核反应堆物理分析公式整理

第1章—核反应堆物理分析
中子按能量分为三类: 快中子(E ﹥0.1 MeV),中能中子(1eV ﹤E ﹤0.1 MeV),热中子(E ﹤1eV).
共振弹性散射 A Z X + 01n → [A+1Z X]* → A Z X + 01n 势散射 A Z X + 01n → A Z X + 01n 辐射俘获是最常见的吸收反应.反应式为 A Z X + 01n → [A+1Z X]* → A+1Z X + γ
235U
裂变反应的反应式 23592U + 01n → [23692U]* → A1Z1X + A2Z2X +ν01n
微观截面 ΔI=-σIN Δx /I I I
IN x N x
σ-∆-∆=
=
∆∆ 宏观截面 Σ= σN 单位体积内的原子核数 0N N A
ρ=
中子穿过x 长的路程未发生核反应，而在x 和 x+dx 之间发生首次核反应的概率
P(x)dx= e -Σ
x Σdx
核反应率定义为 R nv =∑ 单位是 中子∕m 3?s 中子通量密度
nv ϕ=
总的中子通量密度Φ 0
()()()n E v E dE E dE ϕ∞
∞
Φ==⎰⎰
平均宏观截面或平均截面为 ()()()E
E
E E dE
R
E dE
ϕϕ∆∆∑∑==
Φ
⎰
⎰
辐射俘获截面和裂变截面之比称为俘获--裂变之比用α表示 f
γ
σασ=
有效裂变中子数 1f f a f γνσνσν
ησσσα
===
++ 有效增殖因数 eff k =
+系统内中子的产生率
系统内中子的总消失（吸收泄漏）率
四因子公式 s d
eff n pf k k n
εη∞ΛΛ=
=Λ k pf εη∞=
中子的不泄露概率 Λ=
+系统内中子的吸收率
系统内中子的吸收率系统内中子的泄露率
热中子利用系数 f =燃料吸收的热中子
被吸收的热中子总数
第2章-中子慢化和慢化能谱
2
11A A α-⎛⎫= ⎪+⎝⎭
在L 系中，散射中子能量分布函数 []'1
(1)(1)cos 2
c E E ααθ=
++- 能量分布函数与散射角分布函数一一对应 (')'()c c
f E E dE f d θθ→=
在C 系内碰撞后中子散射角在?c 附近d ?c 内的概率:
2d 2(sin )sin d ()42
c c r r
d f d r θπθθθθ
θθπ=
==对应圆环面积球面积
能量均布定律 ()(1)dE f E E dE E
α'
''→=-
-
平均对数能降 2(1)11ln 1ln 121A A A A αξαα-+⎛⎫
=+=- ⎪--⎝⎭
当A>10时可采用以下近似 22
3
A ξ≈
+
L 系内的平均散射角余弦0μ
00
1223c c d A
π
μθθ==
⎰
慢化剂的慢化能力 ??s 慢化比 ??s /?a 由E 0慢化到E th 所需的慢化时间t S
()th
E s s E E dE t v E λλξ⎤
=-
=-⎰
热中子平均寿命为 00
()
11
()()a d a a E t E v
E v v λ==
=∑∑（吸收截面满足1/v 律的介
质）
中子的平均寿命 s d l t t =+ 慢化密度 0
(,)(,)()(,)s E
E
q r E dE r E f E E r E dE ϕ∞
''''=
∑→⎰
⎰
(,)(,)(,)(,)(,)(1)(1)E
E E
a
s s E
E E r E r E dE E E q r E dE r E r E dE E E
ααϕαϕαα''''
∑-''''
==∑''--⎰
⎰⎰ 稳态无限介质内的中子慢化方程为 ()()()()()()E
t s E E E E f E E dE S E ϕϕ∞
''''∑=
∑→+⎰
无吸收单核素无限介质情况 ()()
()()(1)E
s t E
E E E E dE E
α
ϕϕα''∑'∑='-⎰
无限介质弱吸收情况
dE 内被吸收的中子数 ()()()a dq q E q E dE E dE ϕ=--=∑
0()exp()E a E
s dE q E S E ξ'∑=-'∑⎰
逃脱共振俘获概率00()()()exp()E a
E s E q E dE p E S E ξ'∑==-'
∑⎰
第j 个共振峰的有效共振积分 ,*() ()j
j A
E I E E dE γ
σφ≡
⎰
逃脱共振俘获概率i p 等于 1exp A i
A i i s s N I N p I ξξ⎡⎤=-=-⎢⎥∑∑⎣⎦
整个共振区的有效共振积分 ()()i
a E
i
I I E E dE σϕ∆=
=∑⎰
热中子能谱具有麦克斯韦谱的分布形式 /1/2
3/2
2()()
n E kT n N E e E kT ππ-=
中子温度 ()
(1)a M n M S
kT T T C
ξ∑=+∑ 核反应率守恒原则，热中子平均截面为
()()()(()(c
c
c c E E E E E N E vdE
E N E N E vdE
N E σσσ=
=
⎰⎰⎰
⎰
若吸收截面?a 服从“1/v”律
(a a E σσ=
若吸收截面不服从“1/v ”变化，须引入一个修正因子n g
a n σ=
第3章-中子扩散理论
菲克定律 J D φ=-∇ 3
s
D λ=
01s tr λλμ=
- 02
3A
μ= 0
01()4
6z s J z ϕϕ-∂=
+
∑∂ 001()46z s J z ϕϕ∂=∑∂＋－ 01()3z z z s J J J z
φ+-
∂=-=-∑∂ 3
3
s
s
x y z J J i J j J k grad λλφφ=++=-
=-
∇
中子数守恒（中子数平衡）
(,)(S)(L)(A)V
d
n r t dV dt =--⎰产生率泄漏率吸收率 中子连续方程 (,)
(,)(,)(,)a n r t S r t r t divJ r t t
ϕ∂=-∑-∂
如果斐克定律成立，得单能中子扩散方程 21(,)
(,)(,)(,)a r t S r t D r t r t v t
ϕϕϕ∂=+∇-∑∂
设中子通量密度不随时间变化，得稳态单能中子扩散方程 2
()()()0a D r r S r ϕϕ∇-∑+=
直线外推距离 tr
d 0.7104l = 扩散长度 2
20011
363(1)3(1)a tr a s a a s D L r λλλλμμ=
====∑-∑∑-
慢化长度L1 22
2
1
111112
110
1
00ln 3th a tr E D D L L E ϕϕϕϕξ∇-∑=∇-
=→=
=∑∑∑ L 21 称为中子年龄，用τth 表示， 即为慢化长度。

中子的年龄 0
()()()()()E E
s s D E dE D E dE
E d E E E E
ττξξ=
→=∑∑⎰
当热中子能谱按麦克斯韦谱分布时，热中子吸收截面等于
,0a a a ∑=∑ M2称为徙动面积，而M 称为徙动长度 22222
11()66
th s d M
M L r r r τ=+=+=
第4章-均匀反应堆临界理论
无外源无限平板反应堆单群扩散方程 21(,)
(,)(,)(,)a a x t D x t x t k x t t
ϕϕϕϕυ∞∂=∇-∑+∑∂
(21)()cos cos n n n n n x A B x A x a π
φ-== 2222222
/(1)(1)1a n n n n
D l L l D L B D L B L B υυ∞∑===+++ 22
1n n k k L B ∞=+ (21)1,2,3,n n B n a
π
-== (1)/'1
(21)(,)cos n n k t l n n n x t A x e a πϕ∞
-=-⎡⎤
=
⎢
⎥⎣⎦
∑ 裸堆单群近似的临界条件为 122
1
11k k L B ∞
=
=+ 稳态反应堆的中子通量密度空间分布满足波动方程 2
2
()()0g r B r ϕϕ∇+=
不泄漏概率 222
11a V
g a g V
V
dV L B dV DB dV
ϕϕϕ∑Λ===++∑+⎰⎰⎰中子吸收率中子吸收率中子泄漏率 裸堆单群近似的临界条件可写为 11k k ∞=Λ=
球形反应堆 22
2
()2()()0g d r d r B r dr r dr ϕϕϕ++= 有限高圆柱体反应堆 22222
(,)1(,)(,)(,)0g r z r z r z B r z r r r z
ϕϕϕϕ∂∂∂+++=∂∂∂ 反应堆功率可表示为 ()f
f V
P E r dV ϕ=∑⎰
材料曲率
2
2
1
m k B L
∞-= 临界条件可写为 B m 2= B g 2 22
1eff g
k k L B ∞
=
+ 单群理论的修正 122
11g k k M B ∞=
=+ 2
2
1m k B M ∞-= 芯部稳态单群扩散方程 (角标 c) 2
()()()0c c ac c ac c D r r k r ϕϕϕ∞∇-∑+∑=
引入一个特征参数k 来进行调整使其达到临界 2()()()0c c ac c ac c k D r r r k
ϕϕϕ∞
∇-∑+
∑= 反射层稳态单群扩散方程 （角标为 r ） 22
()()0r r r r k r ϕϕ∇-=
热中子通量密度分布不均匀系数/功率峰因子 max
1()H V
K r dV
V
ϕϕ=
⎰
第5章分群理论 与能量相关的中子扩散方程 (,,)
n r E t t
∂=--∂产生率泄漏率损失率
'''''''0
''''
()()()
(,,)(,)()(,,)(,)(,,)(,,)()()(,)(,,)s f s s s f f S Q Q Q r E t r E f E E r E t dE r E E r E t dE Q r E t E E r E r E t dE ϕϕχνϕ∞
∞
∞
=++=∑→=∑→=∑⎰⎰⎰产生率外源散射源裂变源
(,,)(,)(,,)(,,)divJ r E t divD r E grad r E t D r E t ϕϕ==-=-∇•∇泄漏率
a s (,)(,,)(,)(,,)(,)(,,)t r E r E t r E r E t r E r E t ϕϕϕ=+=∑+∑=∑损失率吸收损失率散射损失率
与能量相关的中子扩散方程
'''
0''''0
1(,,)
(,,)(,)(,,)(,)(,,)()()(,)(,,)(,,)
t s f r E t D r E t r E r E t r E E r E t dE t E E r E r E t dE S r E t ϕϕϕϕυχνϕ∞∞
∂=∇•∇-∑+∑→∂+∑+⎰⎰
稳态无外源中子扩散方程
'''
''''
(,)(,)(,)(,)(,)()()(,)(,)t s f D r E r E r E r E E r E dE E E r E r E dE ϕϕϕχνϕ∞
∞
-∇•∇-∑=∑→+∑⎰⎰任意系统稳态中子扩散方程
'''''''
()
(,)(,)(,)(,)(,)()(,)(,)t s f eff
E D r E r E r E r E E r E dE E r E r E dE k χϕϕϕνϕ∞
∞
-∇•∇+∑=∑→+
∑⎰⎰
在每一个能量区间对稳态中子扩散方程进行积分，可得G 个不含能量变量E 的扩散方程，
其中第g 群扩散方程为
'''
''''0
(,)(,)(,)(,)(,)(,)1()()(,)(,),1,
,g
g
g
g
t s E E E f E eff
D r
E r E dE r E r E dE dE r E E r E dE E dE E r E r E dE g G
k ϕϕϕχνϕ∞
∆∆∆∞∆-∇•∇+∑=∑→+∑=⎰⎰
⎰
⎰⎰
⎰
引入关于能群g 的相关物理量的定义
g 群中子通量密度
1
()(,)g g
E g E r r E dE ϕϕ-=⎰
g 群总截面 1
,1
(,)(,)g g
E t g t E g
r E r E dE ϕϕ-∑=
∑⎰
g 群扩散系数 1
1(,)(,)(,)g g
g g
E E g E E D r E r E dE
D r
E dE
ϕϕ--∇=
∇⎰
⎰
或者 1
1
(,)(,)g g
E g E g
D D r
E r E dE ϕϕ-=
⎰
群转移截面 ?g’ →g '''
'''1
(,)(,)g
g
s g g E E g
dE r E E r E dE ϕϕ→∆∆∑=∑→⎰
⎰
散射源项
''''''
'
'
'
'
'
1
1
(,)(,)(,)(,)()g
g
g
G
G
s s g g g E E E g g dE r E E r E dE dE r E E r E dE r ϕϕϕ∞
→∆∆∆==∑→=∑→=∑∑
∑⎰
⎰⎰
⎰
g 群中子产生截面 1
()()(,)(,)g
f g f E g
E r E r E dE ννϕϕ∆∑=
∑⎰
g 群中子裂变谱 ()g
g E E dE χχ∆=⎰
根据以上定义的物理量，得多群扩散方程
'''''
'
,1
1
()()()()()1,2,
,G
G
g
g g t g g f
g g g g g g g eff
D r r r r g G
k χϕϕϕνϕ→==-∇•∇+∑=∑+
∑
=∑∑
,,,,,
x g
n
n g
x g
n n g
x a f ϕϕ
∈∈∑∑=
=∑∑ ''
''
''
''
n n
n n g n g g g
n n g ϕϕ
→∈∈→→∑∑=
∑∑∑
一侧有反射层的双区均匀反应堆 芯部双群方程
()
()21,1,,1,1,2,1,2,22,2,2,2,12,1,1()()()()()()()
c c r c c f c f c c c
eff
c c a c c c c D r r r r k D r r r ϕϕνϕνϕϕϕϕ→⎡
⎤-∇+∑=
∑+∑⎣⎦-∇+∑=∑
反射层的双群方程
21,1,,1,2
2,2,2,2,12,1,()()0
()()()
r r r r r r r a r r r r D r r D r r r ϕϕϕϕϕ→-∇+∑=-∇+∑=∑
第七章 反应性随时间的变化
核燃料中重同位素的燃耗方程
11,,1
(,)
(,)((,))(,)G
i i i i a g i g i i g dN r t N r t r t N r t F dt βλσφ--==-++∑ 11,,11
(,)
i G
i g i g g r t γλβσφ---=⎧⎪=⎨⎪⎩∑ ,,,(,),(,)G
i i i f g i g i g i i F r t N r t γσφ''''''==∑∑
对于给定的燃耗区，给定的燃耗步长内，燃耗方程为
11()
()i i i i i i dN t N t N F dt
σβ--=-++ ,i a i i I σλ=+ ,,,1G
a i a g i g g I σφ==∑ 1
1,1
i i i I γλβ---⎧=⎨⎩
裂变产物中毒：由于裂变产物的存在，吸收中子而引起的反应性变化
P P
a a F M
a a a k k
k ρ'-∑∑-∆=≈=-'∑+∑∑ 135
Xe 的产生与衰变过程：-
-
-
-
6135
135
135
135
β
β
β
β
13519.2s
6.58h
92h
2.310a
Te I Xe Cs Ba ⨯−−−→−−−→−−→−−−−→
忽略其中半衰期短的过程，简化为：Xe
I
135135
135I Xe Cs λλ
−−
→−−→
135
I 和135Xe 的浓度随时间变化的方程式
I I f I I ()
()dN t N t dt γφλ=∑- Xe Xe Xe f I I Xe a Xe ()()()()dN t N t N t dt
γφλλσφ=∑+-+
135
I 和
135
Xe 的平衡浓度
I f I I ()N γφ
λ∑∞=
I Xe f Xe Xe Xe a ()()N γγφλσφ
+∑∞=+ 平衡氙中毒 ()f Xe Xe Xe a a Xe
a γφ
ρλφ
σ∑∑∆∞≈-=-
∑∑+
最大氙浓度发生时间 I max I Xe Xe 1
ln 11.3h t λλλλ⎡⎤=
≈⎢⎥-⎣⎦
149
Sm 的裂变产物链-
-
Nd 149
149
149
β
β
=0.0113
2h
54h
Nd Pm Sm γ−−−−→−−→−−→ (,)40800b a n γσ=
150
Sm
平衡浓度 Pm f Pm Pm ()N γφλ∑∞=
Pm f
Sm Sm
a ()N t γσ∑= 平衡钐中毒 Sm
Sm a Pm f Sm a a
()()N σγρ∞∑
∆∞=-∑∑
燃耗深度表示方法 u
()/MW d/t T
BU P t dt dW =
⋅⎰
100%B F F W W α=
⨯ kg/t B U U
W
W α= 核燃料的转换与增殖 铀-钚循环 -
-
239
239
239
(n,)
β
β
238
23min
2.3d
U U Np Pu γ−−−→
−−−→−−−→ 钍-钚循环 --233
233
233
(n,)
ββ232
22min
27d
Th Th Pa U γ−−−→
−−−→
−−→
第九章—核反应堆动力学
考虑缓发中子后的扩散方程为
6
2
1
1(,)(,)(,)(1)(,)(,)
a a i i i r t D r t r t k r t C r t v t φφφβφλ∞=∂=∇-∑+-∑+∂∑
(,)
(,)(,)i i a i i C r t k r t C r t t
βφλ∞∂=∑-∂
反应堆点堆动力学方程
6
(1)1
()()()eff i i i
k dn t n t C t dt l βλ--=+∑ ()()()i i i i dC t k
n t C t dt l
βλ=-
61
()()()()i i i dn t t n t C t dt ρβ
λ=-=+Λ∑
()()()1,2,....6i i
i i dC t n t C t i dt βλ=-=Λ
反应性方程
6
1i i i ωβρωωλ==Λ++∑ 61111i i i
l l l βω
ωρωωωλ==++++∑ 中子代时间Λ eff
l k Λ=
7127
012701
()(...)j t
t
t
t
j j n t n A e
A e A e n A e
ωωωω==++=∑
ρ∆为正，6个负根一个正根
0.01820.01360.05980.183 1.0050 2.87555.6()[1.4460.03590.1400.06370.02050.007670.179]
t t t t t t
t
n t n e e e e e e
e
------=------
反应堆周期 1
1
T ω=
、
中子密度的相对变化率来定义反应堆周期 ()
n t T dn dt
=。