有限元第五章 有限元动力学基本原理
有限元方法的基本原理
有限元方法的基本原理
有限元方法是一种数值分析方法，用于求解复杂结构的力学问题。
其基本原理如下：
1. 将结构离散化：首先将结构分割成许多小的单元（有限元），每个单元可视作一个简单的结构部件。
这样可以将原始连续结构的复杂问题简化为每个小单元的简单问题。
2. 定义弯曲关系：对每个单元建立力学模型，包括定义材料的弹性模量、泊松比、截面积等力学性质参数。
3. 建立单元的位移方程：利用有限元方法，采用适当的形函数，建立每个单元的位移方程，一般为不定位移分析。
4. 组装全局方程：将所有单元的位移方程组装成整个结构的全局方程。
5. 求解方程组：通过数值方法（如高斯消元法、迭代法等），求解结构的位移和应力等力学量。
6. 分析结果：根据结构的位移和应力等力学量，可对结构的强度、刚度、振动等进行分析和评价。
有限元方法的基本原理是将复杂结构的力学问题通过离散化处理，化为易于计算的小单元问题，再通过数值方法求解整个结构的力学行为。
有限元分析-动力学分析PPT课件
目录
• 引言 • 有限元分析基础 • 动力学分析基础 • 有限元分析在动力学中的应用 • 案例分析 • 结论与展望
01 引言
目的和背景
01
介绍有限元分析在动力学分析中 的应用和重要性。
02
阐述本课件的目标和内容，帮助 读者了解有限元分析在动力学分 析中的基本概念、方法和应用。
随着工程复杂性和精确度要求的提高，有限元分析在动力学分析中的 应用将更加重要和必要。
02
未来需要进一步研究有限元分析算法的改进和优化，以提高计算效率 和精度。
03
未来需要加强有限元分析与其他数值计算方法的结合，如有限差分、 有限体积等，以实现更复杂的动力学模拟和分析。
04
未来需要加强有限元分析在多物理场耦合和多尺度模拟中的应用，以 更好地解决工程实际问题。
有限元分析的优点和局限性
• 精确性：对于某些问题，可以得到相当精确的结 果。
有限元分析的优点和局限性
数值误差
由于离散化的近似性，结果存在一定的数值误 差。
计算成本
对于大规模问题，计算成本可能较高。
对模型简化的依赖
结果的准确性很大程度上依赖于模型的简化程度。
03 动力学分析基础
动力学简介
动力学是研究物体运 动过程中力与运动关 系的科学。
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求解等。
02 有限元分析基础
有限元方法概述
01
有限元方法是一种数值分析方法，通过将复杂的物理系统离散化为有 限个简单元（或称为元素）的组合，来模拟和分析系统的行为。
02
它广泛应用于工程领域，如结构分析、流体动力学、热传 导等领域。
动力学有限元
6.2结构动力有限元法理论与模型一、基本原理在实际问题的求解中，应用最广的是基于位移的有限元素法。
此法的基本思想是把本来为连续的工程结构分割成在结点上相联的单元组合体。
取这些结点的位移为基本未知量，并假定每个单元中的位移用单元位移函数来描述，这实质上是假定了单元的模态。
在此基础上，利用能量变分原理进行单元分析的全结构分析，得到全结构的振动平衡方程，从而把连续体的动力学问题化为多自由度系统的振动问题。
有限元动力分析的基本过程是首先将工程结构离散化，通过选择合理的单元确定出分析模型，在此基础上选择位移函数，进行单元分析，确定单元的刚度、质量、阻尼、载荷矩阵，再经过坐标变换，通过能量变分原理，进行全结构分析，建立系统的振动平衡方程。
最后运用有限元数值方法进行方程的求解。
结构动力有限元法采用的单元位移函数与静力分析相同，基本原理和求解过程也与静力分析相同，不同之处仅在分析模型的确定与运动方程的建立方面。
二、动态分析模型的确定由于结构动态分析中除考虑弹性力外，还要考虑惯性力和阻尼力，其运动方程是常微分方程组，所以动态分析的复杂程度高，计算工作量大，有限元分析模型要尽量精炼、简单。
1.模型确定的基本原则•分析模型应与分析的目的相适应。
动力分析的目的各不相同，有的是为了提供固有特性计算动态响应或供控制系统用；有的是为了舱内提供振动环境。
不同的目的，通常要求不同的模态数与计算精度。
显然，用于估算基本固有频率的模型应当比计算冲击响应的模型简单。
用于设计计算的模型应当比用于校核计算的模型简单。
•分析模型要与选用的计算工具与计算条件相适应。
计算机软件种类日益丰富，选择分析模型要与所用程序、所用计算机容量相适应。
如对于容量大的计算机，可选用较为复杂的有限元模型，而对于容量小的计算机则在能反映结构动态性能的前提下尽量简化模型，使求解规模尽量小。
对于大模型，可选用子结构模型，采用模态综合方法求解。
应注意, 不一定模型愈精细精度就愈高。
第五章ANSYS概述 有限元法基本原理及应用课件
5.2 ANSYS的界面介绍
对话框式数据输入的基本形式
【OK】：表示确定对话框中的输入并退出对话框。 【Apply】：表示确定对话框中输入但不退出该对话框。 【Reset】：表示重新设置对话框中的内容，将其恢复到ANSYS默认值。 【Cancel】：表示不执行对话框中的设置同时退出该对话框。 【Pick All】：表示全选图形窗口中的相关实体。 【Help】：表示不明白执行操作的含义，单击该按钮可以获取相应的帮助信息。
电磁场分析与压电分析
电磁场分析 电磁场分析中考虑的物理量是磁通量密度、磁场密度、 磁力、磁力矩、阻抗、电感、涡流、能耗及磁通量泄露等，可分为 以下几类： （1）静磁场分析 （2）交变磁场分析 （3）瞬态磁场分析 （4）电场分析 （5）高频电磁场分析 压电分析
用于分析二维或三维结构对AC（交流）、DC（直流）或任意随时间 变化的电流或机械载荷的响应。这种分析类型可用于换热器、振荡器、 谐振器、麦克风等部件及其它电子设备的结构动态性能分析。可分为 四种类型： （1）静态分析 （2）模态分析 （3）谐响应分析 （4）瞬态分析
Customization Preferences：用 户管理选项卡
设置完成后单击【Run】按钮，即可启动ANSYS
5.3 ANSYS设置与使用
退出ANSYS软件
ANSYS提供了三种方法退出ANSYS程序，分别是： （1）从通用菜单退出：执行Utility Menu→File→Exit； （2）从命令窗口输入命令：/EXIT； （3）从工具条退出，如下图
• 谐响应分析 - 确定线性结构 对随时间按正弦曲线变化的 载荷的响应。
有限元分析第五章(第二部分
§5-5数值积分１、问题的提出在上一节中对等参元进行单元分析时要进行下列积分： (i) 单元刚度矩阵(ii)体积力的等效结点力(iii)边界力的等效结点力(iv)温升载荷的等效结点力式（5-4-5）~（5-4-8）分别归结为计算以下两种形式的积分对于上述积分仅在单元的形状十分规则的情况下才能得到解析的结果（精确值），一般情况只能用数值积分方法（主要是高斯求积法）求近似值。
虽然数值积分是“被迫“采用的，但后来发现：有选择地控制积分点的个数和位置，可以方便地实现我们的某些特殊意图。
这样一来，数值积分就成为有限元分析的一个重要组成部分，以至本来可以精确积分的三角形单元也常常采用数值积分。
２、数值积分的基本概念任何积分工作取决于三个要素：给定的积分区间，给定的被积函数，具体的积分方法。
下面以一维情况为例介绍数值积分的基本概念 (i) 梯形法函数()x f 在区间(a,b)的积分可以表达为 ()()ini ibax f W dx x f I ∑⎰=≈=1⎰⎰⎰---111111),()(dxdxy x f dx x f 、 [][][][][][][]ηξd d J t B E B tdxdyB E B k T Te det 1111⎰⎰⎰⎰--=={}[][]ηξσd d J t f f N td f f N r y x T y x T eV det 1111⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎰⎰⎰⎰--{}[]{}ηξσγd Jd t B T det 01111T ⎰⎰--={}[]()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎰⎰⎰--dy y f dx x f tds q p N r T 1111,ΓΓ(5-4-5) (5-4-8) (5-4-7) (5-4-6)i W ：权系数； i x ：积分样点；()i x f ：积分样点的函数值。
梯形法的求积公式为其中，1--=n ab h ，而a b W ni i -=∑=1(ii) 当被积函数为n-1次多项式P n-1(x )时，则由n 个样点及其样点值（x i , P n-1(x i ),i=1,n ）可以精确重构这个多项式，从而可以得到精确解。
有限元动力学问题有限单元法课件
03
动力学问题有限单元法
引言
有限单元法的起源和 发展
课程目标和主要内容
动力学问题有限单元 法的重要性
动力学问题的基本概念和方程
动力学问题的定义和分类 运动学方程和动力学方程的建立
经典力学理论和工程应用
动力学问题的有限单元法求解过程
01
02
03
04
有限单元法的原理和特点
动力学问题有限单元法的离散 化处理
动力学问题有限元建模的意义
有限元方法在动力学问题中具有广泛的应用价值，可以解决许多连续体力学问 题，如结构分析、流体动力学和热传导等。
动力学问题有限元建模的基本步骤和原则
确定研究目标和问题
明确所要研究的动力学问题， 确定其边界条件和约束条件。
建立连续体的离散化模型
将连续体离散化为由有限个单 元组成的模型，每个单元具有 一定的物理和几何性质。
有限元动力学方程的求解算法
02
采用时间积分法或隐式积分法等算法，对动力学方程进行求解
。
计算流程
03
建立有限元模型、划分网格、施加边界条件和载荷、进行计算
、后处理等步骤。
有限元动力学问题求解程序的实现和优化
求解程序的实现
采用编程语言（如Python、C等）实现有限元动力学方程的求解程序。
求解程序的优化
05
有限元动力学问题的求解算
法和程序实现
引言
有限元方法的基本思想
将连续的物理问题离散化，通过求解离散化的方程来逼近真实解。
有限元方法在动力学问题中的应用
在机械、航空、土木等领域中，有限元方法被广泛用于求解动力学问题。
有限元动力学问题的求解算法和计算流程
有限元动力学方程的建立
有限元的基本原理
有限元的基本原理
有限元方法是一种数值计算方法，常用于求解工程问题中的连续介质力学问题。
其基本原理是将复杂的连续介质分割成有限数量的简单几何形状的子域，称为有限元，然后利用数学方法和计算机技术对每个有限元进行离散化处理。
基于有限元原理，我们可以得到以下步骤：
1. 离散化：将连续的物理问题离散化为有限个由节点和单元组成的网格，在每个单元上选择适当的方程形式。
2. 建立本构方程：根据材料的力学性质，建立适当的本构关系表达式，将其转化为数学方程。
3. 单元形函数：在每个有限元上选择适当的单元形函数，将物理问题转换为离散问题。
4. 求解：对离散化后的方程进行求解，得到节点的未知位移。
5. 后处理：根据得到的位移信息，计算相应的应力和应变，以及其他感兴趣的物理量。
有限元方法的精度和收敛性与网格的划分有关，更精细的网格可以得到更准确的结果，但也会增加计算量。
因此，有限元方法是一个权衡计算效率和精度的方法。
有限元方法广泛应用于结构力学、流体力学、电磁场等领域的
建模和仿真中，可以有效地分析和解决各种工程问题。
其应用范围涉及机械、航空航天、汽车、建筑、电子等多个工程领域，为工程设计和优化提供了有力的工具。
有限元基本原理
有限元基本原理
有限元基本原理是一种数值分析方法，用于解决连续介质力学问题。
它将连续物体离散化为有限数量的小单元，通过对这些小单元的力学行为进行建模和分析，来推导出整体结构的力学特性。
有限元分析的步骤如下：
1. 离散化：将结构或物体分割成有限数量的小单元，例如三角形或四边形。
这些小单元被称为有限元素。
2. 建立数学模型：在每个有限元素内，选择适当的数学表达式来描述变形和应力分布。
这些表达式通常基于线性弹性理论或非线性材料模型。
3. 形成刚度矩阵：通过将每个有限元素的刚度矩阵组合起来，形成整体系统的刚度矩阵。
刚度矩阵描述了结构在受力作用下的刚度和变形响应。
4. 施加边界条件：给定结构的边界条件，例如约束和载荷。
这些条件可用于限制结构的自由度和模拟外部加载。
5. 求解方程：将边界条件应用到刚度矩阵上，并求解得到结构的位移和应力分布。
6. 分析结果：利用位移和应力分布，评估结构的强度、刚度、变形等力学特性。
这些结果可以帮助设计师优化结构并预测其
行为。
有限元基本原理的核心思想是将复杂的力学问题转化为小单元内的简单数学表达式，并通过组合这些单元的行为来推导整体结构的力学性能。
这种方法具有广泛的应用领域，包括结构分析、流体力学、热传导等。
有限元的基本原理
有限元的基本原理
有限元法是一种数值分析方法。
它的基本原理是将一个连续的问题离散化为一个由有限个节点构成的离散的问题，每个节点上都有一个或多个未知量，通过求解这些未知量来确定整个问题的解。
在有限元法中，使用数值分析方法来求解偏微分方程或者求解某些物理问题的模拟。
有限元法的基本步骤如下：
1. 离散化：将连续的物理区域分割成一个个小单元；
2. 建立形函数：表示每个小单元内的物理量，在有限元中往往是位移场，可以用形函数来近似表示；
3. 建立刚度矩阵和负载向量：每个小单元对应一个刚度矩阵和一个负载向量，将所有小单元的贡献汇总到整个问题中的刚度矩阵和负载向量中；
4. 边界条件处理：将边界条件对应的未知量赋为已知量；
5. 求解方程：通过求解线性方程组来确定所有未知量的值；
6. 后处理：根据求解得到的数值解，计算所需的物理量，比如应力、变形、位移等等。
有限元法因其准确性、适用性、可靠性等特点被广泛应用于多个领域，包括结构力学、电磁学、流体力学等。
有限元的基本原理
有限元的基本原理有限元分析（Finite Element Analysis）是一种数值计算方法，用于求解连续体力学问题。
其基本原理是将复杂的物理问题离散化为简单的有限节点和单元，通过求解节点上的未知位移，进而得到整个结构体的应力、应变和位移等结果。
有限元分析广泛应用于航空航天、汽车制造、土木工程、机械设计等领域。
有限元分析的基本原理可以概括为如下几个步骤：1.建立几何模型：首先根据实际情况建立物体的几何形状，并转化为一系列离散的节点和单元。
节点是模型中的离散点，单元是相邻节点之间的连接关系。
2.确定边界条件：为了得到唯一的解，需要对模型的边界施加边界条件。
边界条件包括位移边界条件、力边界条件和约束边界条件等。
位移边界条件指定一些节点的位移固定，力边界条件指定一些节点的外力值，约束边界条件指定一些节点或单元之间的约束关系。
3.划分单元：将模型离散化为多个单元。
常见的单元类型包括线单元、平面单元和体单元等。
划分的单元越多，模型的精度就越高，但计算量也会增加。
4.建立单元刚度矩阵：对于每个单元，根据其几何特性和材料性质，通过数学推导建立相应的刚度矩阵。
刚度矩阵描述了单元内部的应力与应变之间的关系。
5.装配全局刚度矩阵：将所有单元的刚度矩阵通过节点关系进行装配，得到整个结构体的全局刚度矩阵。
全局刚度矩阵描述了整个结构体的力学行为。
6.施加边界条件：根据第二步中确定的边界条件，将全局刚度矩阵进行修正，得到修正后的全局刚度矩阵。
7.求解方程：通过求解修正后的全局刚度矩阵与节点位移之间的平衡方程，得到节点的未知位移。
8.计算结果：通过节点位移可以计算出各个节点处的应力、应变和位移等结果。
这些结果可以评估结构体的稳定性和安全性。
需要注意的是，有限元分析是一种近似计算方法，其结果受到多种因素的影响，如网格划分的精度、单元类型的选择、边界条件的设定等。
因此，合理的模型建立和边界条件确定对于有限元分析的准确性和可靠性至关重要。
《有限元基本原理》课件
有限元法的历史与发展
01
有限元法的思想起源于20世纪40年代，但直到1960年 才由美国科学家克拉夫（Clough）正式提出“有限元 法”这一术语。
02
随着计算机技术的发展，有限元法得到了广泛应用和推 广，成为工程领域中解决复杂问题的有力工具。
03
近年来，随着计算能力的提升和算法优化，有限元法的 应用范围不断扩大，涉及的领域也更加广泛。
有限元法的基本思想
01
将连续体离散化为有限个单元，每个单元具 有简单的几何形状和物理属性。
03
02
通过在节点处设置位移约束，将各个单元相 互连接，形成一个整体模型。
通过在各个单元上设置方程，建立整个离散 化模型的平衡方程组。
高阶有限元方法
与其他方法的结合
研究高阶有限元方法，以提高计算的精度 和稳定性。
研究有限元方法与其他数值方法的结合， 如有限差分法、有限体积法等，以拓展其 应用范围。
谢谢聆听
04 有限元法的应用实例
静力分析实例
总结词
静力分析是有限元法最常用的领域之一，主要用于分析结构在恒定载荷下的响应。
详细描述
静力分析用于评估结构在恒定载荷下的应力、应变和位移。例如，桥梁、高层建筑和飞机机身等结构 的稳定性分析。通过有限元法，可以模拟复杂结构的整体行为，并预测其在各种载荷条件下的性能。
动力分析实例
总结词
动力分析涉及结构在动态载荷下的响应 ，如地震、风载和冲击载荷等。
VS
详细描述
动力分析用于评估结构在动态载荷作用下 的振动、冲击和响应。例如，地震工程中 建筑物和桥梁的抗震性能分析。通过有限 元法，可以模拟结构的动态行为，预测其 在地震或其他动态载荷下的破坏模式和倒 塌过程。
有限元动力学分析知识点资料
有限元动力学分析知识点复习目录一、模型输入、建模A 输入几何模型1、两种方法：No defeaturing 和 defeaturing（Merge合并选项、Solid实体选项、Small选项）2、产品接口。
输入IGES 文件的方法虽然很好，但是双重转换过程CAD > IGES > ANSYS 在很多情况下并不能实现100%的转换.ANSYS 的产品接口直接读入“原始”的CAD 文件，解决了上面提到的问题.3、输入有限元模型。
除了实体几何模型外， ANSYS 也可输入由某些软件包生成的有限元单元模型数据（节点和单元）。
B 实体建模1、定义实体建模：建立实体模型的过程。
（两种途径）1）自上而下建模：首先建立体（或面）,对这些体或面按一定规则组合得到最终需要的形状.✓开始建立的体或面称为图元.✓工作平面用来定位并帮助生成图元.✓对原始体组合形成最终形状的过程称为布尔运算✓总体直角坐标系 [csys,0] 总体柱坐标系[csys,1]总体球坐标系[csys,2] 工作平面 [csys,4]2）自下而上建模：按照从点到线，从线到面，从面到体的顺序建立模型。
B 网格划分1、网格划分三步骤:定义单元属性、指定网格的控制参数、生成网格2、单元属性（单元类型 (TYPE)、实常数 (REAL)、材料特性(MAT)）3、单元类型单元类型是一个重要选项，它决定如下单元特性：自由度(DOF)设置、单元形状、维数、假设的位移形函数。
1）线单元（梁单元、杆单元、弹簧单元）2）壳用来模拟平面或曲面。
3）二维实体用于模拟实体截面4）三维实体✓用于几何属性，材料属性，荷载或分析要求考虑细节，而无法采用更简单的单元进行建模的结构。
✓也用于从三维CAD系统转化而来的几何模型，而这些几何模型转化成二维模型或壳体会花费大量的时间和精力4、单元阶次与形函数•单元阶次是指单元形函数的多项式阶次。
•什么是形函数?–形函数是指给出单元内结果形态的数值函数。
有限元的基本原理
有限元的基本原理
有限元法的基本原理是建立在表示实际连续体的离散模型的基础上。
该方法的基本思想是将实际连续体分割为有限个较小的、称为有
限元的部分，每个有限元都被认为是相互独立的，而受到软件模型所
描述的一组约束。
有限元法模型求解是通过将所有有限元在一定环境
下的相互作用来描述整个物体。
这些有限元之间相对于解析方法更接
近实际情况，所以解法能够更加精确地检验计算结果。
有限元法的步骤如下：
1. 选定有限元的类型和形状，不同的有限元类型适用于不同的计
算问题。
2. 将整个实际物体离散成为多个有限元，每个元内部的参数、如
位移分布、应变场等等，是用一定的方程求解的。
3. 去掉有限元间间隔，并构造出一个总体联立方程。
4. 利用边界条件得出相应“挤压”量，完成总体应力分布的过程。
5. 通过这些有限元联立方程组，算出整个物体所有部位的应力、
位移和应变，从而得到整个物体的状态分布。
有限元法能以极大程度上模拟多结构系统间的相互作用和这些作
用对物体性质的影响，如形变，热度和应力。
这个方法可被应用广泛，包括航空航天、汽车制造、能源以及生命科学等等。
有限元基本原理与概念
有限元基本原理与概念有限元分析是一种数值计算方法，用于求解连续体力学中的边界值问题。
它是通过将连续体划分为有限数量的离散单元，然后在每个单元内进行力学行为的近似计算来实现的。
有限元基本原理和概念是进行有限元分析的关键。
有限元方法的基本原理包括以下几个方面：1.连续体离散化：连续体被分割为许多有限数量的小单元，例如三角形或四边形，这些小单元被称为有限元。
离散化的目的是将大问题转化为小问题，简化求解过程。
2.描述形函数：在每个有限元内，通过选择适当的形函数来描述位移、应力和应变之间的关系。
它们通常是基于其中一种插值函数，用于近似描述连续体内的位移场。
3.线性方程系统：通过应力和位移之间的平衡关系，可以得到与每个有限元相关的线性方程系统。
该方程系统可以通过组装所有单元的贡献来得到，其中每个单元内的节点位移被认为是未知数。
4.边界条件：为了解决线性方程系统，必须定义适当的边界条件。
这些条件通常包括位移或力的给定值，并且用于将无法由方程系统唯一解决的自由度限制为已知值。
5.求解方程系统：通过解决线性方程系统，可以得到每个节点的位移。
这可以使用各种求解线性方程系统的方法，如直接法（例如高斯消元法）或迭代法（例如共轭梯度法）来实现。
有限元方法的基本概念包括以下几个方面：1.单元：连续体被划分为有限数量的单元，在每个单元内进行近似计算。
常见的单元类型包括一维线元、二维三角形和四边形元，以及三维四面体和六面体元。
2.节点：单元的连接点被称为节点，每个节点在有限元分析中是一个自由度。
节点的数量与单元的选择密切相关，节点的位置和数量会影响结果的精确度。
3.局部坐标系：为了描述单元内的位移和应力，通常引入局部坐标系。
在局部坐标系中，单元的尺寸和形状可以更容易地进行描述和计算。
4.材料特性：有限元分析中需要定义材料的特性参数，例如弹性模量、泊松比、屈服强度等。
这些参数用于描述材料的力学行为和应力-应变关系。
5.后处理：通过有限元分析所得到的结果通常以节点或单元的形式给出，这些结果还需要进行后处理以得到更有意义的结果，如应变、应力分布或变形情况。
有限元ppt课件
y(xi )2 y(xi1) h
a x b x
y(xi1) 2 y(xi ) y(xi1)
h hi 2 i1
yi1 2 yi yi1 h2
(1 5)
x
13
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得
yi1 2 yi h2
yi1
yi1 yi h
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有
1
I (1,2 ,3,
2
I (1,2 ,3,
机械工程有限元法基础
1
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一 种数值方法.
它从最初的固体力学领域 拓展到了
发展到了
从简单的静力分析
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域
动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复 杂问题的计算
有限元方法基本原理
有限元方法基本原理有限元方法被广泛应用于工程领域中对复杂结构力学问题的求解。
其基本原理是将一个复杂的实体分割成连续的小元素，并在每个小元素内近似描述结构的力学行为。
然后根据各个小元素的相互连接关系，通过求解各个小元素的力学方程，得到整个结构体系的力学响应。
在有限元方法中，划分成小元素的实体被称为有限元。
每个有限元内会选择一个适当的数学函数形式来近似描述该元素内的过程变量（如位移、应力等）。
通常，利用多项式函数或三角函数来近似描述是较为常见的选择。
有限元法的基本思想是利用小元素内的力学方程来建立元素间的联系。
这一联系通过引入节点来实现。
节点是在有限元网格上选取的特殊位置，在节点处的位移和应力是所有相邻元素的位移和应力的加权平均。
在整体结构体系上，所有节点只有两种运动自由度（如平面问题为两个：水平和垂直方向），我们将节点处对应的变量称为自由度。
有限元分析的过程可以分为网格划分、单元插值、力学方程建立和边界条件处理四个主要步骤。
首先，将整个结构体系划分成小的有限元。
然后，在每个有限元内部选择一个插值函数，并利用插值函数得到相应的位移和应力的近似解。
接下来，根据物体在各个小元素上的力学原则，建立每个小元素的力学方程。
最后，在整个结构体系上，应用边界条件将自由度限制在给定的边界条件下。
通过求解各个小元素的力学方程，可以得到整个结构体系的应力、应变和位移分布。
这些分析结果可以用来评估结构的强度、刚度和稳定性等重要参数。
有限元方法的优点在于它能够处理复杂的几何形状和边界条件，并提供了精确的力学响应。
因此，它被广泛用于各个工程领域中的结构设计和分析中。
有限元第五章 有限元动力学基本原理
第五章 有限元动力学分析基本原理
在前面的介绍中，我们均假设作用在弹性体（或结 构）上的载荷与时间无关，与此相应的，位移、应力 及应变等也都和时间无关，即前面介绍的全部内容皆 称结构静力学有限元方法。但工程实际中还存在着另 外一类载荷与时间有关的动载荷作用于结构或弹性体， 此时，相应的位移、应力、应变等都与时间有关，而 且必须考虑惯性力和加速度等因素，这类分析或问题， 成为动力学分析。 对于质点—弹簧系统的振动，大家比较熟悉，例如 一个自由度为n的质点—弹簧振系，其动平衡方程为
停止迭代 此时为低阶特性
2
1
（ i 1）
(i 1)
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭 代法计算其最高阶固有频率和振型。
1 0 0 3 2 0 M 0 2 0 K 2 5 3 0 0 3 0 3 3 1 1 1 解： 1 1 1.5 1.5 K 1 1.5 11 / 6
& & & M C K P
第五章 有限元动力学分析基本原理
上式中每一项的含义不同
& & M C 为阻尼力
K 为弹性力
对于单元体而言，可以得到类似的上述方程
e T N N dV V
于是，令e T V来自m N N dV
一、单元质量矩阵的计算
1.一致质量矩阵
e
m 的计算式是通式，并因为计算质量矩阵和刚度矩
阵使用的形状函数一致，因此被称为一致质量阵。
有限元动力学问题有限单元法课件
多物理场耦合的有限元方法
研究和发展并行化与分布式计算技术，提 高大规模有限元计算的效率和可扩展性。
研究和发展多物理场耦合的有限元方法， 以适应复杂的多物理场问题。
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动力学问题的有限元法应用实例
机械振动分析
利用有限元法分析机械结构的振动特性，优 化设计以减小振动和噪声。
冲击碰撞模拟
模拟复杂冲击碰撞过程，研究冲击力和能量 传递规律，优化防护和缓冲设计。
航空航天器动力学分析
分析航空航天器的动态特性和稳定性，优化 结构和推进系统设计。
土木工程结构振动分析
研究土木工程结构的振动和稳定性，评估地 震等自然灾害下的安全性。
质量矩阵
描述结构质量分布与振动 频率之间的关系，用于动 力学分析。
阻尼矩阵
描述结构阻尼与振动衰减 之间的关系，用于考虑阻 尼效应。
边界条件与初始条件
边界条件
描述结构边界上的约束条件，如 固定、自由、受压等。
初始条件
描述初始时刻的物理状态，如初 始位移、速度和加速度等。Leabharlann 03 动力学问题的有限元法
动力学问题的有限元法概述
有限元法的历史与发展
有限元法的起源可以追溯到20世纪40年代，当时工程师们开始尝试使用离散化的方 法来分析复杂结构的应力分布。
1943年，美国科学家R.Courant首次提出将连续的弹性体离散化为有限个小的弹性 体，并使用变分法求解这些小单元的平衡方程。
经过几十年的发展，有限元法逐渐完善并广泛应用于各种工程领域。随着计算机技 术的进步，有限元法的计算效率和精度也不断提高。
04 有限元的程序实现
有限元的程序实现概述
有限元法是一种数值分析方法，用于求解各种复杂的工程问题，如结构 力学、流体动力学等。
有限元分析的基本原理
有限元分析的基本原理
有限元方法的基本原理：将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表示。
从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。
从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
有限元法常应用于流体力学、电磁力学、结构力学计算，使用有限元软件ANSYS、COMSOL等进行有限元模拟，在预研设计阶段代替实验测试，节省成本。
用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。
有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。
每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。
根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。
有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。
有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。
结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于计算机辅助制造中。
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2 0 1 2 0 2 t e m 12 对 称
0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 0 1 2 0 2
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵 ●矩形平面问题单元
4 0 2 4 0 4 abt e m 9 对 称
0 1 0 2 0 2 0 1 0 2 0 2 0 1 0 4 0 2 0 1 4 0 2 0 4 0 2 4 0 4
二、单元阻尼矩阵的计算
阻尼矩阵非常复杂，主要是阻尼本身的复杂性引 起的，一般均为假设，如阻尼力正比于单元的运动 速度，此时得到的阻尼矩阵正比于单元质量矩阵； 也可以假设阻尼力正比于单元的应变速度，此时得 到的阻尼矩阵则正比于单元刚度矩阵，还有一些其 他类型的假设，如上述两者的组合，分别有：
停止迭代 此时为低阶特性
2
1
（ i 1）
(i 1)
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭 代法计算其最高阶固有频率和振型。
1 0 0 3 2 0 M 0 2 0 K 2 5 3 0 0 3 0 3 3 1 1 1 解： 1 1 1.5 1.5 K 1 1.5 11 / 6
2.矩阵迭代法
如此继续迭代，经过10次迭代，可得 0 1 1 3 2 (10) 1 2.5 1.5 0.693 4.386 0.69300 S 0.20467 0 1 1 0.2047
T
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
采用前述的迭代步骤，用 T 代替 S ，即可得到 值
T (0) (1) (1) (i ) （ (i 1) 依次类推 T i 1）
直到 得到
（ ( k ) - k 1）
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵 ●三次梁单元
156 22l 22l 4l 2 Al e m 420 54 13l 13l 3l 2
54 13l 156 22l
13l 2 3l 22l 2 4l
一、单元质量矩阵的计算
1.结构无阻尼自由振动的运动方程
结构在无外力作用时，得到的是自由振动，此时 阻尼影响不大，结构的自由振动可简化为：
M K 0
三、机械结构固有频率与振型
1.结构无阻尼自由振动的运动方程
0 sin t 代入无阻尼振动方程，可得 K 2 M 0 0 上式解存在的条件为 K 2 M 0
c m c k c m k
e e e e e e e
二、单元阻尼矩阵的计算
对于组合阻尼，如已知结构的阻尼比及结构的固 有频率，其计算方法有：
如果 则
2( i j ji )
2 j
2 i
i j
2( j j ii )
推得
(11)
1 0.69300 0.20467
(10)
1 0.6930 0.2047
0.693 0.205
T
于是 2 (211) 4.386
(11) A N N dx A 1 2 dx l l 2
T 2 1 A l 1 2
12 l 2 1 dx 2 6 1 2 2
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵 ●二次杆单元
2.集中质量矩阵 在工程实际中，为了求解方便，有人把单元质量 平均分到单元的各个节点上，如平面三角形单元的 质量可分配为：
mi m j mk
dV 3
V
一、单元质量矩阵的计算
2.集中质量矩阵
m diagm
e
单元质量矩阵为：
i
mi
mj
mj
mk
mk
3.常用单元的一致质量矩阵 ●一次杆单元
设结构作简谐运动 这是计算方法中最典型的特征值问题。 2.矩阵迭代法 这种方法用于求解基频或最高阶频是很有效的，并 且能得到相应的特征向量。 将无阻尼自由振动方程改写
K 0 M 2 0
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法 即有 令
M K 0 0
2 1 2 1 T e m A N N dx A 2 2 2 2 dx l l 4 4 1 2 1 2
2 1 2 2 2 1 2 2
T
4 1 8 Al 1 4 8 30 8 8 16
2 2 2 e e q 2 2 N N 2 t t t
惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和 实施过程，有：
一、单元质量矩阵的计算
1.一致质量矩阵
R N qdV
e q T V
2 e T N N 2 dV t V
& & & M C K P
第五章 有限元动力学分析基本原理
上式中每一项的含义不同
& & M C 为阻尼力
K 为弹性力
对于单元体而言，可以得到类似的上述方程
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
得到的固有频率是最高阶频率，因为振型的变化是：
1 0.693 0.205
符号变化两次，振系是3自由度，因此，得到的是第3 阶频率和振型。 在工程实际中，人们一般关心的主要是结构的低阶 频率。因此，在进行迭代过程中作适当的变换，使矩 阵不按 2 为特征值进行迭代，而是按 1 / 2 为特征 2 2 值进行迭代，从而得到 1 / 的最大值，也是 的 最小值。
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
0 3 2 1 1 2 . 5 1 .5 S M S 0 1 1
在开始迭代时，需选取初始迭代向量，可以按经验 估计，也可以用静力学特性的位移值，选得合适可 以减少迭代时间。先假设：
e
& & & e e e e e e m c k p
一、单元质量矩阵的计算
单元质量矩阵根据其形成过程分为一致质量阵和 集中质量阵，各有自身的优点和缺点。 1.一致质量矩阵 在离散后的结构中，取出一个单元，根据达朗贝 尔原理，单位体积上作用的惯性力为：
1 2
S 0 2 0
(0)
●迭代步骤
S （1） 2 求得 (1)和 （1） ( 2) 2 再代入 S ( 2) （i） ( i 1) 2 以此类推 S ( i 1)
(0)
代入
2 (1)
(1)
收敛条件
（k）
(k 1)
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法 例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭 代法计算其最高阶固有频率和振型。
1 0 0 3 2 0 M 0 2 0 K 2 5 3 0 0 3 0 3 3 0 1 0 解： 1 0 1 / 2 0 M 0 0 1 / 3
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
在计算过程中，引入参数
1 2
将其代入无阻尼自由振动运动方程，则有 1 K M 0
M K
两边同左乘 K ，得到
1
令
T K M
1
K 1M
1 / 3 0 1
T
继续迭代
S
( 2)
0 1 3 2 1 1 2.5 1.5 1 / 3 3.6 0.5 0 .1 0 1 1 0
三、机械结构固有频率与振型
第五章 有限元动力学分析基本原理
在前面的介绍中，我们均假设作用在弹性体（或结 构）上的载荷与时间无关，与此相应的，位移、应力 及应变等也都和时间无关，即前面介绍的全部内容皆 称结构静力学有限元方法。但工程实际中还存在着另 外一类载荷与时间有关的动载荷作用于结构或弹性体， 此时，相应的位移、应力、应变等都与时间有关，而 且必须考虑惯性力和加速度等因素，这类分析或问题， 成为动力学分析。 对于质点—弹簧系统的振动，大家比较熟悉，例如 一个自由度为n的质点—弹簧振系，其动平衡方程为
1 1 3 2 1 0 1 1 (0) 1 2.5 1.5 1 0 于是有 S 0 1 1 1 0
( 0) T
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
继续迭代 推得
第五章 有限元动力学分析基本原理
一、单元质量矩阵的计算
1.单元一致质量矩阵 2.单元集中质量矩阵 3.常用单元的一致质量矩阵
二、单元阻尼矩阵
1.速度阻尼矩阵
1.无阻尼自由振动方程 3.其他方法
2.应变阻尼矩阵
2.矩阵迭代法
三、机械结构的固有频率和振型 四、机械结构的动力响应计算 1.振型叠加法 2.直接积分法