信号与线性系统分析_(吴大正_第四版)第一章习题答案

专业课习题解析课程
第1讲
第一章信号与系统(一）
专业课习题解析课程
第2讲
第一章信号与系统(二）
1-1画出下列各信号的波形【式中r（t） = t； (t）】为斜升函数。

（2）f(t) t :：二（3）f(t）=sin「t）；（t）
（5） f(t)=r(s int) (10） f （k ）=[1 （T ）k ]"k)
(4)
f(t) = ；(Si nt) (7) f(t) =2k ；(k)
解：各信号波形为
（2） f （t) = e
刊，—：: ：：t ：：：：
(3）f（t) =si n(p；
（t)
∕
ω
(4）f(t） _ ；
(Sint)
（5) f(t)=r(si
nt)
/(/)
—4 兀—3 Tt 一2κ —n O K 2κ 3 Ji t
<e)
(7) f(t) =2k；(k)
(10) f（k）=[1 （_1)k］；(k）
/(»
2・k
彳
__________ A i_____________
I Λ-
■
0t 2 3 4 5(i
CJ）
1—2画出下列各信号的波形［式中r（t） = L(t）为斜升函数］.
（1) f（t) = 2 (t 1） - 3 (t T) （t — 2）（2) f (tp r（t) - 2r(t - 1) r(t -
2)
解：各信号波形为
(1)
f(t ）= 2(t 1）— 3 (t - 1) (t — 2)
(a ） (2) f （
tp r （t ） 2r （t1) r （t 2)(5) f(t)τ(2t) (2-t) k 兀 (11) f(k) =sin( )[ (k)- ；(k-7)] 6 (8) f(k)= k[ (k)- (k-5)] (12) f (k 「2k [ (3- k)- (k)]
(8)f （k ）. k[ （k ） -(k (5） f （t)= r （2t) （2 — t) （e ）
— 5)]
I ∖
fg
1
丁 ■ ~ι
丨Fr
I
Λ
I ∖。

d
1 2 1
L 5 S ⅛
(k ）
（11
)
f(k)5（K2W7）]
k
(12)f(k)= 2k[ (3 - k）- (k)］
Ifa)
4∙
J. A.,. J
O∣ 1 2
(I)
1-3写出图1-3所示各波形的表达式
(a) ∕(∕) = 2ε(Z + 1) —ε（∕ — 1）—ε（f— 2）
(b) ∕（r）= (f÷l）ε(f÷l) - 2(z - l)ε（f — 1） + (f — 3）ε
（z—3)
(C）fit) = IoSin（T:/）_E（Z）-E（Z - 1)]
（d)∕（r) = 1 十2(r + 2）_E（I + 2) — E（r + 1）_ +(1 — l）,（r +
1） - E（T— 1)_
1-4写出图仁4所示各序列的闭合形式表达式
解图示各序列的闭合形式表示式分别为；
(a)∕(⅛) = ε（⅛ + 2) (b)∕(⅛）= ε(⅛— 3) -ξ
（k— 7）
(c)∕(⅛) = e(-⅛ + 2) （d）∕（⅛) = (― l）*e(⅛）
1—5判别下列各序列是否为周期性的.如果是，确定其周期
解：
⑵该序列的周期应为込（響 +于）和Cw(即+寺）的最小公倍数
8 CoS
⑸该序列不是周期的JX前的周期为2π,sin(πf)的周期为2，若序列周期为「则丁是2
的整数倍厂也是％的整数彳氛这不成立…：不是周期的勺
(2)3兀
f2(k) = cos(-
4
πJEjl
k ? C o S g k 6 (5) f5(tp 3cost 2si n( t)
A该序列的周期为24.
1—6已知信号f （t)的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形
解：各信号波形为
(1) f(t —1） （t ）
(1) f （t —
1） （t ）
df(t ）
⑺—dT
(2
）
⑹ f （0∙5t 2)
t (8） 「f (χ
)dx
(2) f(t - 1) (t - 1）
（5）f(12t）4
■ /
2I
I
O 1 3
〈a
)
Cb
）
（6）f（0∙5t-2）
df
（t）⑺ dt
I I
y（I- 2⅛）
_ I _____ —11 3 ⅛
2 2 2
（E
)
t
⑻“ f(x)dx
J 一 F
/(Λ-2)KΛ)
(Co
—乂 二 二
（9)
（2 =)；) (2
-工r (
逢
（L
2r （2 +
>l ’4 (9
）
H
寸 —
〉
1
）
：0)I E
4〉] 3∣
2r
1 2 3 4 5 6
〈O
/(Λ-2)KΛ) /(-⅛÷2⅛(—Λ÷J)
/(Λ-2)KΛ)
1—9已知信号的波形如图的波形
解：由图1—11知，f(3-t）的波形如图1-12（a)所示（f(3-t)波形是由对f(3- 2t)的波形展宽为原来的两倍而得)。

将f （3- t)的波形反转而得到f(t 3）的波形，如图1—12(b)所示。

再将f(t 3）的波形右移3个单位,就得到了 f(t）,如图1-12(C)所示。

d≡的波形如图1—12（d）所示.
dt
2 2
5
O
(1) (5)
/ G 3—C
(2)(vt)^[e r (t)]
dt
t
(8) _：CX) '(X)dx
1-10计算下列各题
d 2
討
CO
S t Si n (2t)W
K 1-12
o0
2 兀
t [t 2 sin( )] (t 2)dt
4
d∕(B dr
4
（1
） (Ilr)
Sin
（2f
）弘亠
s
≡∙f +
2cos （2r),
o
〉，c
)
+
〔cosz
+ Win
(27),√(r ）〉
%
｛
τsinz
+ 2COs
(2z )%,c ） + a （r
）〉
I —
COSr
I 4s 5∙(
2
r )lωj c ）十
「— s ≡∙
r +
2cos(2r
），√(r
） + 6、c ）
I -
CoSz
—
4s
≡，(2z ）⅛Γj (f )
十
26
（f
）
咏冷沽
g
「e-s
C
）〕+
Q
） dr
H —d c ) +o 〈（
m H o 〈（r ）
何
⅛R÷
i s
e —：
6、
Q
） H o<Q ) +
＆Q ）
≡（1
—
f) g d —os Q ）〕H
(1 —r)6、Q ）
H
o 〈
(
r
）
— &、
Q
)
H
6、Q)
+6（r ）
何阳幷卿
¾’c ） J ⅜r )
(5) Il ［∕2
+
+ 2）dr =［严十 sin （学>］ =3
+ Y
4
4
r--2
（8) C1 - x)δ’（x ）dx
咄
-X
—∖ C ⅛∖jr) — (— l)⅞(x ）-d 4z = f 扩（Jr ）ClZ+( ⅛(JΓ )d fc r
J S
J —OG
J -OC
=S （t) — ε(f)
1-12如图1—13所示的电路，写出
(1) 以u
c （t ）为响应的微分方程＜
(2) 以L （t ）为响应的微分方程
囲
1-13
解由KVL可得u s(t) = U l St） +々(门由
KCL 可得z∕,(r） = I R Ct) + ZC
（^) 各元件端电流和端电压的关系为
（1）选定u c(t)为响应,联立以上各式消去其余中间参量得
L d
十R di uc
(r） + "c(f) = 〃
s(r）
稍加整理得以”c(r)为响应的微分方程
(2）选定以⅛（r）为响应,联立各式消去其余中间参量可得d
L d・
Rdi I
稍加整理得以∕∙√r）为响应的微分方程
TL（ T)+ + YQi L（ f)= +
d?
LC乔B(f） +^∞÷^∞
=
C⅛s∞÷⅛s∞
dr
1—20写出图1-18各系统的微分或差分方程
解 (a ）系统框图中含有两个积分器•则该系统是二阶系统,
设最下方积分器输出川“,则
各积分器输入为Xxt)∙jc,(r）o
左方加法益的输出为
X f et y） = /（/）— 2jr（r) - 3T(∕）
即Z(r) +3√(r） +2^(r) = JXt）
由右方加法益的输出9得
y（t)=『(/）—2*(/) 由上式得
/(r) = [√，(r）Γ—2[√(z）T 3√（r) = ［3Z(r）]z-2［3√(r)J, 2y(t） = [2∙τ”(r)] - 2［2<r’(r）］将以上三式相加，得
y,(r) + 3『（/) + 2y（t)
=［√，（r） + 3√（r) + 2jτ(r)7 —2[√（r） + 3x,（r） + 2x(r）J,
考虑到/（r） = Z（Z）+3√（r)+2jτ（r）,± 式右端等于y z，(r) - 2∕，（r)，故得/（r）+ 3√(r）+2^（r) = ∕,(r） -2∕(r)
此即为系统的微分方程。

(b)系统框图中含有三个积分益，则该系统为三阶系统n设最下方积分益输出为X（tK
则各积分益输入为,∙z”(f）^X f Ct y) □
左端加法器的输出为H”(∕) = /(Z) —2χz（r) - 3x（Z）
即Xyt) + 2j∙z（r) + 3∙r（C = /（r)
由右方加法器的输出得
Xxt}— 4∙r(r)
t y（Z) =
由上式得
『⑺=［〜）了一40 2e y’（r） = [2∙z’（∕）］" -
4[2〈r'(t)] 3y（t） = [3∙τ（r）了一4［3=（r)]将以上三式相加得
^(r）+2√（r) +3^(r）
=[∙z"(f） + 2x,（∕) + 3∙r（r)］” — 4[jr^（r） + 2<r'（r）÷ 3j∙(r）~即
y r(r) + 2y f（t) + 3y（f） = y，,（r) — 4 f（t y）此即为系统的微分方程.
(C）系统框图中有两个迟延单元，因而该系统为二阶系统。

设上方迟延单元的输入为工Z则各个迟延单元的输出为k—2）o 左方加法益的输出为
x（k）= μk) + 2xCk-↑）—4x(k-2）
即工“）一2工4一1) +4JC"-2）=f(k y）
右方加法器的输出为
yCk) = 2JΓ（Z?—一x（k — 2）
由上式移位口J得
-2y(k-■1) = 2［—2工
（上一2）]—L- 2x（⅛-3)］
4曲--2） = 2[4/" - -[4JΓ(怡—4) J
将以上三式相加得
y（Q —2yd— 1) +4y4-2)
=2[∙r（Z? — 1) —2x｛k - 2） +4∙r(b—3)］—[工（怡一2）—2x｛k - 3) ÷4JΓ(Z?— 4)J 考虑到式x(k)—2x（k-l）÷4x(k-2） = /(⅛)及其迟延项9可得y（k)-2y(k-l y）+4y(k-2)= 2∕(Λ-1）— /（⅛-2)
此即为框图中系统的差分方程。

（d)系统框图中有两个迟延单元9因而该系统为二阶系统.设上方迟延单元的输入为Jrd),则各个迟延单元的输出为Gd — I）M毎一2)
左方加法器输出为
XCk y) = fCk） + 2x( k— 2) 即XCk)—2x(k—2)
= f(k y）
右方加法器输出为
y（%） = 2x(k）+3JC（^— 1）— 4x（^ — 2)
由上式移位得
—2y（k— 2） = 2[—2x（k— 2）］ + 3［—2x(k— 3)。

— 4[—2x(k—4）］将以上两式相加得
yCk）— 2y(k — 2）
=2［m —2x(k 2)］ + 3［jr(⅛— 1）—2x（k— 3）J — 4［〈r(b — 2）—2x（k - 4)］考虑到式Jr毎）一2«Zd — 2) = f(k）及其迟延项，口J得
y(k）-2y（k-2y） = 2/()⅛) + 3f(k—D—4∕(Λ - 2)此即为框图中系统的差分方程。

1-23设系统的初始状态为X（O)，激励为f（),各系统的全响应y(）与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。

」t t
（1）y(t^e x(0p O SinXf （x）dx ( 2）y(t）= f(t)x(O）O f （x)dx
t k
(3）y(t)=sin[x（O)t] 0f (x)dx （4）y（k） = （0。

5） x（0） f （k） f (k — 2)
k
（5）y(k) = kx（O） ' f(j）
HO
解用%(门表示零输入响应,J?（C表示零状态响应。

(1) y r(∕) = e^∖r (O） ^βy∕（∕) =
SinJ’/(jr）dx
J 0
则y（t) = yΛt)+y f Ct)满足口J分解性.
又yΛn,y f∞分别满足零输入线性和零状态线性，则系统是线性系统.
(2)由系统表示式可知
•f
χr（r) = O,37（r） = /(Jr) d∙r
J 0
口J得y(t）≠ y r(f）+刃⑺
因此系统不是线性系统
(3)由系统表示式可知
yτ(t) = sinR(0）∙= /（x)djr
J 0
口J得,（门=y r d） +刃(门，系统满足分解特性。

但y∏ （f） +yr2（f）≠ sin［(jfι (0） + JC2(O）) ∙t~∖
即yAt｝不满足零输入线性,因此系统不是线性系统n
(4)由系统表示式口J知
y r（%) = (＊)∖r(O），57(上）=fCk y）∙ /(⅛ - 2)口J得，“）=%4)+力4）满足可分解特性
但jz zl(k)+y f2（k）≠ [/1 (⅛）+∕2（Λ)] ∙LΛ4-2）+M—2）]即刃以)不满足零状态线性，因此系统不是线性系统。

(5)由系统表示式可知
k
％(小=&(0），刃4）= ∑∕(j）
j = O
町得y(k）= yΛk)+y f（k^系统满足町分解特性又有
y^（k）+y x2(k） = X I(O） + x2(0）J
k
“⑷+九⑷=∑c∕ισ)+∕2σ）j
j = o
则yΛk^y f Ck）分别满足零输入线性和零状态线性，因此系统为线性系统α
1-25设激励为f(),下列是各系统的零状态响应y zs() 时不变的、因果的、稳定的？
（1）V zs（t^d≡（2）y zs(t) = ∣f（t)
(4）y zs（t）= f（ t）(5）y zs（k)= f(k)f(k—1）
k
(7）y zs（k)八f(j) （8)y zs（k)= f（1-k)
j T
解（I)系统满足齐次线性和可加性•则系统为线性系统
U(f —Fj = 2f（f—“），系统为时不变系统。

判断各系统是否是线性的、
(3)y zs(t)= f(t)cos(2 t) (6)y zs(k)= (k- 2)f(k)
当t < to时√（r) = 0，则此时有‰（r）=彩/⑺=5则系统为因果系统α
当/（r) =ε（r）时，》％（/)= 6（r） M = 0时9 I ‰(r) IfX °则系统为不稳定系统。

(2)占⑺+g(C =I ∕1(r）∣+∣∕2（r）∣≠l ∕ι（r）+∕2(r） I，系统为非
线性系统. y i St—t6） =I /（z-r d) H系统为时不变系统。

当t < f0时/（f) = 0,有y zf Ct) =I /(r) I = 0,则系统为因果系统SJ 若丨/Q）|<冲有I兀⑺∣ = ∣ /(r) <χ，则系统为稳定系统。

(3)系统满足齐次和可加性，则系统为线性系统α
y a Ct - fd）= fit —。

)cos［2π（r — G)］≠ f(t — r d）cos（2πf) 则系统为时变系统n
当t < 时J（r)= 0，则此时有yκ（t） = /（r）cos(2πf) = 0，则系统为因果系统。

若Im) 〈 X,有I ‰（r）I = I /（r）cos（2πr) l〈 X°则系统为稳定系统。

系统的迟延输入为/（r-r d），则系统的输出为/(—r —“），则有
T[｛0｝√(r — r d)Z = /(—t —t d y) ≠ y zf(t —= /（—？+ ”)
因此系统为时变系统。

若YtO时』（/）= 0,则有一r Vfo β∣l t >- r0时皿⑺ =/（一门=0，因此系统为非因果系统。

若/（r) KOC则有I几⑺| = | /（-/）∣〈∞,因此系统为稳定系统
(5)系统不满足可加性9则系统为非线性系统a
T［{0}√（⅛-⅛d)] = f(k—k d)f（k-k d—l)=‰(⅛—⅛d）,则系统为时不变系统。

若k<k。

时,/W=O,则此时y n(k) = JXkyXk-D=Q9则系统为因果系统。

若I f∖k)∣〈∞，则I jβ（⅛) ∣ = ∣/(⅛)∕（^-l) l<∞ 则系统为稳定系统。

T［｛0}√（⅛-⅛d）］ = (⅛—2）f∖k—k^≠ （⅛—Λd-2）/(^—^) =‰(Λ-⅛d）, 则系统为时变系统α
若k〈k.时√（Λ) = 0,则此时有y zf Ck) = (⅛—2）∕(⅛） = 0，则系统为因果系统。

若I /⑷Iv co,则当—co时，％⑹ =（k-2）∕Xk）不一定为有限大9则系统为不稳定系统。

(7)系统满足齐次线性和口J加性，系统为线性系统.
k f
∏{O｝√（Λ—⅛d)J = ∑∕(J-⅛d）≠ ∑∕(J) =％(H则系统为时变系
J=O 7 = 0
统。

k
若k 〈k^时9f（k y) = O9则此时有yzΛk) = Zf（J） = O9则系统为因果系统。

√ ≡0
k
若f（k） =Ea)则y z9（，k)=工f(j） = （⅛ + l）ε（⅛）,则当y⅛-〉∞ 时，
*（Q I- OC,则系统为不稳定系统。

(8)系统满足齐次线性和可加性•系统为线性系统,
∏{0｝√(⅛-A d）］ = /(l—⅛—⅛d）≠‰(⅛-⅛d） = /(l-⅛+A d),则系统为时变系统.
若⅛ < ⅛0时/(½) = O ■则1 —丘 V 爲，即E 〉 1 —⅛c，时?B y W（⅛)= /(1 —k）= O弓则系统为非因果系统。

若/（⅛） K OC.则当⅛→OO时=∕(1-⅛X∞∙则系统为稳定系统白
1-28某一阶LTl离散系统，其初始状态为χ（0）。

已知当激励为yι（k"(k）时，其全响应为
若初始状态不变，当激励为-f（k)时，其全响应为y2(k）= ［2（0.5)k—1];（k)
若初始状态为2x（0），当激励为4f（k）时,求其全响应。

解设初始状态下系统的零输入响应为激励为/(⅛）时，系统的零状态响应为刃“），则由系统的町分解特性可得
y↑(k） = y x（k) + y∕Ck）= ε(Z？）
当初始状态不变，激励为八怡）时，根据系统的齐次线性口『知系统的全响应为
必(怡）=Xr(怡)一)7(怡)=[2（＊）＊—lZε（⅛）
联立以上两式口J解得
M) = (*)*")
根据LTI系统的特性口J■知当初始状态为2x(0）,激励为ifCk）时9系统的全响应为必4）= 2yτ（k) +4y f Ck) = ［4—2( y）i>（〉⅛）。