M矩阵判定定理及证明

M 矩阵的性质、判定定理及证明

一、M 矩阵背景介绍：

1、M 矩阵是计算数学中应用极其广泛的矩阵类 。M 矩阵是L 矩阵的一种，M 矩阵要求它自身的逆矩阵为一个非负矩阵。

2、首先，L 矩阵的定义为：若A 一个n*n 的方阵，若0>ii a 而

≤ij a (i ≠j)，则称A 为L 矩阵。

3、关于M-矩阵的一篇最早的论文发表于1887年，Stieltje 证明了一个具有非正非对角元的，非奇异对称对角占优矩阵的逆是一个非负矩阵。之后，1937年Ostrowski 提出M 矩阵的定义为：具有非正非对角元，且逆是非负矩阵。近年来，国内外的许多数学工作者对M 矩阵判定方法的研究都极为重视，并开展了深入的研究工作，给出了许多判定方法。但就目前的研究成果来看，所提出的M 矩阵的判定方法仅是、且仅能对M 矩阵作整体判定，这对高阶矩阵来说，在计算上较为困难，判定方法难以实现，因而现有M 矩阵的判定方法存在着相当大的局限性。

二、M 矩阵的概念

定义1 设n n ij a A ⨯=)(，且0≤ij a ，j i ≠，01≥-A ，称A 为M 矩阵。 定义2 设n n ij a A ⨯=)(，且0≥ij a ，若1-A 为M 矩阵，则称A 为逆M

矩阵。

引理1 如果n n ij a A ⨯=)(，且0≤ij a ，j i ≠，A 为M 矩阵的充要条件是A 可做三角分解，R L A •=,其中L 为下三角阵，R 为上三角阵，L 和R 的主对角元都是正值。

三、M 矩阵的判定定理与证明

定理1 若n n ij a A ⨯=)(为M 矩阵，则R L A ⨯=，其中下三角阵L 和上三角阵R 的主对角线元素为正，且其余元素为非正值。

证明 若A 为M 阵，则当j i ≠，0≤ij a ；j i =，0>ij a 。由引理1，A 可做三角分解R L A •=。设

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n l l l l l l L 21222111000 ， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=nn n n r r r r r r R 00022211211 则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++=nn nn n n n n n n n r l r l r l r l r l l r l r l r l r l r l r l r l A 1122

21211112212122221221112111112111111， 故0,,1111211≤n r l r l 。

因011>l ，故0,,112≤n r r ；因,0,0,,111111121>≤r r l r l n 故0,,121≤n r r ；因

022321231≤+r l r l ，故02221≤r l ，从而021≤l ；因023221321≤+r l r l ，故023≤r 。类

似的有02≤i r ，02≤i l （n i ,,5,4 =）。又因有0343324321421≤++r l r l r l 及

0334323421341≤++r l r l r l 故相应有014≤r ，043≤l 。类似的有03≤i r ，0

3≤i l （n i ,,6,5 =）。

假设k n =时有0≤ik l ，0≤ki r ，（n k i ,,1 +=），当1+=k n 时，由于

02,11,12,,12,22,12,11,1≤++++++++++++++k k k k k k k k k k k k r l r l r l r l ，故02,1≤++k k r 。又由于

01,11,21,11,2≤++++++++k k k k k k r l r l ，故01,2≤++k k l ；类似的可得到0,1≤+i k r ，0

1,≤+k i l （n k i ,,2 +=）。证毕。

定理2 设n n ij a A ⨯=)(，ij a 的代数余子式为ij A ，n j i ,,2,1, =，如果

,,0j i a ij ≠≥则1-A 为M 矩阵的充要条件0,0≤>ij ii A A 。

证明 必要性：如果1-A 为

M 矩阵，由于

))(,0(11n n ij A A A d A d

A ⨯**

-=≠==

，故0,0≤>ij ii A A )(j i ≠。 充分性：由于*-=A d

A 1

1，且0

,0≤>ij ii A A ，

),,2,1,(,0,)(n j i a a A ij n n ij =≥=⨯，就由定义1知1-A 为M 矩阵，证毕。

定义3 设有n 阶矩阵n n ij a A ⨯=)(，如果存在正向量X （即它的分量i x 都是正值），使得),,2,1(n i x a x a i

j j ij i ii =>∑≠成立，则称A 为拟对角

占优。

引理2 设n n ij a A ⨯=)(，满足)(0,0j i a a ij ii ≠≤>，并且矩阵T A A B +=为拟对角占优，则A 为M 矩阵。

定理 3 设n n ij a A ⨯=)(，如果k i n k i a a k i kk ii ≠=ΛΛ>,,,2,1,,4

1

则A 为M 矩阵（其中∑≠+=Λ=>≠≤i

j ji ij i ii ij a a j i a j i a ,0,,0）。

证明 若i ii a Λ>2

1

对n i ,,2,1 = 皆成立，则由定义3 知T

A A

B +=为拟对角占优。由引理2知A 为M 矩阵，为此，只需证明对某个i 有

i ii a Λ≤

21的情形。不失一般性，不妨设12

1

Λ≤ii a 。由 k i kk ii a a ΛΛ>41

,可得

,,,3,2,21n k a k kk =Λ>用111/)2

1

(a Λ乘以矩阵B 的第一列，得新矩阵

)()

1()1(ij b B =，则有

1)

1(11Λ=b ，