第三章误差及其检验
第3章 测量误差分析及处理
( 1 2 n ) i
3、几何综合法
绝对误差 相对误差 21 22 2n
2 i 2
i
2 2 2
1 2 n
第三节 随机误差
或然率曲线或概率密度曲线
令真值为A，算数平均值为L，观测值为l，误差△=l-A，偏差 i =l-L，则有
i li A
i li L
l
得： 将L代入 i
i
li nA nL 代入 nii
li nL
i
li nA
i
L
A
li L 得
i i
热能与动力工程 测试技术
第三章 测量误差分析及处理
第一节 误差的来源与分类
一、误差的来源与误差的概念
被观测量客观上存在一个真实值，简称真值。对该量进行观测得到 观测值。观测值与真值之差为真误差，即
真误差=观测值-真值
lA — 真误差 l — 观测值 A — 真值
在测量工作中，对某量的观测值与该量的真值间存在着必然的差异，这 个差异称为误差。但有时由于人为的疏忽或措施不周也会造成观测值与 真值之间的较大差异，这不属于误差而是粗差。误差与粗差的根本区别 在于前者是不可避免的，而后者是有可能避免的。
由于系统误差一般有规律可循，其产生的原因一般也 是可预见的，所以系统误差一般可通过改进测量技术、 对测量结果加修正值等手段来减小。通常处理系统误差 的方法有以下几种： （1）消除系统误差产生的根源。 （2）在测量结果中加修正值。确定出较为准确的修正公 式、修正曲线或修正表格，以便修正测量结果。 （3）在测量过程中采取补偿措施。 例如：在用热电偶测温时，采用冷端温度补偿器或冷端 温度补偿元件来消除由于热电偶冷端温度变化所造成的 系统误差。 （4）采用可以消除系统误差的典型的测量技术。 如采用零值法、替代消除法,预检法等。
第三章抽样误差与假设检验详解演示文稿
态分布N (0,1)。
（二）t分布
由于在实际工作中，往往σ是未知 的，常用s作为σ的估计值，为了与Z变 换区别，称为t 变换t = x ，统计量 t 值的分布称为t 分布。 sx
t分布有如下特征
1．以0为中心，左右对称的单峰分布；
2．t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确切地 说与自由度ν）大小有关。自由度ν越小，t分布曲 线越低平；自由度ν越大，t分布曲线越接近标准 正态分布（u分布）曲线，如图4.1。
从什么分布，X 的抽样分布均近似正态。
抽样分布
图 抽样分布示意图
二．均数的抽样误差
如上所述，数理统计研究表明，抽样 误差具有一定的规律性，可以用特定的指 标来描述。这个指标称为标准误 （standard error SE）。
标准误除了反映样本统计量之间的离 散程度外，也反映样本统计量与相应总体 参数之间的差异，即抽样误差大小。
标准误的计算公式：
x / n
sx
s n
•意义：反映抽样误差的大小。标准误越小， 抽样误差越小，用样本均数估计总体均数的 可靠性越大。
•与样本量的关系：S 一定，n↑，标准误↓
例4.1 在某地随机抽查成年男子140人， 计算得红细胞均数4.77×1012/L，标准差 0.38 ×1012/L ，试计算均数的标准误。
第三章抽样误差与假 设检验详解演示文稿
优选第三章抽样误差 与假设检验
第三章 抽样误差与假设检验
熟悉： 1、抽样误差的概念 2、引起抽样误差的原因 3、均数的标准误的计算 4、标准差和标准误的区别
第一节 抽样分布与抽样误差
一．抽样研究 （一）抽样研究的意义
总体
第三章分析化学中的误差与数据处理
d
1 5
（|0.03|%+|0.01|%+|-0.15|%+|0.17|%+|-0.08|%）
= 0.09%
d
r
0 . 09 % 38 . 01 %
×100% = 0.24%
河北农大化学系 臧晓欢
S
( 0 . 03 %)
2
( 0 . 01 %)
2
( 0 . 15 %) 5 1
河北农大化学系 臧晓欢
三、系统误差与随机误差
系统误差 （Systematic error)—某种固定的因素 造成的误差。 随机误差 （Random error)—不定的因素造成的 误差
过失（Gross error, mistake)
河北农大化学系 臧晓欢
1.系统误差
某些固定的原因造成的误差 特点：a.对分析结果的影响比较恒定；单向性 b.同一条件下，重复测定，重复出现；重现性 c.大小正负可以测定； 可测性 d.用适当方法进行校正或加以消除。 （1）方法误差（Method error）——分析方法本身 不够完善 （反应不完全、终点不一致） 例： 重量分析中沉淀的溶解损失； 滴定分析中指示剂选择不当。
河北农大化学系 臧晓欢
例3-2 测定某亚铁盐中铁的质量分数（%）分别为38.04, 38.02, 37.86, 38.18, 37.93。计算平均值、平均偏差、相 对平均偏差、标准偏差、相对标准偏差和极差。 解：
x 1 5
（38.04+38.02+37.86+38.18+37.93）%=38.01% d1=38.04%-38.01% = 0.03%; ……. d5=37.93%-38.01% =－0.08%;
第三章系统误差
P(T T T ) 1
所以（T-，T+）是T的1-α的臵信区间，给定显著性水平α，便 可求得相应的臵信区间。
例：对某量测得两组数据，判断两组间有无系统误差
xi 14.7, 14.8, 15.2, 15.6 yi 14.6, 15.0, 15.1
将两组数据混合排列成下表
若 K 2 3N 2 应怀疑存在系统误差
6、秩和检验法——用于检验两组数据间的系统误差
秩和检验是一种非参数检验法。它主要研究两个样本是否来 自同一总体，也就是检验两个总体是否相同的问题。严格地讲， 秩和检验只能解决两个总体分布的中心位臵是否相同的问题。 秩和检验最早是由wilcoxon做出的，后来Mann和Whitney算 出了小的n1和n2的T分布，并且找到了一般情况下的T的矩，证明 了对于大的T的n1和n2，T近似服从正态分布。
vi v i '
i 1 i 1 K
K
j k 1 n j k 1
v
n
j K
v ' ( l
j i 1
i
x )
j k 1
( l
n
j
x )
当测量次数足够多时有
v ' v
i 1 i j k 1
K
n
j
'0
设独立测得两组数据为：
x1, x2 , xn1
y1, y2 , yn 2
令变量
t (x y) n1n2 (n1 n2 2)
2 2 (n1 n2 )( n1S1 n2 S 2 )
由数理统计知，变量t是服从自由度为( n1 n2 2 )的t分布变量 其中
第三章系统误差
第二节 系统误差的发现方法
由于形成系统误差的原因复杂，目前尚没有能够适用 于发现各种系统误差的普遍方法。但是……
实验对比法 残差观察法 残余误差校核法 发现系统误差的方法 计算数据比较法 误差的直接计算法 秩和检验法 t检验法
1、实验对比法
在确信没有明显的变化系统误差的前提下，通过改变产生 系统误差的条件（通常是改用更高准确度的仪器和基准），在 不同的条件下进行检定性测量，通过比较来发现系统误差。
已知：n1=3，n2=4 计算秩和：T=1+4+5=10
查表得：T-=7，T+=17 因为 （T-=7）< (T=10) < (T+=17)
故无根据怀疑两组间存在系统误差。
7、t 检验法
当两组测量数据服从正态分布，或偏离正态不大但样本数不 是太少（最好不少于20）时，可用t检验法判断两组间是否存在 系统误差。
所以得：
vi
i 1 K i 1
K
j K 1
v
n
j
(li x )
j K 1
(l
n
j
x )
若上式的两部分值Δ显著不为O，则有理由认为测量列存在 线性系统误差。这种校核法又称“马列科夫准则”，它能有效 地发现线性系统误差。但要注意的是，有时按残余误差校核法 求得差值Δ=0，仍有可能存在系统误差。
则有：
P(T T T ) 1
所以（T-，T+）是T的1-α的臵信区间，给定显著性水平α，便 可求得相应的臵信区间。
例：对某量测得两组数据，判断两组间有无系统误差
xi 14.7, 14.8, 15.2, 15.6 yi 14.6, 15.0, 15.1
心理测量学第三章误差及检验
复本 内部一致性：分半、同质性 评分者
测验条件、样本性质及估计方法不同,信度不同.
小结与问题
跨时间 一致性 试题之间 有何关系？
跨形式 一致性
（三）内部一致性信度
含义 测验 各题间 一致性
题目 一致 性
同质性 信度
类型
分半 信度
1、分半信度（Split-half raliablity）
奇偶题 分半
难易：低高 两半相似： M、S 项目组间相关 分布常态
两半相关：rhh 校 正：rnn
S S S
2 X 2 T
2 E
随机误差
在一次测验中，一个团体的实测分数的变 异数是由与测量目的有关的变异数、稳定但 出自无关来源的变异数和偶然但出自无关来 源的变异数所决定的。
S S S
2 X 2 T
2 E
S S S
2 T 2 V 2 X 2 V
2 I 2 I 2 E
S S S S
含义 两等值测验 最短时间内 对同组对象 施测结果r
等值 性
程序
误差 内容 取样
A卷
最 短 时 距
B卷
复本等值的条件
● 各测验测量的是同一种心理特质；
● 各测验具有相同的内容和形式；
● 各测验的题目不应重复；
● 各测验题目数量相等；各测验难度和区分度大体相同； ● 各测验的分数分布（标准差和平均数）大体相同；
含义 同一测验 同组对象 前后测2次 相关系数 程序 误差
A卷
一 定 时 距 太短 练习效应 记忆效应
时间
太长 身心变化
稳定 性
A卷
使用条件
第一，所测的心理特性必须是稳定的。 第二，遗忘和练习的效果基本上相互抵消。 第三，所测心理特质在两次施测的间隔时间内 没有获得更多的学习和训练。 第四,报告结果时要报告两次测验的间隔及有 关经历.
分 析 化 学第三章 误差和分析数据处理
（二）已知样本标准偏差（s） 对于有限次测定，须根据t分布进行统计处理 1. 使用单次测定值
μ = x t p,f s
2. 使用样本平均值
μ = x t p,f s x = x t p,f
t值可通过p90表4-3查得
s n
t分布的意义 真值虽然不知，但可以通过由有限次
测定值计算出一个范围，它将以一定的置
x-μ u= σ
y = Φ(u) = 1 e 2π
u2 2
标准正态分布曲线
【特点】曲线的形状与µ 和σ的大小无关。
三、随机误差的区间概率
正态分布曲线与横坐标之间所包围的总面积，
表示来自同一总体的全部测定值或随机误差在上
述区间出现的概率总和为100%。
+
-
1 + Φ(u)du = e du = 1 2π -
正态分布曲线
（二）正态分布曲线的讨论
1.测定值的正态分布（x分布）
（1）x = μ时，其概率密度最大，曲线以x=μ
这一点的垂线为对称轴分布。 （2）精密度不同的两组测定值的正态分布曲 线，σ 值较小的相应的曲线陡峭，σ 值较大的曲 线较平坦。(☆)
（3）µ 和σ是正态分布的基本参数，一旦µ和
σ确定后，正态分布曲线的位置和形状就确了，这
二、正态分布
（一）正态分布曲线的数学表达式 测定次数无限增加，其测定值服从正态分布 的规律，其数学表达式为：
1 y = f(x) = e σ 2π (x-μ)2 2σ 2
σ-总体标准偏差，µ -总体平均值，在无系统 误差存在时，µ 就是真值T。y为测定次数无限时，
测定值xi出现的概率密度。 以x横坐标，y纵坐标 作图，得测定值的正态分布曲线。
分析化学第三章 分析化学中的误差与数据处理_OK
分类
方法误差、仪器与试剂 环境的变化因素、主
误差、主观误差
观的变化因素等
性质
重现性、单向性（或周 服从概率统计规律、
期性）、可测性
不可测性
影响
准确度
精密度
消除或减 小的方法
校正
增加测定的次数 12
系统误差的校正
• 方法系统误差——方法校正 • 主观系统误差——对照实验校正（外检） • 仪器系统误差——对照实验校正 • 试剂系统误差——空白实验校正
误差
10
• 随机误差： • 由某些不固定偶然原因造成，使测定结果在一定范围内波动，大小、正负不定，难以
找到原因，无法测量。 • 特点：不确定性；不可避免性。 • 只能减小，不能消除。每次测定结果无规律性，多次测量符合统计规律。 • 过失、错误误差
11
系统误差与随机误差的比较
项目
系统误差
随机误差
产生原因 固定因素，有时不存在 不定因素，总是存在
相对误差: 绝对误差占真值的百分比,用Er表示
Er =E/xT = x - xT /xT×100％
2
相对误差反映误差在真值中所占的比例
误差以真值为标准
真值：某一物理量本身具有的客观存在的真实值。真值是
未知的、客观存在的量。在特定情况下认为 是已知的：
理论真值（如化合物的理论组成）(如，NaCl中Cl的 含量） 计量学约定真值（如国际计量大会确定的长度、质 量、物质的量单位等等） 相对真值（如高一级精度的测量值相对于低一级精 度的测量值）（例如，标准样品的标准值）
6 15.99 34 0.172
7 16.02 55 0.278
8 16.06 40 0.202
9 16.09 20 0.101
3心理测量3 测量的误差及其检验
3.2.4 影响测验信度的因素
信度是测验过程中随机误差大小的反映。 随机误差大，信度就低，随机误差小，信度就 高。 因此，在测验过程中凡能引起测量随机误 差的因素——被试、主试、测量工具本身、施 测情境等都会影响测验的信度(前面已有所提 到)。除此之外，被试样本团体的性质、测验 题数的多少、测题的难度等也是重要的影响因 素。
19
半分信度（split-half reliability） 用一种测验施测，然后把测验分成两个 等值的一半，所有被试在两半测验上得分 的相关系数（计算方法同前）便为半分信 度。 由于计算出来的相关系数只是半个测验的 相关系数，要得到整个测验的信度估计， 还需用斯尔皮曼—布朗公式加以校正 (P.45)。
23
半分信度实际上是对内部一致性的一种粗 略估计方法，但因半分的方法多种多样， 用每种半分方法求得的信度值会有所不同。 一般采取其它方法来估计内部一致性信度。 （p.46、47） 即通过估计测验各项目的得分与测验总分 之间的总体相关，去推断测验的内部一致 性。
24
评分者信度 在一些测验如投射测验、创造力测验中， 主观题的评分依赖于评分者的判断，不同 的评分者评判结果往往不一致。这也是产 生测量误差的重要来源之一。因此有必要 考虑评分者信度。 评分者信度是指不同评分者对同一份测验 评分的一致性。当测验结果是由评分者主 观评定时，评分者信度尤为重要。 例：P.48
17
复本信度 (Alternate-form reliability) 用两个等值测验对同一组被试进行测 量，两个等值测验分数之间的相关系数便 为复本信度。又称等值性系数。
用皮尔逊的积差相关公式计算 P.43
18
所谓等值测验，即两个测验是测量相同的 心理特质且在题目素材、数量题型、难度、 区分度等方面均能逐一匹配的测验。两个 等值测验可以连续施测，也可以间隔一段 时间施测。采用复本信度的前提条件是必 须能编制出两个等值测验。 它也有一定的局限性：它不能完全排除练 习和记忆的影响，一些解题的策略等技能 技巧会产生迁移效应；编制真正的等值测 验（复本）相当困难，许多测验没有复本。
无机化学第三章误差小结
4、置信区间和置信度
位数确定
5、有效数字
修约规则：“四舍六入五成双” 运算原则：加减法、乘除法
绝对误差
（二）公式
E = x – xT
Q检验法－－－ 取舍可疑值
排列各数:小大；
相对误差
RE＝ E 1000‰ xT
Q计＝
x疑 xmax
x邻 xmin
个别测定值的绝对偏差 个别测定值的相对偏差
di xi x
A.增加平行测定次数 B. 对照实验 C.空白实验 D. 加入回收法 3、按有效数字运算规则（0.85×lg 2.13）÷（2.314 + 6.5）的结 果保留的有效数字位数是（ ）
A. 1位 B. 2位 C. 3位 D. 4位
判断题
1、对某项测定来说，它的系统误差大小是可以测量的。 2、偶然误差的分布有一定的规律，因此可以通过校正消除。 3、滴定分析的相对误差一般要求为0.1%，滴定时耗用标准溶液的 体积应控制在15-20mL。 4、多次分析结果的重现性越好,则分析的准确度越好。 填空题
(±0.01/25.56) ×1000‰
“四舍六入五成双”
当尾数≤4时则舍，尾数≥6时则入。 当尾数=5而“5”后面还有不全部是零的任何数时，皆入。 尾数=5而“5”后面的数字全部为0时，若“5”前面的数字 为偶数则舍，如为奇数则入。
有效数字运算原则
加减法
按照小数点后位数最少的那个数(绝对误差最大)来 保留计算结果的小数点后位数
可减小
随着测定次数的增加，偶然误差的算 多次测量求平均值 术平均值逐渐趋近于0。
有 有效数字一般包括全部准确数 + 最末一位可疑数
效 可疑数：通常有±1单位的误差。 例如：25.56mL
第三章误差和分析数据的处理
第二节
测定值的准确度 与精确度
一、准确度与误差 二、精密度与偏差 三、准确度与精密度的关系
2013-8-6
一、准确度与误差
(一)准确度—分析结果(X)与真实值(T)的接近程度 误差—衡量准确度高低的标志(取决于系统误 差和随机误差) （二）误差的表示 误差可以用绝对误差和相对误差来表示。 绝对误差 相对误差 Ea＝X－T Ea Er＝ 100% T
2
相对标准偏差(即变异系数)
2013-8-6
Sr
S
X
100%
三.准确度和精密度的关系
准确度和精密度——分析结果的衡量指标。 (1)准确度──分析结果与真实值的接近程度； 准确度的高低用误差来衡量；主要受系统误差和 随机误差的综合影响。 (2)精密度──几次平衡测定结果相互接近的程 度；精密度的高低用偏差来衡量；主要受随机误 差影响。
2013-8-6
第三节 随机误差的 正态分布
规律： (1)正误差和负误差出现 的几率相等； (2)小误差出现的频率较 高，而大误差出现的频 率较低，很大误差出现 的几率近于零。 (3)平均值出现的频率最 高。在消除了系统误差 后，平均值就是真值。
2013-8-6
第四节
有限测定数据的 统计处理
一、置信度与置信区间 二、可疑测定值的取舍
2013-8-6
［H+］= 2.1×10-13 mol/L pH = -lg (2.1×10-13)
= -lg 2.1-lg10-13
= 13-0.32
= 12.68
2013-8-6
（３）.测量或计算得到400、3800、5000等这 样的数据，则有效位数模糊。应根据测定的实际
情况，用科学计数法表示。
第三章 误差分析理论
第三章误差分析理论测量的目的是确定被测量的量值，然而由于下列因素的存在：1．测量设备的不完善；2．测量方法的不完善；3．测量环境的影响；4．测量人员的能力有限；使得测量值与被测量的真值之间，不可避免地存在差异，这种差异的数值表现即为误差。
一、误差概述测量是将被测的物理量与所规定的参考标准进行比较的过程。
例如，测量某一起重机械的外形尺寸大小，就是用米尺与其比较。
至于测量的标定就是为了提供进行比较的参考标准。
实验测定某一机械量，目的在于测出该机械量的真值。
但是在实测中，只能得到在一定程度上接近于真值的测量值，因此测量结果必然产生失真，这种失真则称为误差，即误差＝测量值－真值用符号表示为第一节误差的分类μ-=∆i x x真值：与给定的特定量的定义一致的值。
理论真值：已知的，如三角形内角和为180°约定真值：不确定的，根据多次测量给出，如平均值误差必然存在：误差产生的必然性已被大量实践所证实，也就是说，一切实验结果都会产生误差。
随着科技的发展，测量误差控制得越来越小，但不论小到什么程度误差总是存在的。
在实际测量中，对给定的测量任务只需达到规定的精度要求就行了，决不是精度愈高愈好，否则将导致浪费。
因此，在实际测量中，必须根据测量目的，全面考虑测量的可靠性、精度、经济性和使用简便性。
（一）按误差本身因次分类1.绝对误差某被测量的绝对误差定义为该量的测量值与真值之差，即：绝对误差＝测量值－真值绝对误差可为正或负。
例1：某一标准长度，其约定真值为X ＝100.02mm ，现有A 、B 两台仪器对其进行测量，测量结果如下：X A ＝100.05mm ，X B ＝100.00mm ，试比较两台仪器绝对误差的大小。
解：A仪器的测量误差为：V A ＝X A －X ＝100.05－100.02＝0.03mmB仪器的测量误差为：V B ＝X B －X ＝100.00－100.02＝-0.02mm由于|V A |>|V B |,所以B仪器的绝对误差小。
第三章,测量误差与检测分析.
➢ 方法误差
测量方法不正确而引起的误差称为方法误差。 测量仪器安装和使用方法不正确，测量时所依据 的原理不正确而产生的误差。
➢ 人员误差
测量者生理特性和操作熟练程度的优劣而引 起的误差称为人员误差。测量者的习惯和精神状 态的变化也都会带来误差。
四. 误差的分类
1. 随机误差 在实际测量条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对
即
100%
A
3. 诱导相对误差 测量中最大绝对误差与仪器量程范
围之比。也称引用误差。
即
0
max
xm
max
Amax Amin
100 %
通常用引用误差表示仪器的精度等级。
国家标准GB776-76《电测量指示仪器通用技术条件》规
定，电测仪器精度分为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5， 5.0等7级。它们的基本误差以最大引用误差计，分别不超过：
六. 不确定度
不确定度是指由于测量误差的存在而对被测量不能确 定的程度。不确定度按估计其数值所用的方法不同归并 成两类： A类分量：对一系列多次重复测量后，用统计方法计算出 的标准偏差。 B类分量：用其它方法估算出的近似的标准偏差。
然后用通常合成标准偏差的方法来合成A类分量和B类 分量，合成后仍以标准偏差的形式表征，称为合成不确 定度。该不确定度仍具有概率的概念。
3. 粗大误差(疏失误差)
测量过程中出现的明显与事实不符的误差。主要是由 于测量人员的疏失或环境条件的突变影响所致。
粗大误差由于误差数值特别大，容易从测量结果中发 现，一经发现有粗大误差，可以认为该次测量无效，测 量数据作废，即可消除它对测量结果的影响。
五.精度
➢ 正确度 表示测量结果偏离真值的程度。它标志着系统误差的大小。
分析化学知识点归纳 第三章
第三章分析化学中的误差与数据处理1、误差⑴绝对误差绝对误差是测量值是真实值之间的差值。
绝对误差的单位与测量值相同，误差越小表示测量值与真实值越接近，准确度越高；反之，误差越大，准确度越低。
当测量值大于真实值时，误差为正值，表示测量结果偏高；反之，误差为负值，表示测量结果偏低。
⑵相对误差响度误差是指绝对误差相当于真实值的百分率。
相对误差有大小、正负之分，反应的是误差在真实值中所占的比例大小，因此绝对误差相同的条件下，待测组分含量越高，相对误差越小；反之相对误差越大。
⑶真值真值是某一物理量本身具有的客观存在的真实值。
严格的说任何物质中各组分的真实含量是不知道的，用测量方法是得不到真值的。
在分析化学中常将以下的作为真值①理论真值化合物的理论组成等；②计算学约定真值国际剂量大会上确定的长度、质量、物质的量的单位等；③相对真值人们设法采用各种可靠的分析方法，使用最精密的仪器，经过不同的实验室、不同人员进行平行分析，用数理统计方法对分析结果进行处理，确定出各组分相对准确的含量，此值称为标准值，一般用标注值代表该物质中各组分的真实含量。
2、偏差偏差是指测量值与各次测量结果的算术平均值之间的差值(中位数与平均值相比优点是受离群数据影响较小，缺点是不能充分利用数据)。
偏差有正有负，还有一些偏差可能为零。
如果将单次测定的偏差相加，其和为零或接近于零。
平均偏差是指单次测定偏差绝对值的平均数，代表一组测量数据中任何一个数据的偏差，没有正负号。
因此，它最能表示一组数据的重现性。
在一般分析工作中平行测定的次数不多时，常用平均偏差表示分析结果精密度。
相对平均偏差是平均偏差在各次测量结果平均值中所占的百分比例。
标准偏差的表达式是()112--=∑=nxxsnii，相对标准偏差(RSD,rs)又称变异系数，是指标准偏差在平均值中所占的百分比例。
标准偏差通过平方运算能将较大的偏差更显著的表现出来，因此标准偏差能更好的反映测定值的精密度，实际工作中,都用RSD表示分析结果精密度。
第三章 误差分析与处理
第三章 错误!未定义书签。
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误差分析与处理任何试验总是不可避免地存在误差，为提高测量精度，必须尽可能消除或减小误差，因此有必要对多种误差的性质、出现规律、产生原因，发现与消除或减小它们的主要方法以及测量结果的评定等方面作研究。
误差的定义:绝对误差＝实测值－真值相对误差＝绝对误差/真值≈绝对误差/实测值 误差的来源：测量装置误差（如标准量具、仪器、附件等）环境误差（如温度、湿度、气压、振动、照明、重力场、电磁场等） 方法误差 人员误差 误差分类: 系统误差 随机误差 粗大误差§3—1。
随机误差同一测量值在等精度情况下的多次重复，有可能会得一系列不同的测量值,每个值均有一定的误差，且无规律(但有一定的统计规律),这样的误差称为随机误差. 产生原因：测量装置（精度、器件性能不稳定等)环境方面（湿度、温度、电压、光照、磁场等） 人为因素：(素质、技能)随机误差一般不能消除,但通过统计平均可以减小，大多情况认为随机误差符合正态分布情况，即:221()exp()(2)2f――标准差（均方根误差）,越小，精度就越高的大小只说明在一定条件下，等精 度测量值的随机误差的概率分布情况。
经n 次等精度测量后的均方差为：222212()/()/n i n nσδδδδ=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=∑ （3－1）i δ是第i 次测量的误差。
0i i l L δ=- i l 是第i 次测量值，0L 是真值.当真值为未知时，应该说上式不能求得标准差。
在有限次测量情况下，可用残余误差iv 代替真值误差。
i i v l x =-， x 是测量平均值，()/i x l n=∑。
i v 是i l 的残余误差。
我们将0iil L 作一些变形替换,并令，展开： 100i n n l x x L l x x Lδδ=-+-⋅⋅=-+-⎧⎪⎨⎪⎩令0x x L δ=-为算术平均值的误差=0i i v l nx =-∑∑（当il x n =∑代入时)上式又为 11xn n xv v δδδδ=+⎧⎪⋅⎨⎪=+⎩ (3－2)所有项相加：i i xv n δδ=+∑∑11x ii v n n δδ⇒=-∑∑其中：=0iv ∑ /0iiiiv l nx l n ln =-=-=∑∑∑∑，（）∴1x i n δδ=∑ 即算术平均值的误差将（3－2）式平方后相加（2222i i ixxv v ）222222ii x x i i x v n v v n δδδδ=++=+∑∑∑∑ (3－3）将式1x i n δδ=∑ 的 两边平方2222111()(2)x i i i j i jn n δδδδδ≤≤==+∑∑∑当n 足够大时,ijδδ∑认为趋于零,将2221x i n δδ=∑，代入（3－3）式2221i i i v n δδ=+∑∑∑由（3－1）式可知 22in δσ=∑∴222i n v σσ=+∑ 2()(1)i v n σ⇒=-∑ (3－4）式(3－4）称为Bessel 公式，由残余误差求得单次测量的标准差的估计值。
第三章 测试误差分析及处理
第三章测试误差分析及处理1、误差的分类1）系统误差——在重复条件下，对同一物理量无限多次测量结果的平均值减去该被测量的真值。
系统误差大小、方向恒定一致或按一定规律变化。
2）随机误差——测量示值减去在重复条件下同一被测量无限多次测量的平均值。
随机误差具有抵偿特性。
产生原因主要是温度波动、振动、电磁场扰动等不可预料和控制的微小变量。
3）过失误差——明显超出规定条件下预期的误差，它是统计异常值。
应剔除含有粗大误差的测量值。
产生原因主要是读数错误、仪器有缺陷或测量条件突变等。
2、系统误差1.定义：测量值中含有固定（恒值系统误差）或按某种规律变化的误差（变值系统误差）2.特点：重复测量不能减小此类误差，也难以发现，有时误差值可以很大3.发现手段：改变测量条件或用不同测量方法进行对比分析，对测量系统进行检定4.消除方法1）消除系统误差的根源测量之前应对全部的测最条件〔设备、环境、方法等)进行仔细的检查、分析。
凡是估计有可能产生系统误差的根源，都要尽力消除。
例如，所用仪器设备的安放布局要规范、合理，检查仪器零位，正确调整与使用仪器.注意观察并排除环境场的干扰，合理选择基准等等.2）修正测量值这是一种常用方法。
它是对所用测量仪器设备事先进行检查，若发现仪器设备本身有系统误差.则给出校正值表或校正曲线、校正公式等，在用该仪器设备进行侧量后，将侧盆值与修正值相加，就可消除由仪器设备不准造成的系统误差。
3）常用消除系统误差具体方法：(1) 交换抵消法：将测量中某些条件相互交换，使产生系统误差的原因相互抵消。
(2) 替代消除法：在一定测量条件下，用一个精度较高的已知量，在测量系统中取代被测量，而使测量仪器的指示值保持不变，则被测量即等于该已知量。
(3) 预检法：将测量仪器与较高精度的基准仪器对同一物理量进行多次重复测量。
两组测量数据的差值作为测量仪器在对该物理量测量时的系统误差。
5.系统误差的分类：按产生原因可分为：仪器误差、安装误差、环境误差、方法误差、操作误差、动态误差。
第三章误差答案
x
x
6
i
55.42
，中位数=55.42
d
d
6
i
0.04(%)
dr s
d 0.04% 100% 100% 0.07% x 55.42%
2 i
1.06 10 4 0.05% n 1 6 1 s 0.05 RSD 100% 100% 0.09% x 55.42 极差 55.47% - 55.36% 0.11%
则P 0.4821 2 0.9642 计算结果表明，测定值.落在（55.16 — 56.04）之内的概率为0.9642，落在区间 之外的概率为0.0358.
15. 平行测定某含氯试样中的氯的含量，结果的平行值为 45.21%，标准偏差为 0.04%， 试计算: (1)P=90%时，平均值的置信区间； (2)P=95%时，平均值的置信区间； (3)比较两次计算结果可得出什么结论？
果目标值区域，超过此范围给予警告，应引起注意； s 为辅助限，表示检查测定结果质量 的辅助指标所在区间。 上述质量控制图也称为休哈特平均值质量控制图。绘制该图时，应注意以下几点：①必 须有大量稳定的“控制标准值” ，即应具有合适的“控制标准物质” ，或可用自制的质量控制 样或质量可靠的标准溶液所获得的大量数据。②要制定一定的质量控制方案。例如，每分析 一批试样，插入一个标准物质；或者在分析大批量试样时，每隔 10~20 个试样，插入一个标 准物质。标准分析的步骤和试样分析的步骤要求完全相同，并至少独立分析 15~20 次以上。 8. 下列数据各包含了极为有效数字？ （1）0.0083 （2）27.160 （3）700.0 （4）7.80×10
根据 r
a 100% 可得
电气测量技术-第3章测量误差及其分析
是一种随机误差
用引用误差形式表示：
R
R YF .S
100 %
图3-5
R 同一方向输出量最大误差
可用标准偏差计算△R
R KS n
S 标准偏差 K 置信因子。 K 2时，置信度为 95%；K 3时，置信度为 99.71%0
静态特性的质量指标——重复性（2）
用标准方法计算标准差S
先用贝塞尔公式计算任一输入量对应的正反方向标准差
S
1 2m
m i 1
S jD 2
m i 1
S jI 2
11
静态特性的质量指标——重复性（3）
用极差法计算标准偏差S
计算各标定点正反行程标定值的极差：
jD max(y jiD ) min( y jiD )
jI max(y jiI ) min( y jiI )
i 1,2,...,n 为循环次数
理论线性度、最小二乘法、平
Lm 静态特性与拟合直线的 最大偏差
均选点线性度、端基线性度
• 最小二乘法线性度拟合
使所有标定点的拟合偏差的均 方差最小
• 理论线性度拟合：
从原点（0,0）到满量程（XFS， YFS）的直线
又称：绝对线性度
• 平均选点线性度拟合
测量点等分两组
通过两组中心的直线
13
静态特性的质量指标——准确度
H () A()e j()
幅频特性：
Y () A() H ()
X ()
相频特性： () H ()) Y () X ()
频率特性的实验获取方法
傅里叶变换法：零初始条件下，对输入、输出FFT变换，得 输入单一频率信号，测量输出；改变频率，可得。
20
一阶系统的数学模型
误差理论和数据处理 第三章系统误差-PPT文档资料
v x x ( ) i i i i
i 0 由上式可看出，因 i 且其数值不易确定，故变值系统误差 直接影响 残差 的数值，因此也必然要影响标准误差 σ的计算，且其影响难于确定， vi 即变值系统误差不仅使随机误差的分布密度曲线的形状和分布范围发生变 化 ，也使曲线的位置产生平移。
二、系统误差产生的原因
系统误差是有固定不变的或按确定规律变化的因素造成，这些因素是 可以掌握的。 计量校准后发现的偏差、仪器 ① 测量装置方面的因素 设计原理缺陷、仪器制造和安 装的不正确等。 ② 环境方面的因素 测量时的实际温度对标准温度 的偏差、测量过程中的温度、 湿度按一定规律变化的误差等。
如对于刻度盘或标尺的刻度误差，就全量程而言，属复杂规
律性的系统误差。因为虽然对各刻度点的误差的大小和符号 是确定的，但对整个量程的误差变化规律只能用实验曲线表 出，属复杂变化规律。
各类特征系统误差图示
b a c
e d t
1
t t2
3
t
4
t
已定系统误差和未定系统误差
指误差的大小和符号均已确切掌握了的，因此在 处理和表征测量结果时，是属于可修正的系统误差。
第三章 系统误差
教学目的和要求
通过本章内容的教学，使学生对系统误差的
产生原因、特征和消除方法，有一个整体的 认识。要求学生清楚系统误差的产生原因、 特点和分类方法；了解系统误差处理的原则，
了解系统误差的发现方法；初步掌握定值系
统误差和变值系统误差的减弱和消除方法。
主要内容
第一节 系统误差概述
四、系统误差的分类
① 线性变化的系统误差：在整个测量过程中，随某因素而线
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四、 信度评估的方法
重测信度
复本信度
信度 内部一致性 信度 评分者信度 分半信度 同质性信度
（一）重测信度（Test-retest reliability）
含义 同一测验 同组对象 前后测2次 相关系数 程序 误差
A卷
一 定 时 距 太短 练习效应 记忆效应
时间
太长 身心变化
稳定 性
A卷
使用条件
重测
复本 内部一致性：分半、同质性 评分者
测验条件、样本性质及估计方法不同,信度不同.
几点说明
1.有多少种误差,就有多少种估计信度的方法. 2.上面介绍的各种计算方法仅适用于常模参照测验. 3.标准参照测验的信度问题必须以概化理论为依据. 4.不同类型的测验，信度的要求是不一样的. 5.用不同方法估计的信度也会有所差异.
小结
理论假设： X=T＋E； S² X = S² T ＋S² E 信度：测量结果的稳定性(一致性)程度. 类型
3、误差的来源
三层面模式
测量 工具
测试对象
施测 过程
1．测验题目取样不当
测 量 工 具
２．测验题目格式不妥 3．测题的难度不当 4．测题或指导语用语不当
5．测验时限过短
．．．．．．
施
测 试 环 境
测 试 时 间
测
主 试 因 素
过
程
意 外 干 扰 评 分 记 分
测
应 试 动 机 测 验 焦 虑
2、误差的种类
系统误差
随机误差
随机误差与系统误差的比较
类型 产生原因 特点 方向和大小上 完全随机 效能
影响 一致 性 不影 响一 致性
指 标
信 度 效 度
随机 不易控制的 误差 偶然因素
影 响 准 系统 恒定、有规 稳定地存在于每 确 性 次测量中 误差 律的因素
操作演练
假设对100个六年级学生以两个月的时间间隔先 后施测一个创造力测验的A/B两个复本，所得的 等值与稳定性系数为0.70。 我们还根据被试对每个复本的反应计算出分半信 度为0.80. 同时,我们将另一个评分者随机抽取50份卷子另 外评分，得到评分者信度为0.92。 然后，我们对这这三种方法所产生的误差变异进 行分析。
注：第一条假设在于说明E是服从均值 为零的正态分布的随机误差；第二、 三条假设意在说明E是个随机误差，没 有包含系统误差。
理解如下：
1、在问题研究范围内，反映心理特质水平的真分数是不变 的，测量的任务就是估计这一真分数的大小； 2、观察分数被假定等于真分数与误差之和，而且观察分 数与真分数是一种线性关系； 3、测量误差是完全随机的，并服从均值为零的正态分布。 且独立于所测特质以外的任何变量。 4、对于一个团体来说，实得分数、真分数和测量误差之 间有如下关系：
二、信度的定义
信度指的是测量结果的稳定性程度（或一致性程度）。
真分数方差与观测分数方差的比值
rXX
S S
2 T 2 X
信度是反映测量中随机误差大小的指标。
三、信度的应用
1、评价测验（随机误差的大小）
2、解释测验分数的意义
（1）解释个人测验分数的意义
SE S X 1 RXX
（X-1.96SE）﹤T≤（X+1.96SE）（95%的概率水平）
跨形式 一致性
（三）内部一致性信度
含义 测验 各题间 一致性
题目 一致 性
同质性 信度
类型
分半 信度
1、分半信度（Split-half raliablity）
奇偶题 分半
难易：低高 两半相似： M、S 项目组间相关 分布常态
两半相关：rhh 校 正：rnn
校正方法
斯皮尔曼 -布朗公式 弗拉南根公式 卢尤公式
基本假设与真分数
1、真分数
测验所得 未加工
理论定义 真正特质水平
操作定义 无数次测量结果的均值
经典测验理论（CTT）假定：
观察分数（X）与真分数（T）之间 是一种线性关系，并只相差一个随机误差 （E）。 即： X=T＋E
关于测量误差还有如下假设：
1、如果对一个人的某种心理特质用平行测验测量无数次， 则其观察分数的平均值会接近于真分数。 2、 误差分数与真分数相互独立，相关为0。 3、各平行测验上的误差分数之间相关为零。
含义 评分者评分的一致性
方法
2评分者
rXY
2个以上者 肯德尔和谐系数
各种信度系数相应误差变异的来源
信度系数的类型
再测信度 复本信度（连续施测） 复本信度（间隔施测） 分半信度 同质性信度 评分者信度
误差变异的来源
时间取样 内容取样 时间与内容取样 内容取样 内容的一致性 评分者间的差异
友情提示
实际上，有多少种误差的来源，就有多少 种信度估计的方法。一般来说，一个测验 哪种误差大，就应该用哪种误差估计。有 时一个测验需要几种信度估计。
rnn 1 rXX k rXX 1 rnn
RXX为原测验的信度. RNN为测验长度增加后测验的信度. K为改变后的测验长度与原来长度之比.
例2-16：某测验有40题，信度0.65， 若增至120题，信度会是多少？
rnn 0.85
例2-17：某测验有30题，信度0.75， 试问要达到多少题才能使信度达到0.90？
第一，所测的心理特性必须是稳定的。 第二，遗忘和练习的效果基本上相互抵消。 第三，所测心理特质在两次施测的间隔时间内 没有获得更多的学习和训练。 第四,报告结果时要报告两次测验的间隔及有 关经历.
评价
优点 省力、省时 测量属性相同 提供随时间变化的资料 不足
时间间隔长短
★ 时间间隔越长，重测信度越低；
（三）测验难度
一般趋势
测验太难或太易,分数范围缩小,降低信度.
难度与题型
简答题：P=0.5时，X为0～100，信度最高。 学绩测验选择题的理想平均难度（洛德） 五择一：0.70 四择一：0.74 三择一：0.77 是非题：0.85
（四）时间间隔 智力的时间变化
间隔期 信度系数
一个假想测验的变异数分析
信度类型 误差变异数 误差变异来源 时间和内容取样
复本信度(间隔) 1-0.70=0.30
分半信度 上述两者差异 评分者信度
误差变异总和 真实变异
1-0.80=0.20
内容取样
0.30-0.20=0.10 时间取样 1-0.92=0.08 评分者差异
0.20+0.10+0.08=0.38 1-0.38=0.62
试
测 验 经 验
对
练 习 效 应
象
反 应 倾 向 生 理 变 因
经典测验理论 信度概念 信度的评估方法
信度系数的应用
影响信度的因素
一、经典测验理论
成熟 标志 20世纪50年代 Gulliksen 《心理测验理论》 三大 支柱 基本假设 信度 效度
考研题
Classical Test Theory（CTT）
考研题
五、影响信度的因素
测验长度
样本特征
测验难度
时间间隔
（一）测验长度
含义
测验试题的数量
特点
测验越长，试题取样越具有代表性。 测验越长，猜测因素影响就越小。 增加测验长度的效果应遵循报酬递减率原则。
长度与信度的关系
krXX rnn 1 k 1rXX
k 3, n 90
（二）样本特征
1、样本团体异质性的影响
特点
样本越异质，分数分布越广，有可能高估信度。 样本不同，信度就有可能不同 。
2、样本团体平均能力水平的影响
特点:
团体平均水平太高或太低，分布变窄，可能低估信度.
选择测验时应注意
取样团体的变异性和能力水平 建立信度的团体与欲测团体是否一致
方差相等时
方差不等时
使用条件
测验只能施测一次或没有复本的情况下使用. 当一个测验无法分成对等的两半时不宜使用.
2、同质信度（Homogeneity raliability）
同质性 题目间的内部一致性
克龙巴赫 系数
各类 题型
类型
库-理信度
二值 记分
（四）评分者信度（Scorer raliability）
0.80-0.85
非标准化测验
0.60-0.85
信度评价的一般原则 RXX ﹤0.70:不可靠,不能用; 0.70≦RXX ﹤0.85:可用于团体; RXX≧0.85:可用于鉴别个人.
几种典型测验的信度系数
测验类型 成套成就测验 学术能力测验 成套倾向性测验 客观人格测验 兴趣问卷 态度量表 低 .66 .56 .26 .46 .42 .47 中 .92 .90 .88 .85 .84 .79 高 .98 .97 .96 .97 .93 .98
等值 性
程序
误差 内容 取样
A卷
最 短 时 距
B卷
复本等值的条件
● 各测验测量的是同一种心理特质；
● 各测验具有相同的内容和形式；
● 各测验的题目不应重复；
● 各测验题目数量相等；各测验难度和区分度大体相同； ● 各测验的分数分布（标准差和平均数）大体相同；
● 复本编制好后，应再测一次，以确保等值。
（2）两种测验分数的比较(差异的标准误)
2 SEd SE12 SE2
SEd S 2 rxx ryy
所得结果与1.96SE(0.05水平)进行比较,即可得出两个测验的差异是否显著.
3、确定信度的可接受水平