DLT算法

DLT 算法
1. DLT 的基本公式
由空间射影定理所知：坐标变换时点的齐次坐标的变换是以线性齐次关系表示的，即为：⎪⎪
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⎪⎪⎬⎫
+++=+++=+++=+++=443424141433323131423222122413121111''''x D x C x B x A x x D x C x B x A x x D x C x B x A x x D x C x B x A x （2-1） 如用非齐次坐标来表示射线变换公式，则可用式（2-1）中的第四个式子逐项去除前三个式子，并令
'
'',''',''',,,434241434241x x z x x y x x x x x Z x x Y x x X ======（2-2） 将式（2-2）代入式（2-1），可得：
⎪⎪⎪
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++++++=++++++=++++++=
444433334444222244441111'''D Z C Y B X A D Z C Y B X A z D Z C Y B X A D Z C Y B X A y D Z C Y B X A D Z C Y B X A x （2-3） （2-3）式为射影测量中表示三维的射影变换，如若表示二维的射影变换，即点)',','(z y x 满足某一平面方程，设这一平面方程为0'''=+++d cz by ax ，即'z 能由'x 、'y 表示，即（2-3）式中前两式与（2-3）式中三式等价。

当（2-3）式中前两式分子、分母同除以4D ，即有下式成立：
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++++++=++++++=1'1'111098765
111094321Z L Y L X L L Z L Y L X L y Z L Y L X L L Z L Y L X L x (2-4) 式（2-4）即为直接线性变换的基本公式，形式上与由共线条件方程导出的完全一样，但它比惯用的共线条件方程式具有一般的意义。

从整个推导过程可知，式中包含有11个L 系数是客观存在且相互独立的。

要解求11个L 系数，至少需6个控制点。

2、内方位元素的意义
1）0x 、0y 的解算
在式（2-4）中，当0111109=+++Z L Y L X L 时，所有满足此方程的点成像在无穷远点，可见这是一个通过透视中心且与像平面平行的平面。

当04321=+++L Z L Y L X L ，08765≠+++L Z L Y L X L ，0111109≠+++Z L Y L X L ，
0'≠x ；可见04321=+++L Z L Y L X L 平面通过透视中心且通过像平面上的y 轴。

该平面的法矢量为{}321,,L L L ,垂直于y 轴。

同理08765=+++L Z L Y L X L 平面通过透视中心且通过像平面上的x 轴。

该平面的法矢量为{}765,,L L L ,垂直于x 轴。

同时满足以上三平面方程的点，只有透视中心，因而透视中心的位置，即摄站点是下面方程组的解。

⎪⎭
⎪⎬⎫=+++=+++=+++01001110987654321S S S S S S S S S Z L Y L X L L Z L Y L X L L Z L Y L X L (2-5)
由以上讨论可知，通过透视中心，平面0111109=+++S S S Z L Y L X L 的法线方程为：11
109L Z z L Y y L X x S S S -=-=-(2-6) 将这条法线称之为主轴，与主光轴区别开来，对于一些相机，如非量测用相机，主光轴不一定与像平面正交，而主光轴总是与像平面正交的。

主轴与像平面的交点，称之为垂足，与像主点区别。

对于非量测用摄影机，此垂足点与所定义的像主点不重合。

利用（2-4）式求垂足，即为0x 、0y 。

将（2-6）式代入（2-4）式，并顾及（2-5）式，则可得。