
2
anp
一 行 列
n
n 阶行列式定义的三要素： 1. 一共有n！项代数和； 2. 每一项都是 n 个元素的乘积，这 n 个元素位 于行列式不同的行、不同的列上； 3. 每一项符号的选取：每一项的行下标按自然 顺序排列，看列下标排列，若是偶排列，这一 项取正号，若是奇排列，这一项取负号。
列
式 定 义
海 事大
学
1.1
行列式定义和性质
连
大
例题1 对角行列式
0 0 0
2
0 0
t
00
0

- 1 a1 p1 a2 p2 anpn
目的： 1. 理解行列式定义； 2. 掌握结论。
海
1.1
0
1
0
0
0 0 0 12 n
对角线 元素乘 积
一 行 列
式 定 义
事大
学
n
2 1 4 6 3 5
奇数
偶数 1+2+1 = 4
1.1
行列式定义和性质
连
大
性质 对换改变排列的奇偶性
1. 相邻对换
一 行 列
式
2 1 4 6 5 3
2 1 4 6 3 5
逆序数为 5，奇排列 逆序数为 4，偶排列 奇 偶
2. 不相邻对换 2 1 4 6 5 3 对换4 , 5
依次作相邻对换 2 1 4 6 5 3 定 偶 奇 总结：a1 a2 ai a j an 对换 ai a j a1 a2 ai 1 a j ai a j 1 an 依次作 (j － i) 次相邻对换 义 共 2(j － i) － 1 再依次作 (j － i － 1) 次相邻对换 次对换(奇数次)， a1 a2 ai 1 a j ai 1 a j 1 ai a j 1 an 事大 奇偶性改变
1
2
ahn p
n
a n1 a n 2
式 定 义
海 事大
学
T是排列 p1 p2 pn 的逆序和排列 h1h2 hn 的逆序 之和。
1.1
行列式定义和性质
连
大
一 行
行列式定义的三要素是什么？ 1. 一共有n！项代数和； 2. 每一项都是n个元素的乘积，这n个元素位于 行列式不同的行、不同的列上； 3. 每一项符号的选取：每一项的行下标按自然 顺序排列，看列下标排列，若是偶排列，这一 项取正号，若是奇排列，这一项取负号。
能无穷多解
例
D2 a11b2 a21b1
a11 b1 a21 b2
海
连
大
事大
学
1.1
行列式定义和性质
思考1：对于n个方程、n个未知数的n元一次线性方程 组，有类似的规律吗？ 克莱姆法则会告诉我们答案； 思考2：对于n个方程、n个未知数的n元一次线性方程 组，有类似的规律，又该怎样表示呢？
t1
二 行 列 式 性 质
t1是排列p1p2…pj…pi…pn的逆序数
海 事大
学
1.1
行列式定义和性质
连源自文库
大
性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号
b11 bi 1 D1 b j1 bn1 bj2 bn 2
t1
b12 bi 2
b1n bin b jn
t是排列p1p2…pi…pj…pn的逆序数， t1是排列p1p2…pj…pi…pn的逆序数
海
大
1.1
行列式定义和性质
连
学
二阶行列式定义
a11 a12 a21 a22 a11a22 a12a21
一 行
三阶行列式定义
a11 a21 a31 a12 a22 a32
a13 可看作 先看含 再看含a 11 12 a 有 与二阶行 a 有a 13 11 12 列式乘积 的项 的项
列
式 定 义
第1章
行
列
式
海
连
大
事大
学
引例 用消元法求解二元一次线性方程组 (1) a11 x1 a12 x2 b1 (2) a21 x1 a22 x2 b2
解： (1) a22 ( 2) a12 ( 2) a11 (1) a21 得： (a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 b2a12
3、考勤：6分
由班长负责
事大
学
提前5分钟进教室，每次3分； 迟到2分；请假1分；旷课0分。
海
连
大
理解行列式的定义（基本概念）、掌握行列式的性质 （基本结论） 理解行列式按行展开定理（基本结论）和推论
教 学
| A | i k aij Akj j 1 0 i k
n
| A | k j aij Aik i 1 0 k j
t
a22 a2 n an 2 ann
二 行 列 式 性 质
D DT
D
T
b11 b21 bn1
b12 b22 bn 2
b1n b2 n
1 b1 p1 b2 p2
t
bnpn
bij=aji
bnn 1 a p1 1a p2 2
t
a pnn
海 事大
学
1.1
行列式定义和性质
-1 b1 p1 b2 p2
t
bik a jk b jk aik
bipi
a jpi
b jp j
aip j
bnpn
anpn
二 行 列 式 性 质
-1 a1 p1 a2 p2
t
bnn -1 a1 p a2 p
t
1
2
aip j
a jpi
anpn
D1 -1 a1 p1 a2 p2
海
1.1
行列式定义和性质
连
大
n 阶行列式定义1
a11 a21 a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
p1 p2 pn 逆序数
一 行 列
n
( 1)t a1 p a2 p
n!
1
2
anp
1 , 2， n 的全排列
式 定 义
海 事大
学
n 这 n 个数字的全排列， 其中 p1 p2 pn是1 , 2， 共有 n! 项 t 是排列 p1 p2 pn 的逆序数
网 上 资 源
BB课堂
“校内统一认证入口”进入，进入后从 左侧“我的课表中”选择“线性代数”
海
连
大
事大
学
平 时 成 绩
1、期中小测验：5分
2、作业：9分 由课代表负责
细则：1）每班每次选出5~10名同学，记3分； 作业认真，书写工整，独立完成； 2）每班每次选出5~10名同学，记1分； 作业不认真，书写潦草； 3）其他同学记2分；不交作业或雷同卷0分。