9知识讲解_数列的全章复习与巩固_基础

数列的全章复习与巩固
【学习目标】
1．系统掌握数列的有关概念和公式；
2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式，并运用这些知识解决问题； 3．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系，能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a ；
4．掌握常见的几种数列求和方法. 【知识网络】
【要点梳理】
要点一：数列的通项公式 数列的通项公式
一个数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，如果可以用一个公式()n a f n =来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。

要点诠释：
①不是每个数列都能写出它的通项公式。

如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式； ②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。

如：数列―1，1，―1，1，…的通项
公式可以写成(1)n
n a =-，也可以写成cos n a n π=；
③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。

通项n a 与前n 项和n S 的关系：
任意数列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =++
+；
1
1
(1)(2)
n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨
-≥⎪⎩
要点诠释：
由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： （1）求11a S =，
（2）求出当n≥2时的n a ，
（3）如果令n≥2时得出的n a 中的n=1时有11a S =成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。

数列的递推式：
如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项n a 与它的前一项1n a -或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。

要点诠释：
利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等. 要点二：等差数列
判定一个数列为等差数列的常用方法
①定义法：1n n a a d +-=（常数）⇔{}n a 是等差数列； ②中项公式法：122(*){}n n n n a a a n N a ++=+∈⇔是等差数列； ③通项公式法：n a pn q =+（p ，q 为常数）⇔{}n a 是等差数列；
④前n 项和公式法：2
n S An Bn =+（A ，B 为常数）⇔{}n a 是等差数列。

要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。

等差数列的有关性质：
（1）通项公式的推广：+()n m a a n m d =－
（2）若*
()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a +=+；
特别，若2m n p +=，则2m n p a a a +=
（3）等差数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（
、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等差数列.
（4）公差为d 的等差数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等差数列。

（5）等差数列{}n a ，前n 项和为n S
①当n 为奇数时，12
n n S n a +=⋅；12
n S S a +-=奇偶；
1
1
S n S n +=
-奇偶
； ②当n 为偶数时，1
2
2
(
)2
n n
n a a S n ++=⋅；1
2
S S dn -=
偶奇；21
2
n
n a S S a +=奇偶。

（6）等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，则
m n m n
S S S m n m n
+-=
-+（m 、n ∈N*，且m≠n ）。

（7）等差数列{}n a 中，若m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈N*，且m≠n ，p≠q ），则p q
m n S S S S m n p q
--=--。

（8）等差数列{}n a 中，公差d ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列，新公差2
'd k d =.
等差数列前n 项和n S 的最值问题： 等差数列{}n a 中
① 若a 1＞0，d ＜0，n S 有最大值，可由不等式组10
n n a a +≥⎧⎨
≤⎩来确定n ；
② 若a 1＜0，d ＞0，n S 有最小值，可由不等式组10
0n n a a +≤⎧⎨≥⎩来确定n ，也可由前n 项和公式
21()22
n d d
S n a n =
+-来确定n. 要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法. 要点三 ：等比数列
判定一个数列是等比数列的常用方法 （1）定义法：
1
n n
a q a +=（q 是不为0的常数，n ∈N*）{}n a ⇔是等比数列； （2）通项公式法：n
n a cq =（c 、q 均是不为0的常数n ∈N*）{}n a ⇔是等比数列； （3）中项公式法：2
12n n n a a a ++=⋅（120n n n a a a ++⋅⋅≠，*n N ∈）{}n a ⇔是等比数列.
等比数列的主要性质：
（1）通项公式的推广：n m
n m a a q -=
（2）若*
()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a ⋅=⋅.
特别，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=
（3）等比数列{}n a 中，若*
m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等比数列.
（4）公比为q 的等比数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等比数列。

（5）等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，当n 为偶数时，S S q =偶奇。

（6）等比数列{}n a 中，公比为q ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -…成公比为q k 的等比数列。

（7）若{}n a 为正项等比数列，则{log }a n a （a ＞0且a≠1）为等差数列；反之，若{}n a 为等差数列，则{}n a
a （a ＞0且a≠1）为等比数列。

（8）等比数列{}n a 前n 项积为n V ，则(1)2
1
(*)n n n
n V a q n N -=∈
等比数列的通项公式与函数：
11n n a a q -=
①方程观点：知二求一； ②函数观点：1
11n n
n a a a q
q q
-==
⋅ 01q q >≠且时，是关于n 的指数型函数；
1q = 时，是常数函数；
要点诠释：
当1q >时，若10a >，等比数列{}n a 是递增数列；若10a <，等比数列{}n a 是递减数列； 当01q <<时，若10a >，等比数列{}n a 是递减数列；若10a <，等比数列{}n a 是递增数列； 当0q <时，等比数列{}n a 是摆动数列； 当1q =时，等比数列{}n a 是非零常数列。

要点四：常见的数列求和方法 公式法：
如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n 项和公式求和。

分组求和法：
将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：a n =2n+3n .
裂项相消求和法：
把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.
若1
()()
n a An B An C =
++，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,
则)11(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++=
，如a n = 1(1)n n +11
1
n n =-
+ 错位相减求和法：
通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：n n n c b a ⋅=, 其中 {}n b 是公差d≠0等差数列，{}n c 是公比q≠1等比数列，如a n =(2n-1)2n .
一般步骤：
n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211，则 1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++
所以有13211)()1(+-⋯⋯+++=-n n n n c b d c c c c b S q
要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点. 要点五：数列应用问题
数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
建立数学模型的一般方法步骤.
①认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ⑴明确问题属于哪类应用问题； ⑵弄清题目中的主要已知事项； ⑶明确所求的结论是什么.
②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.
③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.
要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量. 【典型例题】
类型一：数列的概念与通项 例1．写出数列：15-
，103，517-，26
7，……的一个通项公式. 【思路点拨】从各项符号看，负正相间，可用符号(1)n
-表示；数列各项的分子：1，3，5，7，……是个奇数列，可用21n -表示；数列各项的分母：5，10，17，26，……恰是221+,2
31+, 241+,2
51+,…
可用2
(1)1n ++表示；
【解析】通项公式为：2
21
(1)(1)1
n
n n a n -=-++. 【总结升华】
①求数列的通项公式就是求数列中第n 项与项数n 之间的数学关系式。

如果把数列的第1，2，3，…项分别记作(1)f ，(2)f ，(3)f ，…，那么求数列的通项公式就是求以正整数n (项数)为自变量的函数
()f n 的表达式；
②通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可；
③给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.
举一反三：
【变式1】数列：1-，
58，157
-，924，……的一个通项公式是（ ） A.2(1)21n
n n n a n +=-+ B.(3)(1)21
n n n n a n +=-+
C.2(1)1(1)21n
n n a n +-=-- D.(2)(1)21
n n n n a n +=-+ 【答案】采用验证排除法，令1n =,则A 、B 、C 皆被排除，故选D. 【变式2】给出数表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
… … … …
（1）前m 行共有几个数？
（2）第m 行的第一个数和最后一个数各是多少？ （3）求第m 行的各数之和；
（4）数100是第几行的第几个数？ 【答案】
（1）
)1(21
+m m ； （2）1(1)12m m -+，1
(1)2m m +；
（3）2
1(1)2
m m +；
（4）第14行的第9个数。

类型二：等差、等比数列概念及其性质的应用
例2.已知三个数成等比数列，积为216，若第二个数加上4，则它们构成一个等差数列，求这三个数。

【思路点拨】成等比数列的三个数我们可以设为
q
a
、a 、aq ，可以简化运算. 【解析】设这三个数为
q
a
、a 、aq ， 由题知
216a
a aq q
⋅⋅=，解得6a =， 又∵
q
6
，64+，6q 构成等差数列， ∴q q
66
)46(2+=
+⨯，即231030q q -+=， 解得3q =或3
1=
q ， ∴这三个数为2，6，18或18，6，2。

【总结升华】 恰当地选择设未知数，列方程（组）求解。

方程思想在数列中很重要。

举一反三：
【变式1】如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差.
【答案】设等差数列首项为1a ，公差为d ，则
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=+⇒=
⋅⨯⨯+⋅⨯⨯++=⋅⨯⨯+520253546612273225621625621)(635411122112111111d a d a d a d
a d d a d a
【高清课堂：数列综合381084 例1】
【变式2】已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足1(0)a a a =>，111b a -=，
222b a -=，333b a -=.
（1）若1a =，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 唯一，求a 的值.
【答案】（1
）1(2n n a -=
或1(2n n a -= （2）1
3
a =
例3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
3613S S =，则612
S
S 等于( ) A ．
3
10
B ．13
C ．18
D ．19
【思路点拨】利用等差数列的性质来解：等差数列{}n a 中， k S ，2k k S S -，32k k S S -也成等差数列.
【解析】由题意知3S ，63S S -，96S S -，129S S -成等差数列， 由已知得633S S =，故公差为6333()S S S S --=，
所以96332S S S S -=+，故936S S =，129333S S S S -=+，故12310S S =， 所以
6123
10
S S =．故选A 。

【总结升华】等差等比数列的性质是高考命题的热点，熟练掌握它们的性质并灵活运用，能使问题简洁.
举一反三：
【变式】 已知等差数列{}n a ，25n S =, 2100n S =, 则3n S =（ ） A.125 B.175 C.225 D.250 【答案】C
方法一：∵{}n a 为等差数列，
∴n S ,2n n S S -,32n n S S -成等差数列，即2322()()n n n n n S S S S S -=+- ∴32(10025)25(100)n S -=+-，
解得3225n S =，∴选C.
方法二：取特殊值（适用选择题）：令1n =，由题意可得1125n S S a ===,2212100n S S a a ==+=, ∴275a =，2150d a a =-=， ∴3313(31)
32252
n S S a d ⨯-==+=, ∴选C.
方法三：1(1)252n n n S na d -=+=,212(21)
21002n n n S na d -=+=, 两式相减可得1(31)
752
n n na d -+=，
∴313(31)
37532252
n n n S na d -=+=⨯=.
∴选C.
例4．设S n 、T n 分别为等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，满足
71427n n S n T n +=+，求1111
a b . 【思路点拨】利用等差数列的前n 项求和公式及性质是解决本题的关键，主要利用：
12121(21)()(21)2(21)22
n n
n n n a a n a S n a +++++⨯=
==+ 进行求解.
【答案】111143
a b = 【解析】
方法一：
12111111212111111212112121
()2721142212421273
()2
a a a a a a S
b b b b T b b ++⨯+======+⨯++ 方法二：设(71),(427)n n S k n n T k n n =+=+(k≠0)， ∴a 11=S 11-S 10=11k(7×11+1)-10k(7×10+1)=148k b 11=T 11-T 10=11k(4×11+27)-10k(4×10+27)=111k ∴
11111484
1113
a k
b k ==. 【总结升华】等差数列的中项在前n 项和式中的应用是解决本例的关键，也应注意到前n 项和与通项公式的联系.
举一反三：
【变式1】等差数列{a n }中，S n =50，123430a a a a +++=，32110n n n n a a a a ---+++=，求项n.
【答案】123430
(1)a a a a +++=， 32110
(2)n n n n a a a a ---+++=，
由（1）+（2）得:114()40()10n n a a a a +=⇒+=，
1()10
501022
n n n a a n S n +⋅=
⇒=⇒=. 【变式2】已知各项均为正数的等比数列{}n a ，1237895,10a a a a a a ==，则456a a a =____.
【答案】由已知得
，故3
3456528(52a a a a a a ===.
【变式3】等差数列{}n a 中，113a =,311S S =，则它的前__ 项和最大，最大项的值是____. 【答案】7，49
设公差为d, 由题意得3a 1+223⨯d=11a 1+2
10
11⨯d ，得d=-2, ∴n S 有最大值.
又S 3=S 11,可得n=
2
11
3+=7， ∴S 7为最大值，即S 7=7×13+2
6
7⨯(-2)=49.
类型三：由递推关系求数列通项公式 例5．已知数列{}n a 中，11a =，12
13
n n a a +=
+，求n a . 【思路点拨】把1213n n a a +=+整理成12
3(3)3
n n a a +-=-，得数列{3}n a -为等比数列，再用叠
加法,等比数列求和求出通项公式.
【解析】
法一：设12
()()3n n a A a A ++=
+，解得3A =- 即原式化为12
(3)(3)3
n n a a +-=-
设3n n b a =-，则数列{}n b 为等比数列，且1132b a =-=- ∴1
22
3(2)()33()3
3
n n n n n b a a -=-=-⨯⇒=-⨯
法二：∵12
13
n n a a +-
= ①
12
1(2)3
n n a a n --=≥ ②
由①－②得：112
()3
n n n n a a a a +--=-
设1n n n b a a +=-，则数列{}n b 为等比数列
∴11222()()333
n n n n n b a a -+=-=
⨯= ∴221()33
n n n a a +-= ∴233()3n
n a =-⨯
法三：21213a a =+，2322221()1333a a =+=++，32432222
1()()13333a a =+=+++，……，
11222
1()1333
n n n a a --=+==+++，
∴233()3
n
n a =-⨯
【总结升华】求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘等基本方法外，还应注意根据递推关系式的特点，进行转化，变形为与是等差（等比）有关的数列. 若数列{}n a 满足
q p q pa a n n ,1(1≠+=+为常数），则令)(1λλ+=++n n a p a 来构造等比数列，并利用对应项相等求λ
的值，求通项公式。

举一反三：
【变式1】数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,3,11221-===++，则=n a 。

【答案】)(2112n n n n a a a a -=-+++
212=-a a {}1--∴n n a a 为首项为2公比也为2的等比数列。

112--=-n n n a a ，（n>1）
n>1时
122
1211222)()()(211
12211-=--=++++=+-++-+-=-----n n
n n n n n n n a a a a a a a a
显然n=1时满足上式
∴=n a 12-n
【变式2】在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=
n
n
na a +1，求a n .
【答案】
11111,1+++=
∴==++n n n n n n n a na a n na a a a ，∴111
+-=n n
n a a
∴
21
11
1-=a a 32
11
2-=a a ……
1
11(1)(2)--=-≥n n n n a a 将以上各式叠加，得
1
11
12(1)(1)(2)2
-=+++-=
-≥n n
n n n a a ∴
11(1)(2)2
=+-≥n n
n n a 又n=1时，1
11
1(11)12+
-==a ∴*
2
2()2
=
∈-+n a n N n n 类型四：n a 与n S 的关系的综合运用
例6.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2
n S kn n =+，n ∈N +，其中k 是常数．
(1)求1a 及n a ；
(2)若对于任意的m ∈N +，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值．
【思路点拨】（1）利用n ≥2时，1n n n a S S -=-进行求解，注意对n=1时进行验证；（2）利用等比中项及恒成立问题求解.
【解析】(1)当n ＝1时，111a S k ==+，
当n ≥2时，22
1[(1)(1)]21n n n a S S kn n k n n kn k -=-=+--+-=-+， 经检验，n ＝1时，上式成立，∴ 2
221m S kn k =-+．
(2)∵ m a ，2m a ，4m a 成等比数列，∴ 2
24m m m a a a =⋅，
即2
(41)(21)
(81)km k km k km k -+=-+-+，
整理得：(1)0mk k -=，对任意的m ∈N +成立， ∴ k ＝0或1．
【总结升华】等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是1
1(1)(2)
n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，尤
其注意首项与其他各项的关系.
举一反三：
【变式1】已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足2
1056n n n S a a =++，且a 1，a 3，a 15成等比数列，
求数列{a n }的通项a n .
【答案】∵2
1056n n n S a a =++， ① ∴2
1111056a a a =++，解之得a 1=2或a 1=3. 又2
1111056(2)n n n S a a n ---=++≥， ②
由①-②得22
1110()5()n n n n n a a a a a --=-+-，即11()(5)0n n n n a a a a --+--=
∵a n +a n-1＞0，∴a n -a n-1=5(n≥2).
当a 1=3时，a 3=13，a 15=73，a 1，a 3，a 15不成等比数列 ∴a 1≠3；
当a 1=2时，a 3=12，a 15=72，有a 32=a 1a 15， ∴a 1=2，∴a n =5n-3.
【变式2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1
(1)(*)3
n n S a n N =-∈。

（1）求12,a a ；
（2）求证：数列{}n a 是等比数列。

【答案】 （1）由111(1)3S a =-，得111
(1)3
a a =-， ∴112
a =-
，
又221(1)3S a =
-，即1221(1)3a a a +=-，得214
a =。

（2）证明：当2n ≥时，1n n n a S S -=-111
(1)(1)33
n n a a -=
---， 得
112n n a a -=-，又211
2
a a =-， 所以{}n a 为首项为12-
，公比为1
2
-的等比数列。

【变式3】（2016 浙江文）设数列{a n }的前n 项和为S n 。

已知S 2=4，a n+1=2S n+1，n ∈N*。

. （I ）求通项公式an ；
（II ）求数列{a n ―n ―2}的前n 项和。

【答案】
（1）由题意得：1221421a a a a +=⎧⎨
=+⎩，则121
3
a a =⎧⎨=⎩，
又当n ≥2时，由a n+1―a n =(2S n +1)―(2S n －1+1)=2a n ， 得a n+1=3a n ，
所以，数列{a n }的通项公式为a n =3n －
1，n ∈N*。

（2）设b n =|3n ―
1―n ―2|，n ∈N*，b 1=2，b 2=1。

当n ≥3时，由于3n －
1＞n+2，故b n =3n ―
1―n ―2，n ≥3。

设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1=2，T 2=3。

当n ≥3时，229(13)(7)(2)3511
31322
n n n n n n n T --+---+=+-=-，
所以，22, 1
3511,2,*2
n n T n n n n n N =⎧⎪
=⎨--+≥∈⎪
⎩
类型五：数列的求和问题
例7. 求数列1，)0(,......,,,6
5434322≠++++++a a a a a a a a a a 的前n 项和n S . 【思路点拨】本题求和后，不宜直接分组，应该把通项化简变形后，再决定如何分组求和。

【解析】
（1）当1≠a 时，2
21
...--+++=n n n n a
a a a )(11
1)1(1211-----=--=n n n n a a a
a a a
[]
)(...)()()1(11
121523---++-+-+--=
∴n n n a a a a a a a a
S 212422
22
121(1...)(1...)111(1)()111(1)(1)(1)(1)
n n n n n n a a a a a a a a
a a a a a a a a a a --+⎡⎤=
++++-++++⎣⎦-⎡⎤
--=-⎢⎥---⎣⎦--=
-+ （2）当1=a 时，)1(2
1
+=
n n S n ； （3）当1-=a ，原数列为1，0，1，0，1，0……，
若n 为偶数，令2n k =（*
k N ∈），则21010 (102)
n k n S S k ==++++++==； 若n 为奇数，令21n k =-（*
k N ∈），则211010 (1012)
n k n S S +==+++++++=.
【总结升华】分类讨论a 和n 的奇偶是本例化简的关键. 举一反三：
【变式1】求数列)})1(1
()11)...(311()211{(2
222+⋅--⋅-n n 的前n 项和。

【答案】
22222222222
213111
...23(1)1324(1)(1)1...23(1)12(1)111()21
n n a n n n n n n n n n n ---=⋅⋅
+⋅⋅-+=⋅⋅+=
+=-+
所以可以得到：)
1(2)111(21+=+-=
n n n S n 。

【变式2】求和：)(*122221
N n b ab b a b a b a
a S n n n n n n
n ∈++++++=----
【答案】a=0或b=0时，)(n
n n a b S = 当a=b 时，n
n a n S )1(+=；
当a ≠b 时，b
a b
a S n n n --=++11
类型六：应用题
例8．某商场因管理不善及场内设施陈旧，致使年底结算亏损，决定从今年开始投入资金进行整修，计划第一个月投入80万元，以后每月投入将比上月减少1
5
.第一个月的经营收入约为40万元，预计以后每个月收入会比上个月增加
14
. (1) 设n 个月内的总投入为a n 万元，总收入为b n 万元，写出a n ，b n ；
(2) 问经过几个月后商场开始扭亏为盈.
【思路点拨】应用题须认真读懂关键词句，容易看出每月的投入和收入均构成等比数列。

【解析】 (1)由题意，得
2
14144445808080808040014555515
n
n n
n a -⎛⎫
- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+⨯+⨯+
+⨯=⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.
2
1
55540404040444n n b -⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+⨯+⨯+
+⨯ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
51544016015414
n
n ⎛⎫
- ⎪
⎡⎤⎛⎫⎝⎭=⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.
(2)由题意，令a n <b n ，
∴454001160154n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
.
设54n
t ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则1512(1)t t ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，即2t 2－7t ＋5>0.
∵t >1，∴解得t >52，即55
42
n
⎛⎫> ⎪⎝⎭.
取n ＝4，则4
551255
421282
⎛⎫⎛⎫=⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
取n ＝5，则5
556255
425122
⎛⎫⎛⎫=⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴第5月开始扭亏为盈．
【总结升华】解应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化就可得相应的解析式. 举一反三：
【变式】某地区原有森林木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设n a 为n 年后该地区森林木材存量.
（1）写出n a 的表达式.
（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于a 9
7
,如果a b 7219=，那么今后该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取lg 20.30=）.
【答案】
（1）依题意，第一年森林木材存量为a ，
1年后该地区森林木材存量为：15
4a a b =-， 2年后该地区森林木材存量为：221555
()(1)444a a b a b =-=-+，
3年后该地区森林木材存量为：32325555
()[()1]4444a a b a b =-=-++，
4年后该地区森林木材存量为：4324355555
()[()()1]44444
a a
b a b =-=-+++，
… …
n 年后该地区森林木材存量为：b a a n n n n ]14
5
...)45()45[()45(21++++-=--
（2）若a b 7219=时，依题意该地区今后会发水土流失，则森林木材存量必须小于a 97
，
即 55197()4[()1]44729n n a a a --⨯<，
解得554n >（），即5lg lg54
n >，
∴lg 51lg 2
7lg 52lg 213lg 2
n ->
==--，
∴8n =.
故经过8年该地区就开始水土流失.。