运筹学实例-含解析

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案例1. 工程项目选择问题
某承包企业在同一时期内有八项工程可供选择投标。

其中有五项住宅工程，三项工业车间。

由于这些工程要求同时施工，而企业又没有能力同时承担，企业应根据自身的能力，分析这两类工程的盈利水平，作出正确的投标方案。

有关数据见下表：
表1 可供选择投标工程的有关数据统计
工程类型 预期利润/元 抹灰量/m 2
混凝土量/ m 3
砌筑量/ m 3
住宅每项 50011 25 000 280 4 200 工业车间每项 80 000
480 880 1 800 企业尚有能力
108 000
3 680
13 800
试建立此问题的数学模型。

解：
设承包商承包X 1项住宅工程，X 2项工业车间工程可获利最高，依题意可建立如下整数模型：
目标是获利最高，故得目标函数为
21X 80000X 50011z Max +=
根据企业工程量能力限制与项目本身特性，有约束：
1080002
X 4801X 25000≤+3680X 880X 28021≤+13800X 1800X 420021≤+为整数，；，2121
X X 3X 5X ≤≤
利用WinSQB建立模型求解：
综上，承包商对2项住宅工程，3项车间工程进行投标，可获利最大，目标函数Max z=340022 元。

案例2. 生产计划问题
某厂生产四种产品。

每种产品要经过A，B两道工序加工。

设该厂有两种规格的设备能完成A工序，以A1 ，A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，以B1 ，B2，B3 表示。

产品D可在A，B任何一种规格的设备上加工。

产品E可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时只能在B1设备上加工。

产品F可在A2及B2 ，B3上加工。

产品G可在任何一种规格的A设备上加工，但完成B工序时只能在B1 ，B2设备上加工。

已知生产单件产品的设备工时，原材料费，及产品单价，各种设备有效台时如下表，要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大？
设设
产品设备有效台时1 2 3 4
A1 A2 B1 B2 B35
7
6
4
7
10
9
8
12
11
10
6
8
10
8
6011
10000
4000
7000
4000
原料费（元/件）单价（元/件）0.25
1.25
0.35
2.00
0.50
2.80
0.4
2.4
解：
设Xia(b)j为i产品在a(b)j设备上的加工数量,i=1,2,3,4;j=1,2,3，得变量列表
设备产品设备有效台时Ta(b)j
1 2 3 4
A1 A2 B1 B2 X1a1
X1a2
X1b1
X1b2
X2a1
X2a2
X2b1
X3b2
X3a1
X3a2
X3b1
X3b2
X4a1
X4a2
X4b1
X4b2
6011
10000
4000
7000
B 3 X 1b 3 X 3b 3 X 3b 3 X 4b 3 4000 原料费Ci （元/件） 单价Pi （元/件） 0.25 1.25
0.35 2.00
0.50 2.80
0.4 2.4
其中，令X 3a 1，X 3b 1，X 3b 2，X 3b 3，X 4b 3=0 可建立数学模型如下： 目标函数: ∑∑==-=4
1
2
1)](*[Max
i j iaj Ci Pi X z
=1.00*（X 1a 1+X 1a 2）+1.65*（X 2a 1+X 2a 2）+2.30* X 3a 2+2.00*（ X 4a 1+X 4a 2）
约束条件：
利用WinSQB 求解（X1~X4，X5~X8,X9~X12,X13~X17,X18~X20分别表示各行变量）：
4,3,2,1X
2
1j 3
1
==∑∑==i X j ibj
iaj
2,1T X 41iaj
=<=∑=j Taj i iaj 3
,2,14
1
=<=∑=j Tbj
T X
i ibj ibj
2,1;4,3,2,10X iaj ==>=j i 且为整数3
2,1;
4,3,2,10X ibj ，且为整数
==>=j i 0
X X X X X 4b33b33b23b13a1=====
综上，最优生产计划如下：
设备产品
1 2 3 4
A1 A2 B1 B2 B377
423
500
400
400
873
2
875
目标函数z
Max=3495，即最大利润为3495
案例3. 高校教职工聘任问题 （建摸）
由校方确定的各级决策目标为：
P 1 要求教师有一定的学术水平。

即：要求75%的教师是专职的。

要求担任本科生教学工作的教师中，至少有40%的人具有博士学位。

要求担任研究生教学工作的教师中，至少有75%的人具有博士学位。

P 2 要求各类人员增加工资的总额不得超过176，000美元，其中x1、x2和x9增加的工资数为其原工资基数的6%，而其他人员为8%。

P 3 要求能完成学校的各项教学工作。

即学校计划招收本科生1，820名，研究生100名。

要求为本科生每周开课不低于910学时。

要求为研究生每周开课不低于100学时。

要求本科生教师与学生人数比为1：20，即为本科生上课的教师数不超过1820/20=91人。

要求研究生教师与学生人数比为1：10，即为研究生上课的教师数不超过100/10=10人。

P 4 设教师总数∑∑==+=81
5
1
i i i
i y x T
，要求各类教学人员有适当比例，如上表。

P 5 要求教师与行政管理职工之比不超过4：1。

P 6 要求教师与助研x1之比不超过5：1。

P 7 设所有人员总的年工资基数为1，850，000美元，要求其尽可能小。

试建立其目标规划的数学模型。

解：
依题意，建立目标规划模型：
)
()()()d d d d d d d ()
()()(M 237226215201918171615141312111094876534232111+++-
+----++++++++--+
--+-+++++++++++++++++++++++=d P d P d P d d d d d P d d d d P d P d d d d P z in
.
.s t 为各人员的年工资
Ci d d
yiCi Xi i i 1850000
Ci 23235
1
9
1
=++++-==∑∑51/)(22225
1
8
1=++++-==∑∑d d X yi Xi i i 49/)(2121518
1=++++-==∑∑d d X yi Xi i i 为正整数
，yi Xi 0.25
d d /T )y4X72X (X11
1=-+++++-0.40d d )321y X7X6X5X4X3/(X2)321(y 22=-++++++++++++
-y y y y 0.75
d d X8)y5y4y3y2y5)/(y1y4y3y2(y133=-+++++++++++-.....
...176000d d %8*)Ci Ci (6%*X9)*4000X2*3000X1*(3000445
1
83
为各工资基数Ci yi Xi i i =-++++++-==∑∑教学学时为各类教师承担的本科Pi yiPi Pi Xi i 910
d d
553
1
72
i =-+++-==∑∑生教学学时
为各类教师承担的研究Pi yiPi i 100
d d P *X86651
8=-+++
-=∑91
d d
773
1
72
i =-+++-
==∑∑i yi Xi 10
d d X8885
1
=-+++
-=∑i yi 02.0d d )/(419195
181=-+++
-==∑∑i i yi Xi y 23
.0d d )/(318185
181=-+++-==∑∑i i yi Xi y 14.0d d )/(217175
181=-+++-==∑∑i i yi Xi y 21.0d d )/(116165
181=-+++-==∑∑i i yi Xi y 01
.0d d )/(815155
1
81
=-+++-==∑∑i i yi Xi X 01.0d d )/(7X 14145
181=-+++-==∑∑i i yi Xi 02.0d d )/(6X 13135
181=-+++
-==∑∑i i yi Xi 05
.0d d )/(5X 12125
181
=-+++
-==∑∑i i yi Xi 15
.0d d )/(4X 11115
181
=-+++-==∑∑i i yi Xi 07.0d d )/(3X 10105
181=-+++-==∑∑i i yi Xi 07.0d d )/(2X 995
18
1=-+++-==∑∑i i yi Xi 02
.0d d )/(520205
1
8
1
=-+++-==∑∑i i yi Xi y ∑∑==+=81
5
1
i i i
i y x T
案例4. 供电部门职工交通安排问题
我们把通勤费作为优化的目标。

ai (i=1，2，......18)表示住地的职工人数，用bj (j=1，2，.......8)表示工作地点的定员，cij (i=1，2，.....18; j=1，2，......8)表示每个职工从住地到各工作地点的月通勤费（单位：元），有关数据列表如下表，试建立此问题的数学模型并求解。

解：
根据题意，以员工住地为产地，工作地点为销地，将问题转化为求月总通勤费最小的运输方案
利用WinSQB建立模型求解：
得分配结果如下：
即为最优执勤分配方案如下，最小总月通勤费用为：343.20 （元）
案例5. 零件加工安排问题
已知有六台机床6
21,,,x x x ，六个零件6
21,,,y y y ；机床
1x 可加工零件1y ；2x 可加工零件
21,y y ；3x 可加工零件321,,y y y ；4x 可加工零件2y ；5x 可加工零件432,,y y y ；6x 可加工零件6
52,,y y y ；现在要求制定一个加工方案，使一台机床只加工一个零件，一个零件只在一台机床上加工，
要求尽可能多地安排零件加工，试把这个问题化为求网络最大流问题，求出能满足上述条件的加工方案。

解:
1
X 2X 3
X 4X 5
X 6
X 1
y 2y 3
y 4y 5
y 6
y t
S
增设起始点s，终点t,将加工过程化成网络流程（设每段弧上最大流量皆为1）：
则尽多安排加工的方案等价于求网络取得最大流时的路径。

利用WinSQB建立模型求解如下（点1~14分别表示点s，X1~X6，y1~y6，t）：
可以得到两种结果（如上），
综上，最佳加工方案为：X1加工y1；X3加工y3；X4加工y2；X5加工y4；X6加工y5或y6共5个零件。