球类运动中的理论力学和空气动力学分析

球类运动中的理论力学和空气动力学分析

工院九系范永祥PB10009017林奇标PB10009001

目的：球类运动是生活中常见的运动，然而这些运动中也蕴藏

了很多科学知识，本论文旨在运用理论力学和流体力学以及空气动力学的知识分析排球飘球、足球香蕉球和乒乓球上旋下旋球的运动原理，利用抽象数学理论计算的方法，计算球的受力，进而结合空气动力学的知识，分析球类的运动。

关键字：飘球、香蕉球、上旋下旋球，卡门涡街，伯努利方程。引言：○1排球飘球：排球运动发球的一种。发球时身体正面对网站立，上手击球，用力突然，并充分利用转体、收腹、挥臂的力量，使球在不旋转的情况下飞行，产生不规则的飘晃。具有较强的攻击性。对运动员的力量素质及发飘球时由于击球的作用力通过球体重心，使球不旋转并带有飘晃的飞行，使对方难以判断，容易产生错觉，造成接发球困难。发这种球，面对球网；便于观察对方，容易控制落点，准确性较大，成功率较高，攻击性强。正面上手飘球是目前排球比赛中最常用的一种发球方法。

○2乒乓球上旋下旋球：乒乓球是我国的国球，当乒乓球本身带着上旋飞行时，同时带着球体周围的空气一起旋转，但是由于球体上沿周围空气旋转方向和对面空气方向相反，因而受到阻力，导致其流速降低。而球体下沿的气流与迎面空气阻力方向相同，因而流速加快。最后的结果是，本来球体上下沿的压力相等，现在变成上沿的增大，而下沿的减小。这样由于球体受力不均衡，总的合力方向是向下，给击球者的感觉就是上旋球的下落速度加快。因此，在相同的条件下，

上旋球的飞行弧线比不转球的飞行弧线要低、要短。

如果是下旋球，其受力情况跟上旋球恰好相反，球体上沿的空气流速快，压强小，下沿的空气流速慢，压强大，所以气流给球体一个浮举力。这样，在其他条件相同的情况下，下旋球比不转或上旋球的弧线要高，要长。

○3足球香蕉球：又称“弧线球”，足球运动技术名词。指足球踢出后，球在空中向前并作弧线运行的踢球技术。弧线球常用于攻方在对方禁区附近获得直接任意球时，利用其弧线运行状态，避开人墙直接射门得分。当足球在空中飞行时，并且不断地在旋转，由于空气具有一定的粘滞性，因此当球转动时，空气就与球面发生摩擦，旋转着的球就带动周围的空气层一起转动，从而形成足球在空中向前并作弧线飞行。由于球呈弧线形运行，与香蕉形状相似，故又俗称“香蕉球”。

模型：我们先将排球（乒乓球、足球）抽象成一个质点，并且假设这个质点以初始速率v0、仰角α抛出，若空气阻力与速率的平方成正比，为方便起见，我们假设比例系数为mk,m为质点的质量，则有：

m x =−mkv2x

v

=−mkvx =−mkvs x x =−k s x

m y =−mkv2y

v

−mg=−mks y−mg

y =−ks y−g

其中x轴沿水平方向，y轴沿竖直向上。所以小球质点的运动微分方程可以写成：

x =−k s x

y =−ks y−g

进一步

y =dy

dt

=

d

dt

dy

dx

dx

dt

=x

dy

dx

+x 2

d2y

dx2 x

dy

dx

+x 2

d2y

dx2

=−ks y−g

将x =−ks x及y =dy

dx

x 带入上式，得

x d2y

dx2

=−g

再将x =d x

x x =1

2

d x

dx

及s =ds

dx

x 代入x =−ks x，得

1

2

dx 2

dx

=−kx 2

ds

dx

dx 2

x 2

=−2kds

用初始条件t=0是s=0，x =v0cosα，对上式积分，可得

x 2=v0cosα2e−2ks

将式（2）代入式（1），即得

d2y dx2=−

ge2ks

v0cosα2

所以，小球质点的微分方程可以写成

d2y dx2=−

ge2ks

v0cosα2

这里的s是自抛射点沿轨道经过的路程。

可见，质点受到的空气阻力越大，则d 2y

dx2

越大。若我们忽略空气阻力，则k=0，积分上述轨道微分方程，可得：

d2y dx2=−

g

v0cosα2

两边对x积分，

dy dx =−

g

v0cosα2

x+c1

初始条件：x=0是，dy

dx

=tanα，定出c1=tanα，

dy dx =−

g

v o cosα

x+tanα

y=−

g

v0cosα

x2+x tanα+c2

初始条件：x=0时，y=0，定出c2=0，

y=−

g

2v0cosα2

x2+x tanα

=−

g

2v0cosα2

x2−2v02cos2α∙tanα∙x

=−

g

2v0cosα2

x−v02sinαcosα2+

1

2

v02g sin2α

是标准抛物线方程。

讨论：以上是利用目前我们力学课堂上所讲的知识进行的计算，仅仅是将小球抽象成一个质点。然而，仅仅依靠这些计算是不能够解决的，论文中所涉及到的球类运动都是利用球的表面与空气摩擦的阻力进而改变了“应有”的运动轨迹给对方以错觉，进而达到出奇制胜的效果。

进一步分析：○1排球飘球：在击球的一闪那让击球力通过球心，