边缘分布

F ( x, y) a(b arctanx)(c arctany)
求（１）常数a，b，c；（２）联合密度函数 f(x,y)； （３）X ,Y的边缘分布函数；（4）P{X>2}.
解：
F ( x, y ) 1 ( arctan x )( arctan y ) 2 2 2
xi
P{Y=yj}
pi1
p.1
pi2 … pij … … … p.2 … p.j …
j 1


pi. 1
i 1
p i P{ X xi } pi j
(i = 1,2, …) 如
p j P{Y y j } pi j
(j =1,2, …)
其值表示红曲边梯形的面积.
y
o
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a
x0 b x
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三 、二维连续型随机变量边缘密度函数
即若X，Y的联合概率密度 f(x,y)
则
f X ( x)


f ( x, y )dy
fY ( y )


f ( x, y)dx
例3.设（X，Y）服从区域D：抛物线y=x2和直线y=x所围成 的区域上的均匀分布，求X，Y的联合、边缘概率密度函数.
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(4) P{X>2} = 1-FX (2)
1 1 1 ( arctan 2) 2 1 1 arctan 2 2
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二、二维离散型随机变量的边缘分布列
X Y
y1 p11 p21
y2
… yj
…
P{X=xi} p1. p2.
x1 x2
p12 … p1j … p22 … p2j …
6( x x 2 ), f X ( x) 0,


f ( x, y)dy 2 6dy 6( x x 2 )
x
x
0 x 1 其它
y
fY ( y) f ( x, y)dx 6dx 6( y y)
y
即
《概率统计》
6 ( y y ), fY ( y ) 0,
《概率统计》
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解:
故（X，Y）联合概率密度为
1 由于D的面积为 ( x x )dx 0 6
1 2
y
6, f ( x, y ) 0,
( x, y ) D 其它
0
y x2 yx
求X边缘概率密度, 当0≤x≤1时
x
f X ( x)
即

求Y边缘概率密度, 当0≤x≤1时 当0≤y≤1时
§3.2 二维随机变量的边缘分布
一、边缘分布函数的概念 二、二维离散型随机变量的边缘分布列 三、二维连续型随机变量的边缘密度函数
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一 、 边缘分布函数的概念
设（X，Y）的联合分布函数F(x, y) 则 X 和 Y 的边缘分布函数 FX(x) , FY(y) 分别为:
FX ( x) P{X x}
f ( x, y)dy
x
xe y dy xe x
f ( x, y)dy 0dy 0


xe x , 0 x 即 f X ( x) 其它 0,
y=x o
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例4. 已知随机向量（X，Y）的联合密度函数为
xe y , 0 x y f ( x, y ) 0, 其它
即
P{X x, Y y} P{X x}P{Y y}
则称随机变量X与Y是相互独立的. 补充例1．一电子产品由两个部件构成，以X和Y分别表示两个 部件的寿命（单位：小时），已知X和Y的联合分布函数
1 e 0.5 x e 0.5 y e 0.5( x y ) , x 0, y 0, F ( x, y) 0, 其他 (1)问X和Y是否相互独立？(2)求两部件寿命都超过0.1小时的概率.
x} P{X x, Y } [ f (u, v)dv]du

x

f X ( x)


f ( x, v)dv f ( x, y )dy


f ( x, y)dy
z
即
f X ( x)

f X ( x0 ) 的几何意义如右图.
FY ( y ) P{Y y} lim F ( x, y )
1 ( arctan y ) 2 1 1 arctan y 2
x
(3) FX ( x) P{X x}
lim F ( x, y )
y
1 ( arctan x) 2 1 1 arctan x 2
y=x o
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例5. 设（X，Y）服从N（μ1，μ2；σ12，σ22；ρ ）， 求边缘密度. x 1 y 2 解： 令 u ,v , 则有
1 2 2 f X ( x) f ( x, y)dy exp{ ( u 2 u v )}dv 2 2(1 ) 21 1 2
( x 1 ) 2
2 2 1
类似的有
fY ( y )
1 2 2
e

( y 2 )2
可见 X~ N（μ1，σ12 ) ,
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Y~ N（μ2，σ22 )
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§3.3 随机变量的独立性
1. 定义 设 （X，Y），F(x，y)，FX(x)，FY(y)
若 对所有的 x，y 有 F ( x, y) FX ( x) FY ( y)
P{X x, Y }
FY ( y ) P{Y y} P{ X , Y y} F (, y ) lim F ( x, y )
x
F ( x,)
lim F ( x, y )
y
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例1. 已知二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
F , F ,0.1
F 0.1, F 0.1,0.1
因此， F ( x, y ) FX ( x ) FY ( y ),
故X和Y相互独立.
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e0.1
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§3.3 随机变量的独立性
1. 定义 设 （X，Y），F(x，y)，FX(x)，FY(y)

1
1
2

1 2 1
1
e
u2 2



(v u ) 2 exp{ }dv 2 2 2(1 ) 2 1 1
令 t
v u
2
, f X ( x)
1 e 2 1
u2 2



1 e 2
2 2 2
t2 2
dt
1 e 2 1
《概率统计》
xi x
p
j 1

y1 y2 · · ·yj · · · … p.j p.1 p.2 · · ·p.j · · ·
ij
p i
xi x
yj y
p
i 1
ij

yjy
p
j
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例2.已知随机变量（X，Y）的分布如下表，求关于X 和Y 的
边缘分布列. 解: Y 3 4 5 p.j X的边缘分布列为 0
求 X, Y的边缘概率密度。
2 y y e y xe dx 2
解：当y>0时,
当 y≤ 0 时 ,
fY ( y )

f ( x, y )dx

y 0
f Y ( y)
f ( x, y)dx 0dx 0


即
y 2e y f Y ( y ) 2 , 0 y 其它 0,
1 10 2 10 3 10
6 10
X
1 0
1 10 2 10
3 10
2 0 0
1 10
1 10
p i·
1 10 3 10
6 10
1
Y的边缘分布列为
X
3
1 10
4
3 10
5
6 10
返回
Y
0
6 10
下页
1
3 10
结束
2
1 10
pi.
《概率统计》
p.j
三 、二维连续型随机变量边缘密度函数
设X，Y的联合概率密度 f(x,y) 由于 FX ( x) P{ X 所以
P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }
即
pij pi. p. j .
返回 下页 结束
《概率统计》
例1．设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量 （X，Y）的分布表及关于X和Y的边缘分布表中的部分数据， 请补充下表：
Y X
y1
y2
1/8
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补充例1．一电子产品由两个部件构成，以X和Y分别表示两个 部件的寿命（单位：小时），已知X和Y的联合分布函数
1 e 0.5 x e 0.5 y e 0.5( x y ) , x 0, y 0, F ( x, y) 0, 其他 (1)问X和Y是否相互独立？(2)求两部件寿命都超过0.1小时的概率.
解: (1) 由于
1 e , x0 FX ( x) F ( x,) 0, 其它
0.5 x
(2) P{X 0.1, Y 0.1}
P{0.1 X ,0.1 Y }
1 e 0.5 y , y 0 FY ( y ) F (, y ) 0, 其它
j 1

p j P{Y y j } pi j
i 1

(i =1,2, …)
(j = 1,2, …)
即
X
X,Y 的边缘分布函数分别为：
x1 · · ·xi · · · … pi. x p2 . 1 p2. · · ·pi. · · ·
Y
FX(x) = F(x,+∞) = FY(y) = F(+∞, y) =
《概率统计》
解得
a
1

2
,b

2
,c

2
1 F ( x, y ) 2 ( arctan x)( arctan y ) 2 2
2 (2) f(x,y) F ( x, y ) xy 1 2 (1 x 2 )(1 y 2 )
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例1. 已知二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
p 1 P{ X x1} p1 j
j 1
p 2 P{Y y 2 } pi 2
i 1

《概率统计》
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二、二维离散型随机向量的边缘概率分布
设 X,Y 的联合分布列为 pij = P{X=xi ,Y=yj} 则 X,Y的边缘分布列分别为
p i P{ X xi } pi j
F ( x, y) a(b arctanx)(c arctany)
求（１）常数a，b，c；（２）联合密度函数 f(x,y)； （３）X ,Y的边缘分布函数；（4）P {X>2}
解：(1)由F(-∞,0)=0,
F(0,-∞)=0, F(+∞, +∞)=1, 得
a ( b )c 0 2 ab(c ) 0 2 a ( b )( c ) 1 2 2
0 y 1 其它
下页 结束
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例4. 已知随机向量（X，Y）的联合密度函数为
xe y , 0 x y f ( x, y ) 0, 其它
求 X, Y的边缘概率密度.
解：当x>0时,
当x≤ 0时,
f X ( x)
f X ( x)


若 对所有的 x，y 有 F ( x, y) FX ( x) FY ( y)
即
P{X x, Y y} P{X x}P{Y y}
则称随机变量X与Y是相互wenku.baidu.com立的.
2. 离散型随机变量独立性的判定
若（X，Y）的所有可能取值为（xi，yj）,（i，j=1，…2，…）
则 X 与 Y 相互独立的充分必要条件是对一切 i，j = 1,2,… 有
y3
P{X=xI} = pi.
x1 x2 P{Y=yI}
= p.j
1/24
1/8 1/6
1/12 1/4
1/4
3/4
1
3/8 1/2
1/3
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下页
结束
例2．已知X，Y的边缘分布列，且X与Y 相互独立， X 1 2 Y 1 2 3
pi ·
1/3
2/3
j 1/2 . p·
1/3
1/6