离散数学-谓词逻辑-2 左孝凌

在域{1, 2}上多次量化公式
可以看出，(x)(y)P(x,y)与(y)(x)P(x,y) 不同。有： (y)(x)P(x,y)=(P(1,1)∧P(1,2)) ∨(P(2,1)∧P(2,2)) ∨(P(1,1)∧P(2,2)) ∨(P(2,1)∧P(1,2)) =(x)(y)P(x,y)∨(P(1,1)∧P(2,2)) ∨(P(2,1)∧P(1,2)) 从而有： (x)(y)P(x,y) (y)(x)P(x,y)
在{1, 2}域上谓词公式的解释
谓词逻辑里公式的一个解释, 比命题逻 辑要复杂得多。在已知的论域下，需对公式 中所含的命题变项、自由个体变项、谓词变 项以及函数给出一个具体的设定才构成该公 式的一个解释I, 在I下该公式有确定的真 值。
在{1, 2}域上谓词公式的解释
1. 公式(x)P(x)的一个解释： I:P(1)=T,P(2)=F // P(x):x=1 在这解释I下，(x)P(x)=F 。 2. 公式(x)(y)P(x,y)的一个解释： I:P(1,1)=T,P(1,2)=F,P(2,1)=F,P(2,2)=T//P(x,y):x=y 在这解释I下,(x)(y)P(x,y)=T。 因为对x=1有P(1,1)=T,对x=2有P(2,2)=T。
有限论域下公式(x)P(x)、(x)P(x)的表示法
严格地说，在无穷集{1, 2, …, k, …}上 P(1)∧P(2)∧…∧P(k)∧… P(1)∨P(2)∨…∨P(k)∨… 都是没有定义的, 不是合式公式。 一般地说，谓词逻辑的公式不能转换为命题逻辑公式。
在域{1, 2}上多次量化公式
1.(x)(y)P(x,y)=(y)P(1,y)∧(y)P(2,y) =P(1,1)∧P(1,2)∧P(2,1)∧P(2,2) 2.(x)(y)P(x,y)=(y)P(1,y)∨(y)P(2,y) =(P(1,1)∧P(1,2))∨(P(2,1)∧P(2,2)) 3.(y)(x)P(x,y)=(x)P(x,1)∧(x)P(x,2) =(P(1,1)∨P(2,1))∧(P(1,2)∨P(2,2)) 4.(x)(y)P(x,y)=(y)P(1,y)∨(y)P(2,y) =(P(1,1)∨P(1,2))∨P(2,1)∨P(2,2))
对一个谓词公式来说，如果在它的任一解释I和任一赋 值σ下真值都为真，便称作普遍有效的。 对一个谓词公式来说，如果在它的某个解释I和某个赋 值σ下真值为真, 便称作可满足的。 对一个谓词公式来说，如果在它的任一解释I和任一赋 值σ下真值均为假，便称作不可满足的。
公式的普遍有效性
例 下列公式都是普遍有效的 1. (x)(P(x)∨┐P(x)) 2. (x)P(x)→P(y) (y是x个体域中的一个元 素)。 3. (x)P(x)∨(x)Q(x)→(x)(P(x)∨Q(x))。 例 (x)P(x), (x)P(x)都是可满足的。 例 下列公式都是不可满足的。 1. (x)(P(x)∧┐P(x)) 2. (x)P(x)∧(y)┐P(y)
判定问题
谓词逻辑的判定问题，指的是任一公式的普 遍有效性。若说谓词逻辑是可判定的，就要求给 出一个能行的方法，使得对任一谓词公式都能判 断是否是普遍有效的。所谓能行的方法乃是一个 机械方法，可一步一步做下去，并在有穷步内实 现判断。
判定问题
1.谓词逻辑是不可判定的. 对任一谓词公式而言，没有能行方法判明它是否是普遍有 效的。 然而这并不排除谓词公式有子类是可判定的。象命题逻辑 就可用真值表法判明任一命题公式的永真性。判定问题的 困难在于个体域是个无穷集以及对谓词设定的任意性。 2.只含有一元谓词变项的公式是可判定的。 3.(x1)…(xn)P(x1,…,xn)和(x1)…(xn)P(x1,…,xn) 型公式，若P中无量词和其它自由变项时也是可判定的。 4.个体域有穷时的谓词公式是可判定的。
补充 公式的解释和赋值
一阶逻辑公式的解释（含义）比命题逻辑公式要复杂得 多，因为一阶逻辑公式有非逻辑的符号。对于一阶逻辑 公式的解释依赖于一阶逻辑公式所基于的非逻辑符号。 设有非逻辑符号集L，它由三部分组成 L = C ∪ F ∪ P： 个体常项所组成的集合C = {c1, c2, …, cn, …}； 函数符号所组成的集合F = { f1, f2, …, fn, …}， 函数fi表明它是i元函数； 谓词符号所组成的集合P = {P1, P2, …, Pn, …}， 谓词Pi表明它是i元谓词。
2-5 谓词演算的等价式和蕴含式
谓词逻辑公式也可分为三类，一是普遍有效公式、 一是可满足公式、一是不可满足公式。它们的定义 依赖于谓词公式的解释。 在论域确定之后，一个谓词公式的解释，包括对谓 词变项、命题变项、函数和自由个体的具体设定。 判别一个公式的普遍有效性问题就是判定问题。
公式的普遍有效性
例1： L＝ {F}∪{f1,f2,f3}∪{c} 解释1： I1＝<N,{『F』},{『f1』,『f2』,『f3』},{『c』}> 其中：N为自然数集合； 『F』(m,n):m=n m,n∈N 『f1』:N→N,『f1』(n) = n + 1 n∈N 『f2』:N2→N,『f2』(m,n) = m + n m,n∈N 『f3』:N2→N,『f3』(m,n) = m * n m,n∈N 『c』：N中元素0。
补充 公式的解释和赋值
一阶逻辑中的逻辑符号对于将一阶逻辑应用于 任何问题时都是通用的、不变的，而其中的非 逻辑符号则在不同的应用问题（或者说不同的 讨论范围）中有所不同，可以变化，因此一阶 逻辑语言的表达能力是非常强的，它可通过采 用不同的非逻辑符号来增强自己的表达能力。
补充 公式的解释和赋值
一阶逻辑语言的合式公式随着采用不同的非逻 辑符号而不同，但对于不同的非逻辑符号采用 相同的方式构造公式，一旦非逻辑符号确定之 后，则一阶逻辑公式也就确定下来了，所以可 以说一阶逻辑公式是某个非逻辑符号集生成的 语言。
补充 公式的解释和赋值
在命题逻辑只有逻辑符号，而没有任何非逻辑 符号，命题逻辑中的命题常项和命题变量的区 分是非本质的，对于命题逻辑本身来说没有什 么意义，正如在一阶逻辑中，谓词常项和谓词 变项的区分也是非本质的，对于Βιβλιοθήκη Baidu阶逻辑来说 没有什么意义，但个体常项和个体变项的区分 是本质的，对于一阶逻辑来说有重要的意义。
补充 公式的解释和赋值
给定非逻辑符号集L的一个解释『L』，其论域为D。设 公式集Form(L)中出现个体变元集为: Var = {x1, x2, …, xn, …} 公式集Form(L)在解释『L』下的一个指派σ是函数定义 为： σ : Var → D， σ(xi)称为xi在指派下的值。
补充 公式的解释和赋值
补充 公式的解释和赋值
例1： L＝ {F}∪{f1,f2,f3}∪{c} 解释2： I2＝<Q,{『F』},{『f1』,『f2』,『f3』},{『c』}> 其中：Q为自然数集合； 『F』(a,b):a=b a,b∈N 『f1』:Q→Q,『f1』(a) = a + 1 a∈N 『f2』:Q2→Q,『f2』(a,b) = a + b a,b∈N 『f3』:Q2→Q,『f3』(a,b) = a * b a,b∈N 『c』：Q中元素0。
补充 公式的解释和赋值
例4：分别按照I1和I2的解释，判断下面公式的真值。(作业) (x1)(x2)((x3)F(f3(x1,x3),x2) ∧(x4)F(f3(x2,x4),x1))→F(x1,x2)) 例5：按照I1的解释，判断下面公式的真值。 (x2)F(f3(x1,x2),x2) 按照I1的解释，其含义为“对任意自然数x2，x2与自然数 x1的乘积还为x2” 此时，公式的真值与x1代表的自然数有关， 当x1＝1时，公式为真，否则为假。
补充 公式的解释和赋值
本节，我们将论域限定为有限集，为方便 又不失一般性，用{1, 2, …, k}来代表。通过 有限论域来认识一下全称量词和存在量词。
有限论域下公式(x)P(x)、(x)P(x)的表示法
设：论域 D = {1,2,…,k} 1.(x)P(x) = P(1)∧P(2)∧…∧P(k) 按定义,(x)P(x)就是对D中的一切x都具有性质P,或 说对一切x,P(x)都成立。即P(1),P(2),…,P(k)都成 立, 因此， (x)P(x) = P(1)∧P(2)∧…∧P(k) 也说是说,全称量词是合取词∧的推广。有限域下, (x)P(x)就化成了由合取词描述的命题逻辑的公式。 在任意域下,全称量词的作用“相当于”无限个合取 词的作用。
补充 公式的解释和赋值
例2：在例1的基础上，考察： A=(x1)(x2)(x3)F(f2(x1,x2),x3) 1. 按照I1的解释，A表示为“对任意两个自然数x1,x2,存在自 然数x3，使得x1+x2=x3”，这是正确的，即A的真值为T。 2. 按照I2的解释，A表示为“对任意两个有理数x1,x2,存在有 理数x3，使得x1+x2=x3”，这是正确的，即A的真值为T。 例3：将例2中的x2和x3互换，即： A=(x1)(x2)(x3)F(f2(x1,x3),x2) 则在I1的解释下A为F，在I2的解释下A为T。
补充 公式的解释和赋值
由该非逻辑符号集L生成的项可记为Term(L)，生成的公式 可记为Form(L)。为了确定Form(L)中公式的真值，先要给 出非逻辑符号集L的解释。 非逻辑符号集L的一个解释『L』由四个部分组成： 一个非空集合D，D称为解释『L』的论域； 对于C的个体常项c,解释为『c』∈ D是D中的某个元素； 对于F的n元函数f，其解释是D上的一个n元函数： 『f』: Dn→D； 对于P的n元谓词P，其解释是D上的一个n元关系： 『P』: Dn(= D×…×D)
补充 公式的解释和赋值
一阶逻辑语言的符号包括两类： 1. 非逻辑符号 ① 个体常项:通常用小写字母表示，a,b,c,…,ai,bi,ci,… ② 谓词符号:通常用大写字母表示，F,G,H,…,Fi,Gi,Hi,… ③ 函数符号:通常用小写字母表示，f,g,h,…,fi,gi,hi,… 2. 逻辑符号 ① 个体变项:通常用小写字母表示，x,y,z,…,xi,yi,zi,… ② 量词符号:全称量词、存在量词 ③ 联结符号:、∧、∨、、→ ④ 辅助符号:(、)、,(逗号)
有限论域下公式(x)P(x)、(x)P(x)的表示法
设：论域 D = {1,2,…,k}
2. (x)P(x) = P(1)∨P(2)∨…∨P(k)
按定义，(x)P(x)就是在D中至少有一个x具有性质 P，或说有一个x，使P(x)成立。即P(1)或P(2)或… 或P(k)成立, 即有 (x)P(x) = P(1)∨P(2)∨…∨P(k) 也就是说, 存在量词是析取词∨的推广。有限域 下，(x)P(x) 就化成了由析取词描述的命题逻辑 的公式。在任意域下，存在量词的作用“相当于” 无限个析取词的作用。
在{1, 2}域上谓词公式的解释
3.公式(x)(P(x)→Q(f(x),a))的一个解释： I:f(1)=2,f(2)=1,a=1,P(1)=F,P(2)=T//P(x):x=2(x=1时?) Q(1,1)=T,Q(1,2)=T,Q(2,1)=F,Q(2,2)=T//Q(x,y):x≦y 在这解释I下，(x)(P(x)→Q(f(x),a))=T 。因为 x=1时， P(1)→Q(f(1),1)=T x=2时， P(2)→Q(f(2),1)=T 在一般的论域D上，一个谓词公式解释的个数是无限 的，而且每个解释本身需设定的内容也可理解为是无限的, 包括对P(1),P(2),…,f(1),f(2),…的设定。
补充 公式的解释和赋值
虽然说采用不同的非逻辑符号可生成不同的一阶逻辑公 式，但所有一阶逻辑公式的逻辑符号是相同的，而我们在 这里对一阶逻辑的讨论只是讨论这些逻辑符号的性质，而 与非逻辑符号无关，则我们的讨论对于任意的非逻辑符号 生成的一阶逻辑公式都是成立的。 一阶逻辑语言的直观意义容易理解：“符号表”相当与英 语的字母表，“项”相当于单词或词组，它们不表达完整 的判断，还只是代表个体，而“公式”则代表完整的句 子。而其中的函数符号用来构造复杂的个体（项），谓词 符号则用来构造最原子的公式。