单一生物种群增长模型

本章内容
7.1 Malthusian方程 7.2 Logistic方程
7.2.1 Logistic 方程及其解析解 7.2.2 Logistic 曲线 7.2.3 Logistic 方程的参数估计 7.2.4 Logistic 方程参数的变化
单一种群生态微分方程模型
对各种生物种群的数量增长等进行估测十分重要 eg. 人口增长——种群增长中最古老、最重要的问题
➢ 建模 仿真技术的发展，为预测和控制生物系统提供平台。
本章学习思路
在学习建模与仿真基本概念和方法的基础上，通过单一生物 种群增长系统建模仿真的典型范例，以点代面: 学习针对具体研究目的，去抽象、简化要研究的生物系统， 进行建模与仿真。 学习对模型仿真结果进行分析，对模型进行验证的思路。 学习生物系统建模仿真思路和方法学。
联合前面两个等式消去积分常数C，得方程的解：
或表示为
N r(t t0 ) ln N0
N
N er(tt0 ) 0
（7.2） （7.3）
种群相对增长率r
美国人口从1790年到1800年的相对增长速率可以从数据计算估计， 假设估计值 r＝0.031，根据方程（7.3）可得到
N (t) 3.929 106 e0.031(t1790)
18世纪就开始用数学模型来描述人口增长，英国经济学家和人口统计 学家 T.R. Malthus提出了描述人口增长的Malthus 模型， 假设人口的数量是可测的、连续变化的量，可以用微分方程描述。
本节介绍Malthus方程的建模、存在的问题以及改进思路 改进模型之一：Logistic方程
7.1 Malthus方程
例 1790年至1800年
人口平均增长率 5.308 3.929 106 0.1379106 人 年 1800 1790
人口平均相对增长率 3.952.（930188003.9127990） 0.03510 年
1800年至1810年
人口平均增长率 7.240 5.308 106 0.1932106 人 年 1810 1800
种群增长速率 lim N dN t0 t dt
种群相对增长速率 lim N 1 dN t0 Nt N dt
在一定的条件下，种群相对增长速率与种群大小无关，是一个常数 r， 它描述种群自然增长的能力，也称为自然增长率。
Malthusian方程
基于种群相对增长速率，得到描述种群增长规律的数学模型 Malthusian方程
数据 美国的人口调查记录是世界
上较完整的记录之一 表8.1给出了美国人口增长
的部分记录 从数据分析人口增长的规律
表8.1 美国1790-1980人口调查部分数据
年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890
人口（千） 3929 5308 7240 9638 12866 17069 23192 31443 38558 50156 62948
人口平均相对增长率 5.370.8（24108105.3108800） 0.03640 年
1810年至1820年
人口平均增长率 9.638 7.240 106 0.2398106 人 年 1820 1810
人口平均相对增长率 7.294.0（63188207.2148010） 0.03312 年
1 dN r N dt
（7.1）
若r＞0，方程描述了种群增长的过程； 若r＜0，方程描述种群减少的过程。
Malthusian方程的解析解
Malthusian方程是最简单的微分方程，积分这个方程就可以得解。
dN N
rdt
ln N rt C
其中C 是积分常数，由初始条件决定。如果当 t t0 时种群，有 N N0 ln N0 rt0 C
BACKGROUND
Why we need to study M & S and its application in Biologic systems?
➢ Biologic system is one of the most important and complex dynamic systems.
如种群的生活空间有限，生存条件有限等。 因此种群相对增长率 r 不可能一直维持原有的水平。
∴ 要修改模型，使之能更合理地描述某种群的增长。
Logistic方程是修改模型之一 修改思路 ：考虑到有限生存资源条件引起种群有饱和极限。
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7.1 Malthusian方程 7.2 Logistic方程
7.2.1 Logistic 方程及其解析解 7.2.2 Logistic 曲线 7.2.3 Logistic 方程的参数估计 7.2.4 Logistic 方程参数的变化
1860
这个方程所表示的结果与 1790~1860年的实际调查人口数 据十分吻合。 但是从1860年后出现较大误差； 随着时间推移，误差愈大。 说明人口的相对增长速率不可能 一直保持在原水平（不是常数）。
Malthus方程存在的问题及修改思路
按照Malthus方程，随着时间的推移，种群将无限增大。 实际上，当种群达到一定大小，种群的增长受到种种约束：
年 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980
人口（千） 75995 91972 105711 122775 131669 150697 179323 203185 226500
分析人口增长的规律
人口增长率：以单位时间（年）人口的增加来描述人口增长速率，与基数有关。 人口相对增长率：以单位时间人口增长比率来表示人口增长速率，与基数无关， 在一定的时间范围一定的条件下相对增长率可以一个稳定的常数来描述。
扩展到一般的种群增长问题。如果某一种群的数量以N(t)表示，其中 t 代表时间，从时间 t 到 t+Δt 这段时间的间隔 Δt 中有
平均种群增长速率 N (t t) N (t) N
t
t
平均种群相对增长速率 N (t t) N (t) N
N (t)t
N (t)t
令Δt →0，取极限就得到在时间t 的种群增长速率和种群相对增长速率