第二章 稳态热传导2

ln r1 ln(r2 r1)

t
t1
t2 t1 ln( r ln( r2 r1)
r1 )
温度呈对数曲线分布
求导
将系数带入第二次积分结果
dt t1 t2 1
dr
ln(r2 r1 ) r
典型一维稳态导热问题的分析解
通过圆筒壁的导热
单层圆筒壁
虽是稳态，但热流密度 q 与半径 r 成反比
r2 d 0 50mm
40mm
r3
45mm
典型一维稳态导热问题的分析解
例题
21 tw1 tw 2 2 tw tw2
t 先假定界面温度为
而 2 0.099
w ，则由题意

0.0002

tw

tw2 2
ln


r2 r1


ln

最高耐温为300℃。试检查煤灰泡沫砖的温度有无超出最高温度？并求通
过每米长该保温层的热损失。
解: 本题的关键在于确定矿渣棉与煤灰泡 沫砖交界处的温度，由题意，煤灰泡沫砖
t w1 400 0c
r1
tw2 50 0c
tw
1
2
的导热系数又取决于该未知的界面温度， 因此计算过程具有迭代（试凑）性质。
环节的热流量相同，则串联过程的总热阻等于各串联环节的分热阻 之和。
典型一维稳态导热问题的分析解
通过平壁的导热
多层平壁

由热阻分析法：q

t1 tn1
n
ri
i 1

t1 tn1
n i
i1 i
问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？

第一层：
q

1 1
假设：电熨斗绝热层的性能良好，因而加热器的 功率全部通过底板散到环境中去，近似处理为一 维平板导热。
底板右侧处理成为对流边界条件，左侧为给定热
流密度边界条件，其值为：
q0

1200W 0.03m2

40000W
/
m2
电熨斗底面散热示意图
典型一维稳态导热问题的分析解
例题
温度场的数学描写为
类同 , 如 : 电量的转换 , 动量、质量等的转换。其共同规律可
表示为 :过程中的转换量 = 过程中的动力 / 过程中的阻力。
在电学中，这种规律性就是欧姆定律，即 I U R
在平板导热中，与之相对应的表达式可改写为
t

式中：热流量Φ为导热过程的转换量；
A
温压 t 为转移过程的动力；
dx dx
3
tw1
所以对情形3 有 dt dt >


dx dx
x
为什么东北的窗玻璃都采用双层玻璃？
讨论
导热环节越多，串联的热阻就越多，总热阻相对来说就 越大，相同温差下传递的热量越少，越有利于隔热。
典型一维稳态导热问题的分析解
通过圆筒壁的导热
r2 r2

将下列已知条件代入上式，得：
λ1=0.11W/(mK),r1=25mm,r2=65mm, r3=110mm,tw1=400℃,tw2=50℃
假设tw=160℃，代入上式得，
0.099 0.0001tw 50 tw 50
110 ln
65
t再 得w*t令w==1tw18=52128.01℃650。℃1，82与.t0w5假= 定1167不71℃符C ；tw*40040016.5llnn1113662155500.009.9111

2t z 2

0
典型一维稳态导热问题的分析解
通过平壁的导热
单层平壁
几何条件：单层平板；
物理条件：、c、 已知；无内热源
时间条件： 稳态导热 : t 0 控制 t
边界条件：第一类
方程
c t ( t ) Φ x x

d2t dx2

0
t1
边界
t2
x 0,
第一类边条件：x ,
t t1 t t
条件
o

典型一维稳态导热问题的分析解
通过平壁的导热
单层平壁
直接积分，得：
dt dx

c1

t c1x c2
带入边界条件：
c1

t2


t1
线性 分布

t

dt
dx
t2 t1
通过圆筒壁的导热
多层圆筒壁
由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻
计算 Φ
n
t1 t(n1) 1 ln ri1
i1 2i L ri
W
ql
t1 t(n1) n 1 ln ri1
i1 2i ri
W m
ql通过单位长度圆筒壁的热流量
q dt t1 t2
dr r ln(r2 r1)
W m2
Φ 2 rlq 2 l(t1 t2 ) W
ln(r2 r1)
根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为：
R t ln(d2 / d1 )
2l
典型一维稳态导热问题的分析解
x2 dx t2 (t)dt (t2 t1)
A x1
t1
t2 t1
t2 (t)
t1
t2 t1
(t2 t1)


t2
t1
(t )dt
t2 t1


(t1 t2 )
x2
x1
dx A( x)
当 随温度呈线性分布时，即 ＝ 0＋at，则

典型一维稳态导热问题的分析解
一维稳态ห้องสมุดไป่ตู้热
针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和圆柱内的导热

导热微分方程式（λ为变量）
c
t



(
t )

(
t )

(
t
)



x x y y z z


导热微分方程式（λ为常数）
t


a(
2t x2

2t y 2

2t z 2
)


c
非稳态、无内热源：

0
t
2t 2t 2t
a( )

x2 y2 z2
稳态、有内热源： 稳态、无内热源：
t 0


2t x2

2t y2

2t z 2




0

0
t 0

2t x2

2t y 2

t2

c2 t1
x t1
带入Fourier
t1

定律
q


t2 t1

t
( A )

t

t1
t
t2
r
R A
o

典型一维稳态导热问题的分析解
通过平壁的导热
单层平壁——热阻
热量传递是自然界的一种转换过程 , 与自然界的其他转换过程
典型一维稳态导热问题的分析解
通过球壳的导热
球壳
对于内、外表面维持均匀衡定温度的空心球壁的导热，在球坐标系
中也是一个一维导热问题。相应计算公式为：
温度分布：
t

t2

(t1

t2
)
1 1
r r1
1 1
r2 r2
热流量：
4(t1 t2 )
1 r1 1 r2
热阻：
分母 / A 为转移过程的阻力。
典型一维稳态导热问题的分析解
通过平壁的导热
单层平壁——热阻 热阻定义：热转移过程的阻力称为热阻。 热阻分类：不同的热量转移有不同的热阻，其分类较多，如：导热
阻、辐射热阻、对流热阻等。 对平板导热而言又分： 面积热阻 R A ：单位面积的导热热阻称面积热阻。 热阻 R ：整个平板导热热阻称热阻。 串联热阻叠加原则：在一个串联的热量传递过程中，若通过各串联
c t

1 r
r
(r
t r
)

1 r2


( t ) ( t ) z z
单层圆筒壁
一维、稳态、无内热源、常物性： d (r dt ) 0 dr dr

r 第一类边界条件：
r

r1时 r2时
t t1 t t2
对上述方程(a)积分两次:
0
a t1
t2 2
实际上，不论 如何变化，只要能计算出平均导热系数，就可以
利用前面讲过的所有定导热系数公式，只需将换成平均导热系数
典型一维稳态导热问题的分析解
例题
一个电熨斗，电功率为1.2kW，底面竖直置于环境温度为25℃的房间中 ，金属底板厚为5mm，导热系数λ＝15w／(m·K)，面积A＝300 cm2。考 虑辐射作用在内的表面传热系数h＝80 w／(m.K)，试确定稳态条件下底 板两表面的温度。

t

q0 h

q0


带入通解得：t

t

q0




x

1 h

带入给定数值后可得：
tx=0
t
q0


1 h

25

40000

0.005 15

1 80

538C
tx=
t

q0

0

1 h
25 40000 1 523C 80
标则不是。
绝热边界属于第一类边界条件。
接触良好的两种材料的分界面上具有相同的温度，但热流密度不同。
热扩散率用来表征物体导热能力大小的。
热扩散率大，说明升高相同温度时，所吸收的热量越多。
导热微分方程适应于时间极短，而且热流密度极大的导热
复习
解释 将纸放到燃烧的蜡烛上，一定会燃烧吗？ 同样放在火锅里的铁勺比木勺烫手 炒菜为什么放油？ 被子怎么盖？ 钻孔或打磨零件时一般要带手套 钢板焊接过程 大型毛坯的自然时效 拿刚煲好汤的砂锅，用干毛巾还是湿毛巾好，试说明。 垫鞋垫 餐桌上的杯垫 戴帽子
为稳态，试分析图中三条温度曲线所反映的 和 的相对大小
解 由于过程是稳态的，因此在三种情况下，热流量 Φ分别为常数
dt 常数
dx
t
所以对情形1 有 dt dt tw2
dx dx
1
tw2
2
所以对情形2 有 dt dt
典型一维稳态导热问题的分析解
例题
外直径50mm的蒸汽管道外表面温度为400℃ ,其外包裹有厚度为40mm
，导热系数为0.11 w/ m k 的矿渣棉，矿渣棉外又包有厚为45mm的煤
t 灰泡沫砖，气导热系数λ与砖层平均温度 的关系如下：
0.099 0.0002t 。煤灰泡沫砖外表面温度为50℃。已知煤灰泡沫砖
此时，一维Fourier定律： Φ A dt
dx 当＝(t)时， Φ A(t) dt
dx
典型一维稳态导热问题的分析解
其它变面积或变导热系数问题
其它变面积或变导热系数问题
Φ (t)A(x) dt
dx
分离变量后积分，并注意到热流量Φ与x 无关(稳态)，得

判断 热流密度矢量与热流线的方向一致
复习
等温线与热流线方向垂直
热量传递的方向与热流密度矢量方向一致
等温线密集的地方，热流密度大
由于热导率是物性参数，因此所有物质的热导率都是常数
热导率随着温度的升高而升高
导热系数越大，节能效果越好。
利用直角坐标系对导热问题进行描述时，基于能量守恒，而球坐标和圆柱坐
R

1
4

1 r1

1 r2

典型一维稳态导热问题的分析解
其它变面积或变导热系数问题
其它变面积或变导热系数问题 求解导热问题的主要途径分两步： 求解导热微分方程，获得温度场； 根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量； 对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热问题，可以 不通过温度场而直接获得热流量。
d 2t dx2

0
左侧
x

0,
dt dx

q0
右侧
x


,

dt dx

h
t

t

上述方程的通解为 t＝c1x十c2
由左侧边界条件得：
c1

q0
,
c1


q0

由右侧边界条件得： c1 h c1 c2 t
c2

t

c1
h
c1
(t1

t2
)

t2

t1

q
1 1

第二层：
q

2 2
(t2
t3)

t3

t2

q
2 2


第 i 层：
q

i i
(ti
ti1)

ti1

ti

q
i i
典型一维稳态导热问题的分析解
通过平壁的导热
多层平壁
例 如图所示的双层平壁中，导热系数为 ， 定值，假定过程
第一次积分
第二次积分
r
dt dr

c1

t c1 ln r c2
典型一维稳态导热问题的分析解
通过圆筒壁的导热
单层圆筒壁
应用边界条件
t1 c1 ln r1 c2 ; t2 c1 ln r2 c2
获得两个系数
c1

t2 ln(r2
t1 r1 )
;
c2

t1

(t2

t1 )