立体几何难题解析附有答案详解

立体几何试题分析

[设计思路]围绕前两年高考试题的类型以及常考的知识点和解题方法设计，

通过对2005和2006浙江省立体几何试题及2006年部分省市的试题的研究大致预测2007年立体几何试题的类型。

[设计理念]略

[考点回顾] 常考的知识点有线面平行、垂直；两个平面垂直的判定和性质；线线

角、线面角、二面角；向量坐标运算；线面角公式、二面角公式、点到平面的距离。考查的（能力）方法有：逻辑推理能力；空间想象能力。

一、2005——2006浙江省试题分析

1、（2005浙江18）．如图，在三棱锥P －ABC 中，

AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kPA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．

（Ⅰ）求证：∥平面OD PAB

(Ⅱ) 当k ＝时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小；

2

1

(Ⅲ) 当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？

[简析]：本题考查的知识点有：线面平行的判定；线线角、线面角、二面角；两

个平面垂直的判定和性质；向量坐标运算；线面角公式。考查的（能力）方法有：逻辑推理能力；空间想象能力。

[试题结构]： 以底面是等腰直角三角形的三棱锥为载体结合线面垂直，以及面

A

B

C

D

O

P

面垂直，证明线面平行，求线面角，并由点的垂足的位置确定参数的值。k 1、（2005浙江18）．解：

2、（2006浙江17）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，

P ABCD -∥，，

AD BC 90BAD ∠=︒⊥底面，且，

PA ABCD 2PA AD AB BC ===M 、N 分别为PC 、PB 的中点.(Ⅰ) 求证：；

PB DM ⊥(Ⅱ) 求与平面所成的角。

CD ADMN [简析]：本题考查的知识点有：空间线线、线面关系、

空间向量的概念；。考查的（能力）方法有：逻辑推理能力；空间想象能力。

[试题结构]：以底面是直角梯形的四棱锥为载体，结合线面垂直及特殊的线段长

度关系，证明两异面直线垂直，并求线面角。

2、（2006浙江17）解：方法一：（I ）因为是的中点，，所以

N PB PA PB =.

AN PB ⊥因为平面，所以，

AD ⊥PAB AD PB ⊥从而平面.

PB ⊥ADMN 因为平面，所以.

DM ⊂ADMN PB DM ⊥（II ）取的中点，连结、，则

AD G BG NG ，

//BG CD 所以与平面所成的角和与平面

BG ADMN CD 所成的角相等.

ADMN 因为平面，

PB ⊥ADMN 所以是与平面所成的角.BGN ∠BG ADMN 在中，.Rt BGN

∆sin BN BNG BG ∠=

=

故与平面所成的角是.CD ADMN

方法二：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则

A A xyz -1BC =.

1

(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,1,0),(1,,1),(0,2,0)2

A P

B

C M

D （I ） 因为，所以3

(2,0,2)(1,,1)2

PB DM ⋅=-⋅- 0=.

PB DM ⊥（II ）

因为，

(2,0,2)(0,2,0)PB AD ⋅=-⋅

0=所以，又因为，所以平面PB AD ⊥PB DM ⊥PB ⊥.

ADMN 因此的余角即是与平面所成的角.

,PB DC <>

CD ADMN 因为，所以与平面所成的角为

cos ,||||

PB DC

PB DC PB DC ⋅<>=⋅

=CD ADMN .二、2006年其他省市（部分）试题分析

1，（福建18）

如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，

2,CA CB CD BD AB AD ======（I ）求证：平面BCD ；

AO ⊥（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；（III ）求点E 到平面ACD 的距离。

[简析]：本题考查的知识点有：直线与平面的位置

关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离。考查的（能力）方法有：逻辑推理能力；空间想象能力和运算能力。

[试题结构]：以一个特殊结构的四面体（三棱锥）为载体，考查线面垂直，并求

两异面直线所成的角和点到平面的距离。

B

E

1、（福建18）解：方法一：

（I）证明：连结OC

,,.

BO DO AB AD AO BD

==∴⊥

,,.

BO DO BC CD CO BD

==∴⊥

在中，由已知可得

AOC

∆1,

AO CO

==

而即

2,

AC=222,

AO CO AC

∴+=90,o

AOC

∴∠=.

AO OC

⊥

平面

,

BD OC O

=

AO

∴⊥BCD

（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

ME∥A B,O E∥D C

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

∴

在中，

OME

∆

11

1,

22

EM AB OE DC

====

是直角斜边AC上的中线，

OM

AOC

∆

1

1,

2

OM AC

∴==

cos OEM

∴∠=

异面直线AB与CD所成角的大小为

∴

（III）解：设点E到平面ACD的距离为.h

在中，

,

11

....

33

E ACD A CDE

ACD CDE

V V

h S AO S

--

∆∆

=

∴=

ACD

∆2,

CA CD AD

===

而

1

2

ACD

S

∆

∴==

A

B

M

D

E

O

C