01-线性规划ppt课件
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第5页
01:20
设 x1、x2 分别为第一、第二化工厂每天处理的工业污水量。
目标函数：
要求两厂用于处理工业污水的费用最小
min z = 1000 x1+800 x2 约束条件：
第一化工厂到支流汇入点之间的污水含量要不大于 0.2%
(2 - x1) / 500 2 / 1000 流经第二化工厂后，河流中的污水含量仍不大于 0.2%
⑶ 都有一个用决策变量的线性函数表示的目标函 数。按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。
第8页
价值系数
• 一般形式 （费用系数）
01:20
右端项
max(min) s.t.
约束系数
z =c1x1 + c2x2 +…+ cnxn
(1.1)
a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn ( = , ) b1
xj 0 （j =1，2，···，n）
其中bi 0，（i =1，2，···，m）
一般m< n；m，n > 0。
(1.3)
标准形式有如下四个特点：目标最大化、
约束为等式、决策变量xj均非负、右端项
bi非负。
第10页
01:20
1.极小化目标函数的问题： 设目标函数为
M则i可n f以=令c1zx1＝+ c-2fx2，+ 该…极+ 小cnx化n 问 题
剩余 变量
第13页
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例2.2：将以下线性规划问题转化为标 准形式
Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7
4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x1 , x2 , x3 ≥ 0
01:20
线性规划 (LP ) ( Linear Programming)
第1页
第一章 线性规划与单纯形法01:20
§1 线性规划问题及其数学模型 本节重点：
线性规划模型的特点 线性规划模型的标准形式 线性规划解的存在情况 线性规划解的基本概念
第2页
01:20
1.1 问题的提出
例 1．某工厂计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品， 已知生产单位产品所需的设备台时和 A、B 两种原材料的 消耗、以及可获利润如表所示，问应如何安排计划使该 工厂获利最多？
[0. 8(2 - x1) + (1.4- x2)] / 700 2 / 1000 污水处理量限制
x1 2，x2 1.4，x1 0，x2 0
第6页
01:20
整理得数学模型：
目标函数 min z = 1000x1+ 800x2
约束条件 s.t.
x1 1
0.8 x1 + x2 1.6
x1 2
Ⅰ
设备
1
原材料 A
4
原材料 B
0
利润
2
Ⅱ
可利用资源
2
8 台时
0
16 kg
4
12 kg
3
？元
第3页
Ⅰ
设备
1
原材料 A
4
原材料 B
0
利润
Baidu Nhomakorabea
2
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Ⅱ
可利用资源
2
8 台时
0
16 kg
4
12 kg
3
？元
设 x1、x2 分别表示计划期内产品Ⅰ、Ⅱ的产量， 建立数学模型：
利润最大
设备台时 原材料 A 原材料 B 产品产量
第9页
•标准形式
01:20
• 为了求解LP问题，必须将模型统一为标准形式
max s.t.
z =c1x1 + c2x2 +···+ cnxn
a11x1 + a12x2 +···+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 +···+ a2nxn = b2
···
···
(1.1) (1.2)
am1x1 + am2x2 +···+ amnxn = bm
与下面的极大化问题有相同的最优 解，即
M但ax必z 须= -注c1x意1 -，c2尽x2 -管…这-两cnx个n 问题的 最优解相同，但他们目标函数的最优 值却相差一个负号，即
Min f ＝ - Max z
第11页
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2、约束条件不是等式的问题：
假设约束条件为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量xs ，使它
a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn ( = , ) b2
…
…
(1.2)
am1x1 + am2x2 +…+ amnxn ( = , ) bm
x1，x2，…，xn 0
(1.3)
求解线性规划的任务就是：在所有满足约束条件的解(x1， x2，…，xn)中求出使目标函数 z 达到最优值的最优解(x1*， x2*，…，xn*)。
x2 1.4
x1 0，x2 0
第7页
01:20
• 线性规划模型的共同特征 （模型的三要素）
⑴ 每一个模型都有一组决策变量(x1，x2，…，xn)， 这组决策变量每取一组值就代表一个具体的方案。一般 这些变量的取值都是连续且非负的。
⑵ 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组 线性等式或线性不等式来表示。
目标函数 max
约束条件 s.t. (Subject to)
z = 2x1+ 3x2
x1 + 2x2 8
4 x1
16
4 x2 12
x1，x2 0
第4页
01:20
例 2．靠近某河流有两个化工厂（见图），流经第一化工厂 的河流流量为每天 500 万 m3，在两个工厂之间有一条流量为 每天 200 万 m3 的支流。第一化工厂每天产生污水 2 万 m3，第 二化工厂每天产生污水 1.4 万 m3。从第一化工厂排出的工业 污水流到第二化工厂以前，有 20%可以自然净化。根据环保 要求，河流中工业污水的含量不应大于 0.2%。这两个工厂都 需各自处理一部分工业污水。第一化工厂处理工业污水的成 本是 1000 元/万 m3，第二化工厂处理工业污水的成本是 800 元/万 m3。现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理 多少工业污水，使这两个工厂总的处理工业污水费用最小。
等于约束右边与左边之差
xs =bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn )
显然，xs也具有非负约束，即xs≥0， 这时新的约束条件成为
松弛 变量
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+ xs = bi
第12页
01:20
当约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≥ bi 时，类似地令 xs=(ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn)- bi 显然， xs也具有非负约束，即xs≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn- xs = bi
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设 x1、x2 分别为第一、第二化工厂每天处理的工业污水量。
目标函数：
要求两厂用于处理工业污水的费用最小
min z = 1000 x1+800 x2 约束条件：
第一化工厂到支流汇入点之间的污水含量要不大于 0.2%
(2 - x1) / 500 2 / 1000 流经第二化工厂后，河流中的污水含量仍不大于 0.2%
⑶ 都有一个用决策变量的线性函数表示的目标函 数。按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。
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价值系数
• 一般形式 （费用系数）
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右端项
max(min) s.t.
约束系数
z =c1x1 + c2x2 +…+ cnxn
(1.1)
a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn ( = , ) b1
xj 0 （j =1，2，···，n）
其中bi 0，（i =1，2，···，m）
一般m< n；m，n > 0。
(1.3)
标准形式有如下四个特点：目标最大化、
约束为等式、决策变量xj均非负、右端项
bi非负。
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1.极小化目标函数的问题： 设目标函数为
M则i可n f以=令c1zx1＝+ c-2fx2，+ 该…极+ 小cnx化n 问 题
剩余 变量
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例2.2：将以下线性规划问题转化为标 准形式
Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7
4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x1 , x2 , x3 ≥ 0
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线性规划 (LP ) ( Linear Programming)
第1页
第一章 线性规划与单纯形法01:20
§1 线性规划问题及其数学模型 本节重点：
线性规划模型的特点 线性规划模型的标准形式 线性规划解的存在情况 线性规划解的基本概念
第2页
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1.1 问题的提出
例 1．某工厂计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品， 已知生产单位产品所需的设备台时和 A、B 两种原材料的 消耗、以及可获利润如表所示，问应如何安排计划使该 工厂获利最多？
[0. 8(2 - x1) + (1.4- x2)] / 700 2 / 1000 污水处理量限制
x1 2，x2 1.4，x1 0，x2 0
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整理得数学模型：
目标函数 min z = 1000x1+ 800x2
约束条件 s.t.
x1 1
0.8 x1 + x2 1.6
x1 2
Ⅰ
设备
1
原材料 A
4
原材料 B
0
利润
2
Ⅱ
可利用资源
2
8 台时
0
16 kg
4
12 kg
3
？元
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Ⅰ
设备
1
原材料 A
4
原材料 B
0
利润
Baidu Nhomakorabea
2
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Ⅱ
可利用资源
2
8 台时
0
16 kg
4
12 kg
3
？元
设 x1、x2 分别表示计划期内产品Ⅰ、Ⅱ的产量， 建立数学模型：
利润最大
设备台时 原材料 A 原材料 B 产品产量
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•标准形式
01:20
• 为了求解LP问题，必须将模型统一为标准形式
max s.t.
z =c1x1 + c2x2 +···+ cnxn
a11x1 + a12x2 +···+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 +···+ a2nxn = b2
···
···
(1.1) (1.2)
am1x1 + am2x2 +···+ amnxn = bm
与下面的极大化问题有相同的最优 解，即
M但ax必z 须= -注c1x意1 -，c2尽x2 -管…这-两cnx个n 问题的 最优解相同，但他们目标函数的最优 值却相差一个负号，即
Min f ＝ - Max z
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2、约束条件不是等式的问题：
假设约束条件为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量xs ，使它
a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn ( = , ) b2
…
…
(1.2)
am1x1 + am2x2 +…+ amnxn ( = , ) bm
x1，x2，…，xn 0
(1.3)
求解线性规划的任务就是：在所有满足约束条件的解(x1， x2，…，xn)中求出使目标函数 z 达到最优值的最优解(x1*， x2*，…，xn*)。
x2 1.4
x1 0，x2 0
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• 线性规划模型的共同特征 （模型的三要素）
⑴ 每一个模型都有一组决策变量(x1，x2，…，xn)， 这组决策变量每取一组值就代表一个具体的方案。一般 这些变量的取值都是连续且非负的。
⑵ 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组 线性等式或线性不等式来表示。
目标函数 max
约束条件 s.t. (Subject to)
z = 2x1+ 3x2
x1 + 2x2 8
4 x1
16
4 x2 12
x1，x2 0
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例 2．靠近某河流有两个化工厂（见图），流经第一化工厂 的河流流量为每天 500 万 m3，在两个工厂之间有一条流量为 每天 200 万 m3 的支流。第一化工厂每天产生污水 2 万 m3，第 二化工厂每天产生污水 1.4 万 m3。从第一化工厂排出的工业 污水流到第二化工厂以前，有 20%可以自然净化。根据环保 要求，河流中工业污水的含量不应大于 0.2%。这两个工厂都 需各自处理一部分工业污水。第一化工厂处理工业污水的成 本是 1000 元/万 m3，第二化工厂处理工业污水的成本是 800 元/万 m3。现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理 多少工业污水，使这两个工厂总的处理工业污水费用最小。
等于约束右边与左边之差
xs =bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn )
显然，xs也具有非负约束，即xs≥0， 这时新的约束条件成为
松弛 变量
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+ xs = bi
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当约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≥ bi 时，类似地令 xs=(ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn)- bi 显然， xs也具有非负约束，即xs≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn- xs = bi