湘教版数学八年级下册第1章直角三角形

2.两点注意： (1)必须在直角三角形中，非直角三角形不具备该性质. (2)只有30°的角所对的直角边等于斜边的一半，其他 度数的角所对的直角边和斜边不满足该关系.
【题组训练】 1.(2019·哈尔滨香坊区期末)如图， 在等边△ABC中，AD=BD，过点D作 DF⊥AC于点F，过点F作FE⊥BC于点E， 若AF=6，则线段BE的长为_______. 世纪金榜导学号
B.AC=2CD D.AB=2BC
知识点一 含30°角的直角三角形性质的应用 (P4动脑筋拓展) 【典例1】如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠B=2∠A，AB=8， CD⊥AB于点D.求BC，AD的长.
【自主解答】∵∠ACB=90°，∠B=2∠A， ∴∠B=60°，∠A=30°， ∴BC= AB=4， ∵CD⊥AB，∠B=60°， ∴∠DCB1=30°，
C.AB=2CD
D.BC=CD
D
★2.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE是边 AB上的中线，如果CD=BE，∠B=40°，那么∠BCE= _______度.
20
★★3.著名画家达芬奇不仅画意超群，同时还是一个 数学家、发明家.他曾经设计过一种圆规.如图所示， 有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计)，一根没 有弹性的木棒的两端A，B能在滑槽内自由滑动，将笔 插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可
直角边
斜边的一半
2.探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边为什么等于斜边的一半. 如图，Rt△ABC中，∠A=30°， BC为什么会等于 AB？
1 2
证明：取AB的中点D，连接CD，则AD=BD， 因为CD为Rt△ABC斜边的中线， 所以_____________. 又因为∠A=30°，所以∠B=_________，
1
2
BC=4.5，
1 2
【母题变式】 (变换条件)(2019·太仓市期末)如图，
在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E， M为BC的中点，BC=10.若∠ABC=50°， ∠ACB=60°，求∠EMF的度数. 世纪金榜导学号
解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，∴BM=FM， ∵∠ABC=50°，∴∠MFB=∠MBF=50°，∴∠BMF=180°2×50°=80°， 同理，∠CME=180°-2×60°=60°， ∴∠EMF=180°-∠BMF-∠CME=40°.
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 第1课时
【知识再现】 1.三角形内角和是__________， 2.若∠A=36°，则它的18余0°角∠B=_________.
54°
【新知预习】阅读教材P1-3，归纳结论：
如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， (1)量一量斜边AB的长度. (2)量一量斜边上的中线CD的长度. (3)于是有CD= ___AB.
∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平
分线，且交AD于P，如果AP=2，则AC的长为 世纪金
榜导学号(
)
A.2 B.4 C.6 D.8
C
★★4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，DE 垂直平分线段AC. 世纪金榜导学号 (1)求证：△BCE是等边三角形. (2)若BC=3，求DE的长.
1 2
总结： 一、直角三角形的性质
1.直角三角形的两个锐角_________. 2.直角三角形斜边上的中线等互于余斜边的_________. 二 1.、直直角角三三角角形形：的有判两定个角_________的三角一形半. 2.三角形一条边上的中线等于这条边的_________， 这个三角形是直角三角形.
15
★2.(2019·合肥瑶海区期末)如图，在△ABC中， AB=AC=2，∠B=75°，则点B到边AC的距离为______.
1
★★3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是直角边AC 上的点，且AD=BD=2a，∠A=15°，求BC边的长.世纪金 榜导学号
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 第2课时
【知识再现】 1.直角三角形的两个锐角_________. 2.直角三角形斜边上的中线等互于余斜边的_________.
一半
【新知预习】阅读教材P4-6，归纳结论： 1.按要求画图：
(1)画∠MON，使∠MON=30°， (2)在OM上任意取点P，过P作ON的垂线PK，垂足为K， 量一量PO，PK的长度，PO，PK有什么关系？
以画出一个圆来，若AB=10 cm，则画出的圆半径为 ______cm.
5
【火眼金睛】 如图，△ABC为等腰直角三角形，AD为斜边BC上的高， E，F分别为AB和AC的中点，试判断DE和DF的关系.
【正解】DE=DF，DE⊥DF. 理由如下：∵AD为BC上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 又∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴DE=BE= AB，DF=CF= AC，
在直角三角形中，如果一个锐角等于
30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.(2019·天津河西区模拟)如图，Rt△ABC中，
∠C=90°，BC=10，∠A=30°，则AC的长度为 (
)
D
A.8 C.10
B.12 D.10
2
3
2.(2019·长沙天心区期末)如图，一棵树在一次强台
风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°
夹角，这棵树在折断前的高度为 (
)
C
A.4米 C.12米
B.8米 D.(3+3 )米
3
3.(2019·南通市海安县期末)在△ABC中，∠ACB=90°，
CD是斜边AB上的高，∠A=30°，以下说法错误的是
(
)
A
A.AD=2CD C.AD=3BD
(3)在OM上再取点Q，R，分别过Q，R作ON的垂线QD，RE， 垂足分别为D，E，量一量QD，OQ，它们有什么关系？ 量一量RE，OR，它们有什么关系？ 由此你发现了什么规律？
直角三角形中，如果有一个锐角等于_________， 那么它所对的___________等于________3_0_°_____.
∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，
DE⊥BC于E，若BE=1，
则AC的长为 (
)
C
A.2
B.
3
C.4
D.2
3
★2.(2019·长春南关区期末)如图，在△ABC中，
∠C=90°，∠B=30°，AC=3.若点P是BC边上任意一
点，则AP的长不可能是 (
)
A.7
B.5.3
C.4.8
D.3.5
A
★3.(2019·北京东城区期末)如图，在△ABC中，
3.(2019·睢宁县期中)已知一个直角三角形的斜边长 为12，则其斜边上的中线长为______.
6
知识点一直角三角形两锐角的关系及应用 (P2议一议拓展)
【典例1】如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，CD是高. (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)∠1和∠A有什么关系？∠2和∠A呢？还有哪些 锐角相等？
1
CD= 2 AB
60°
所以△CDB为_________三角形， 所以BC=_______，等边 所 得 __以 出__结B_C_论=___：_______C___12D___A___B________.________________________________________________.____
为(
)
A.20° B.30° C.40° D.70°
A
★2.直角△ABC中，∠A-∠B=20°，则∠C的度数是 _____________. ★ ∠2★A0∶°3.∠或在B9∶下0°∠列C条=件1∶：2①∶∠3，A+③∠∠B=A∠=9C0，°②-∠B， ④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 ___________(填序号). 世纪金榜导学号
1
1
2
2
∵AB=AC，∴DE=DF， ∵DE=BE，DF=CF，∴∠B=∠BDE=45°，∠C=∠CDF=45°， ∴∠EDF=180°-45°-45°=90°， 即DE⊥DF.
【一题多变】 如图，BE，CF分别是△ABC的高，点M为BC的中点， EF=6，BC=9，求△EFM的周长.
解：∵BE，CF分别是△ABC的高， ∴∠BFC=∠BEC=90°， ∵M为BC的中点，∴FM= BC=4.5，EM= ∴△EFM的周长=FM+EM+EF=15.
解：(1)在△ABC中， ∠B=180°-∠ACB-∠A=180°-90°-30°=60°. ∵DE垂直平分AC， ∴EC=EA，∴∠ECA=∠A=30°， ∴∠BEC=60°， ∴△BCE是等边三角形.
(2)由(1)得，EC=BC=3， 在Rt△ECD中，∵∠ECD=30°， ∴DE= EC= ×3= .
2
∴BD= BC=2， ∴AD=AB1-BD=8-2=6.
2
【学霸提醒】 含30°角的直角三角形性质的“两种应用” 1.证明：用来证明三角形中线段的倍分问题. 2.求解：知道30°角所对的直角边的长，求斜边的长， 或知道斜边的长，求30°角所对的直角边的长.
【题组训练】
1.(2019·河池期末)如图，在△ABC中，
∵ ∴∠∠ ∠B12+=∠∠2A=，9∠0°1=，∠B.…………等角的余角相等
【学霸提醒】 在一个题目中，若垂直条件较多，可考虑两个方面 1.利用同角(或等角)的余角相等证两个角相等. 2.利用三角形的面积(即等积的思想)联系图中的线段.
【题组训练】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=70°，则∠B的度数
1
1
3
2
2
2
知识点二 直角三角形性质的综合应用 (P5例3拓展) 【典例2】如图，在△ABC中，AB=AC， 点D是BC上一点，DE⊥AB于E，FD⊥BB=AC，∴∠B=∠C， ∵DE⊥AB，FD⊥BC， ∴∠BED=∠FDC=90°， ∴∠1+∠B=90°，∠3+∠C=90°，
互余
一半
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.(2019·绍兴期末)在一个直角三角形中，有一个锐
角等于35°，则另一个锐角的度数是 (
)
A.75° B.65° C.55° D.45°
C
2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是
(
)
AB..∠ ∠DAA+-∠∠BB==∠∠CC
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 D.∠A=∠B=3∠C
【学霸提醒】 直角三角形斜边上中线的应用
1.证明线段相等或倍分关系. 2.证明角相等. 3.其逆定理可作为证明直角三角形的理论依据.
【题组训练】
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
CD是斜边AB上的中线，那么下列结
论错误的是 (
)世纪金榜导学号
A.∠A+∠DCB=90° B.∠ADC=2∠B
【尝试解答】(1)∵CD是高， ∴∠ADC=∠BDC=_________，…………垂直定义 又 __∵__∠__A_C_B_=_9，0°__，__∴_9_0图_°_中__有，3_个__直__角__三__角_.形，分别是 ……………………………………直角三角形的定义
△ADC
△BDC
△ACB
(2)∵∠ADC=∠BDC=90°，∴∠1+________=90°， ____ +∠2=90°，………………直∠角A三角形的性质
∴∠1=∠3， ∵G是直角三角形FDC的斜边中点， ∴GD=GF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2， ∵∠FDC=∠2+∠4=90°， ∴∠1+∠4=90°，
∴∠2+∠FDE=90°， ∴GD⊥DE.
【学霸提醒】 直角三角形性质的应用及注意事项
1.性质应用： 30°角的直角三角形的性质是直角三角形中含有特殊 度数的角(30°或60°)的特殊定理，反映了直角三角 形中边角之间的关系，主要作用是解决直角三角形中 的有关计算或证明问题.
①②③
知识点二 直角三角形斜边上中线的性质 (P3探究拓展)
【典例2】 如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直 角三角形，△BCD中，∠DBC=90°， ∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，求∠AFB 的度数. 世纪金榜导学号
【自主解答】∵∠DBC=90°，E为DC的中点， ∴BE=CE= CD， ∵∠BCD=60°1，∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°， ∵△ABD是等2腰直角三角形，∴∠ABD=45°， ∴∠ABF=75°，∴∠AFB=180°-90°-75°=15°， 故∠AFB的度数为15°.