泛函分析课程重点

泛函分析单元知识总结与知识应用

数学与计算科学学院 数学与应用数学 一、单元知识总结

第七章、 度量空间和赋范线性空间

§1 度量空间

§1.1定义：若X 是一个非空集合，:d X X R ⨯→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ∀∈，有（1）(,)0d x y =当且仅当x

y =；

（2）(,)(,)d x y d y x =； （3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+，则称d 为X 上的

度量，称(,)X d 为度量空间。

例：1、设X 是一个非空集合，,x y X ∀∈，当1,(,)0,=x y d x y x y ≠⎧=

⎨⎩当当，则(,)X d 为离散的度量空间。

2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i i i i d x y ξηξη∞

=∑是度量空间 3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t A

d x y x y ∈=是度量空间

4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t b

d x y x y ≤≤=是度量空间 5、空间2l ，122=1(,)[(-)]

k k i d x y y x ∞=∑是度量空间

§2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间

§2.1收敛点列：设

{}n x 是(,)X d 中点列，如果∃x X ∈，使n lim (,)=0n d x x →∞，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列。

例：1、n n x R ∈，

{}n x 按欧氏距离收敛于x 的充要条件为1,i n ∀≤≤各

点列依分量收敛。 2、[a,b]C 中(,)0k d x y x x →⇔→（一致）

3、可测函数空间()M X 中点列(,

)0n n d f f f f →⇔⇒（依测度） §3 连续映射

§3.1对0Tx 的每个ε-领域U ，必有0x 的某个δ-领域V 是TV U ⊂,其中TV 表示V 在映射T 作用下的像。

§3.2定理1 设T 是度量空间(,)X d 到度量空间(,)d Y d 中的映射，那么T 在0x X ∈连续的充要条件为当0()n x x n →→∞时，必有0T ()n x Tx n →→∞

定理2 度量空间X 到Y 中映射T 是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像-1T M 是X 中的开集。

§4 柯西点列和完备度量空间

§4.1定义：设(,)X X d =是度量空间，{}n x 是X 中点列，如果对0ε∀>，∃正整数()N N ε=,使当,n m N >时，必有(,)n m d x x ε<，则称{}n x 是X 中的柯西点列，如果度量空间(,)X d 中每个点列都在(,)X d 中收敛，那么称(,)X d 是完备的度量空间。

例：1、[a,b]C 是完备度量空间

2、2l 是完备度量空间

3、n

R 是完备的度量空间

注意：1、Q 全体按绝对值距离构成的空间不完备

2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列

3、实系数多项式全体[,]P a b ，[,]P a b 作为[a,b]C 的子空间不是完备度量空间

§4.2定理1 完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要条件是M 为X 中的闭子空间。（即完备性关于闭子空间具有可遗传性）

§5 度量空间的完备化

§5.1定理1 （度量空间的完备化定理）设(,)X X d =是度量空间，那么一定存在一完备度量空间(,)X X d =，使X 与X 的某个稠密子空间W 等距同构，并且X 在等距同构意义下是唯一的，即若(,)X d ∧∧也是一万倍度量空间，且X 与X 的

某个稠密空间等距同构，则(,)X d ∧∧与(,)X d 等距同构。

定理'1 设(,)X X d =是度量空间，那么存在唯一的完备空间(,)X X d =，使X 为X 的稠密子空间。

§6 压缩映射原理及其应用

§6.1定义：设X 是度量空间，T 是X 到X 中的映射，如果,01αα∃<<，.s t ,x y X ∀∈，(,)(,)d Tx Ty d x y α=，则称T 是压缩映射。

§6.2定理1（压缩映射定理）设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点（就是说，方程Tx x =，有且只有一个解）

。 定理2（隐函数存在定理）设函数(,)f x y 在带状域,a x b y ≤≤-∞<<∞中处处连续，且处处有关于y 的偏导数'(,)y f x y 。如果∃常数m 和M ，满足'0(,),y m f x y M m M <≤≤<，则方程(,)0f x y =在区间[,]a b 上必有唯一的连续函数()y x ϕ=作为解：(,())0,[,]f x x x a b ϕ≡∈

§7 线性空间

§7.1定义：设X 是一非空集合，在X 中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与X 中元素的乘法运算，满足下列条件：（一）关于加法：(1)交换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3）x X ∀∈，均有1x x =，满足这样性质的集合X 称为线性空间。

例：1、n R 按自身定义的加法和数乘成线性空间

2、[a,b]C 按自身定义的加法和数乘成线性空间

3、空间(0)p l p >按自身定义的加法和数乘成线性空间

§8 赋范线性空间和巴拿赫空间

§8.1定义：设X 是实（或复）的线性空间，如果对x X ∀∈，都有确定的一个实数，记为x 与之对应，并且满足：

1o 0x ≥，且0x =等价于0x =；

（非负性）