探究四点共圆的条件--教学设计

数学活动探究四点共圆的条件

一、内容和内容解析

1．内容

四点共圆的条件．

2．内容解析

四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究．圆内接四边形对角互补，相应地，对角互补的四边形的四个顶点共圆．

在四点共圆的条件的探究过程中，通过对特殊的四边形(平行四边形、矩形、等腰梯形)的四个顶点组成的四边形等四边形的探究，发现一般的规律(过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆)，体现了特殊到一般的思想．同时，在研究的过程中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想和方法．另外，学生经历探究四点共圆的条件这一数学活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，有利于数学活动经验的积累．

基于以上分析，确定本节课的教学重点：四点共圆的条件的探究．

二、目标和目标解析

1．目标

(1)理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件．

(2)通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验．

2．目标解析

达成目标(1)的标志是：知道对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，会应用反证法证明这一结论，能应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否可以作一个圆．达成目标(2)的标志是：通过画图、观察、测量、比较、分析平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的四个顶点组成的四边形等特殊的四边形的四个顶点能否共圆，得到对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论；将证明四点共圆的问题转化为不共线的三点可以确定的圆与第四个顶点的关系，并应用圆内接四边形对角互补获得证明；在解决问题的过程中，积极思考，勇于质疑，体会发现问题，解决问题、有效地呈现活动结果等过程是数学活动的基本过程．

三、教学问题诊断分析

学生在发现问题的阶段可能会受过任意一个三角形的三个顶点作一个圆的影响，去判断第四个顶点是否在这个圆上．解决这一问题的关键是引导学生从圆的定义或特殊的四边形出发，从特殊到一般来探究问题．通过分析平行四边形、矩形、菱形获得四边形的四个顶点共圆与四边形的边长无关的猜想，通过对等腰梯形的探究获得四边形的四个顶点共圆与四边形的内角是否是直角无关，通过对四点不共圆的菱形四个顶点的探究获得四边形的四个顶点共圆与四边形是否存在一组对边平行无关，进而联想圆内接四边形对角互补，获得猜想．

另外，猜想的证明要用到反证法，学生可能不知如何入手，猜想的证明对学生来说是难点，关键是从过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆入手，把四点共圆问题转化成点与圆的关系，再由圆内接四边形对角互补得到证明方法．

本节课的教学难点是：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明．

四、教学过程设计

1．创设情境，发现问题

引入延吉一市民想在自家农场建了个农家乐,为使游客散步、乘凉方便同时又不失美观，他经过空地内的四棵树，在其内侧铺一条圆形的石子路，同学们知道他是如何做成的吗？他是怎么知道经过这四棵树一定能铺成一条圆形的石子路呢?

问题1为了解决这个问题，我们回顾一下都储备了哪些有关的知识，过一点A可以作圆吗？能做几个？(图1(1))；经过两点A，B可以作圆吗？能做几个？(图1(2))；经过不在同一直线的三个点A，B，C可以作圆吗？能几个圆？(图1(3))．

(1) (2) (3)

图1

教师追问：经过四棵树铺设石子路这一现实生活中遇到的问题，可以转化为一个什么样的数学问题呢？

师生活动：教师提出问题，学生思考，回答问题．

设计意图：从经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线的三个点圆、三角形与圆的关系入手，由经过三角形三个顶点可以作一个圆想到经过四边形的四个顶点是否可以作一个圆，从学生已有的知识经验出发，获得探究问题的方向．同时也渗透将探究四点共圆问题转化成三点共圆的问题．为后继猜

想的证明作适当的知识准备．将实际问题转化为一个数学问题,培养学生的应用意识.

2．合作探究获得猜想

问题1.为了解决这一问题，课前，我们给同学们布置了作业，尝试着过给出的四个四边形的顶点做圆，结果如何呢？

（1）（2）（3）（4）

图2

师生活动:在学生说出结果后，教师通过多媒体展示结果.

教师追问1:怎么判断这四点共圆或不共圆呢？

师生活动:教师提出问题,学生独立思考后回答.

设计意图:在回答问题的过程中,学生可以发现能找到一点（圆心）到四顶点距离相等，则可判定四点共圆,这是判断n个点是否共圆的重要依据;也可以判断第四点在不在其他三点确定的圆上来确定四点是否共圆。

问题2:看来，有些四边形的四个顶点可以共圆，有些却不行，满足什么条件的四边形的四个顶点会共圆呢？你能借助这几幅图说说你的想法吗？

师生活动：学生分成小组，共同探究教师提出的问题(过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗)，学生代表展示小组讨论的过程与结果．教师重点关注学生自主探究的步骤和方法．

教师针对学生的不同方法、不同的表达形式给出指导.这一环节学生思维比较发散，探究角度较多。有些学生会从定义的角度出发,应给予肯定；有些学生会从圆内接四边形的性质定理的角度出发，想到性质定理的逆命题可能判定四点共圆，这是我们研究几何的思路；还有些学生会从特殊图形的角度出发，分析矩形，等腰梯形，平行四边形等特殊图形，教师应引导学生寻找不同图形的共性因素；还有些学生会从四边形的主要特征边、角、对角线入手，在不断的寻找—否决—再寻找—再否决的活动过程中，筛选获得真正的核心条件。有些学生可能会答错，在互相纠错的过程中恰能体现学生的思维过程，同时或许也可引出新的思考角度。学生从多个角度探究找到了一个猜想：对角互补的四边形，四个顶点在同一个圆上。

设计意图：让学生学会利用载体去对问题进行研究，在经历观察、作图、测量、猜想、对比、验证等活动感受从特殊到一般的研究问题方法，一步一步地向探究的目标靠近．在探究过程中学生会发现有的四