高等数学-第8章 - (空间直线及其方程)
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对称式
x x0 m t 参数式 y y0 n t z z0 p t
(m 2 n 2 p 2 0)
2. 线与线的关系 直线 L1：x x1 y y1 z z1 , m1 n1 p1 x x2 y y 2 z z 2 直线 L2： , m2 n2 p2
sn0
sn sin s n
m A n B pC 0
夹角公式：
L
8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0
作业
• 习题8.6（P30） • 1、2、3、7(1)、9
高等数学
课程相关
• 教材及相关辅导用书
▫ 《高等数学》第一版，肖筱南主编,林建华等编著, 北京大学出版社2010.8. ▫ 《高等数学精品课程下册》第一版，林建华等编著, 厦门大学出版社,2006.7. 《高等数学》第七版,同济大学数学教研室主编，高 等教育出版社,2014.7. 《高等数学学习辅导与习题选解》（同济第七版上 下合订本）同济大学应用数学系编 高等教育出版 社,2014.8.
o
L
y
A1 x B1 y C1 z D1 0 L: A2 x B2 y C2 z D2 0
称为空间直线的一般方程。
二、空间直线的对称式方程与参数方程
如果一个非零向量平行于直线L，这 个向量就称为直线L的一个方向向量．
z
s
L
M0
o
M
y
设 M0 ( x0 , y0 , z0 ) L,
2 2 2 2 2 2
——两直线的夹角公式。 两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1 m2 n1 n2 p1 p2 0, m1 n1 p1 , ( 2) L1 // L2 m2 n2 p2
直线 L1 : s1 {1,4, 0}, 例如， 直线 L2 : s {0,0,1}, 2 s1 s2 0, s1 s2 , 即 L1 L2 .
x 1 y z3 和 例4 求直线 L1 : 1 4 1 x y2 z L2 : 的夹角. 2 2 1
cos( L^ ,L )
1 2
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m1 n1 p1 m2 n2 p2
2 2 2 2 2 2
四、直线与平面的夹角 直线和它在平面上的投影直线的夹 角 称为直线与平面的夹角． 0 . 2
通过空间一直线可作无数多个平面，通过同 一直线的所有平面构成一个平面束.设空间直线l的 一般方程为 A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C 2 z D2 0, 则方程 ( A1 x B1 y C1 z D1 ) ( A2 x B2 y C 2 z D2 ) 0 称为过直线 l 的平面束方程，其中 为参数.
——直线与平面的夹角公式。
直线与平面的位置关系：(1)
( 2)
L // Am Bn Cp 0.
A B C L . m n p
x 1 y z 3 例 5 求直线 L : 与平面 x y 2 z 3的 2 1 1
夹角.
解 n (1,1, 2), s (2,1,1),
x s (m, n, p) 为 L 的一个方向向量，则
M ( x, y, z ) L M 0 M // s x x 0 y y0 z z 0 ——直线L的点向式方程 m n p 或对称式方程。
直线 L的一组方向数。
又 M 0 M / / s M 0 M ts，
• 第八章 空间解析几何与向量代数
▫ ▫ ▫ ▫ ▫ ▫ ▫ 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 向量代数 数量积 向量积 混合积 空间曲面及其方程 空间曲线及其方程 平面及其方程 空间直线及其方程 综合例题
平面及其方程内容回顾
1.平面基本方程:
一般式
点法式 截距式
Ax By Cz D 0
x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
因此，所求直线的对称式方程为
x 1 4t 参数方程为 y t . z 2 3 t
例 2 一直线过点 A( 2,3,4) ，且和 y 轴垂直相交，求 其方程.
解 因为直线和y 轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0), 取 s BA ( 2, 0, 4),
例 6
x 2 y z 6 0, 过直线 l: 作平面 ，使它 x 2y z 0
垂直于平面 1 : x 2 y z 0 ，求平面 的方程.
解 即
设过直线l 的平面束 ( ) 的方程为 ( x 2 y z 6) ( x 2 y z ) 0,
(1 ) x 2(1 ) y ( 1) z 6 0.
显然平面 的法向量应垂直于平面1 的法向量，于是 (1 ) 4(1 ) ( 1) 0, 解得 2, 故所求平面方程为 : 3 x 2 y z 6 0.
平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C 2 ) 垂直: 平行: n1 n2 0
A1 A2 B1 B2 C1C 2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C 2
n1 n2 夹角公式: cos n1 n2
x x0 y y0 z z 0 L: , s ( m, n, p), m n p n ( A, B, C ), : Ax By Cz D 0, ( s , n) 或 ( s , n) sin | cos(s , n) | 2 2 | Am Bn Cp | sin A2 B 2 C 2 m 2 n2 p2
容易验证，平面 x 2 y z 0不是所求平面.
练习：
六、小结
1、空间直线的一般方程. 2、空间直线的对称式方程、参数方程.
3、两直线的夹角.
（注意两直线的位置关系）
4、直线与平面的夹角.
（注意直线与平面的位置关系）
5、平面束
内容小结
1. 空间直线方程
A1 x B1 y C1 z D1 0 一般式 A2 x B2 y C2 z D2 0
x 1 y 1 z 例 3 求过 M ( 2,1,3) 且与 L: 垂直相交的直 3 2 1
线方程.
L
解 先作过点M且与已知直线 L 垂直的平面
3( x 2) 2( y 1) ( z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
M
N
2 13 3 x 3t 1 代入平面方程，得t 3 , 交点 N ( , , ) 7 7 7 7 由 y 2t 1， 2 13 3 z t 取方向向量 MN ( 2, 1, 3) 7 7 7 6 ( 2,1,4), 所求直线方程为 x 2 y 1 z 3 . 7 2 1 4
( A2 B 2 C 2 0 )
x y z 1 a b c
x x1 x2 x1 x3 x1
(abc 0)
z z1 z2 z1 0 z3 z1
三点式
y y1 y2 y1 y3 y1
2.平面与平面之间的关系 平面 1 : A1 x B 1 y C 1 z D 1 0, n1 ( A1 , B 1 , C 1 )
三、两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角（锐角）称为两直线的夹角.
x x1 y y1 z z1 x x 2 y y2 z z 2 L1 : , L2 : , m1 n1 p1 m2 n2 p2
cos( L^ ,L )
1 2
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m1 n1 p1 m2 n2 p2
第六节 空间直线及其方程
1. 一般方程 2. 对称式方程与参数方程 3. 两直线的夹角
4. 直线与平面的夹角
5. 平面束 6. 点到直线的距离
一、空间直线的一般方程
若空间直线l为两平面
z
1 2
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0
与
的交线， 则方程组
2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 x
x2 y3 z4 所Biblioteka Baidu直线方程 . 2 0 4
注：若 M1 ( x1 , y1 , z1 )、M2 ( x2 , y2 , z2 ) L，M1 M2，则
x x1 y y1 z z1 L: ——两点式方程。 x 2 x1 y 2 y1 z 2 z 1
即
得
( x x0 , y y0 , z z0 ) t (m, n, p)，
x x0 mt L : y y0 nt z z pt 0
——直线的参数方程。
例1
用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 1 0 . 2 x y 3z 4 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
y0 z 0 2 0 取 x0 1 , y0 3 z 0 6 0
解得 y0 0,
z0 2
得直线上的一点 (1,0,2),
因所求直线与两平面的法向量都垂直
故可取
{4,1,3}, s n1 n2
L1 L2 L1 // L2
s1 s2 0 s1 s2 0
m1 n1 p1 m2 n2 p2
s1 s2 夹角公式: cos s1 s2
3. 面与线间的关系 平面 : A x B y C z D 0, n ( A , B , C ) xx y y zz 直线 L : , s (m , n , p) m n p m n p L⊥ sn0 A B C L //
sin | Am Bn Cp | A2 B 2 C 2 m 2 n 2 p 2
1 arcsin 2 6
| 1 2 ( 1) 1 1 2 | 1 . 2 6 6
为所求夹角．
典型习题：如习题8.6的第5题。
五、平面束
x x0 m t 参数式 y y0 n t z z0 p t
(m 2 n 2 p 2 0)
2. 线与线的关系 直线 L1：x x1 y y1 z z1 , m1 n1 p1 x x2 y y 2 z z 2 直线 L2： , m2 n2 p2
sn0
sn sin s n
m A n B pC 0
夹角公式：
L
8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0
作业
• 习题8.6（P30） • 1、2、3、7(1)、9
高等数学
课程相关
• 教材及相关辅导用书
▫ 《高等数学》第一版，肖筱南主编,林建华等编著, 北京大学出版社2010.8. ▫ 《高等数学精品课程下册》第一版，林建华等编著, 厦门大学出版社,2006.7. 《高等数学》第七版,同济大学数学教研室主编，高 等教育出版社,2014.7. 《高等数学学习辅导与习题选解》（同济第七版上 下合订本）同济大学应用数学系编 高等教育出版 社,2014.8.
o
L
y
A1 x B1 y C1 z D1 0 L: A2 x B2 y C2 z D2 0
称为空间直线的一般方程。
二、空间直线的对称式方程与参数方程
如果一个非零向量平行于直线L，这 个向量就称为直线L的一个方向向量．
z
s
L
M0
o
M
y
设 M0 ( x0 , y0 , z0 ) L,
2 2 2 2 2 2
——两直线的夹角公式。 两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1 m2 n1 n2 p1 p2 0, m1 n1 p1 , ( 2) L1 // L2 m2 n2 p2
直线 L1 : s1 {1,4, 0}, 例如， 直线 L2 : s {0,0,1}, 2 s1 s2 0, s1 s2 , 即 L1 L2 .
x 1 y z3 和 例4 求直线 L1 : 1 4 1 x y2 z L2 : 的夹角. 2 2 1
cos( L^ ,L )
1 2
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m1 n1 p1 m2 n2 p2
2 2 2 2 2 2
四、直线与平面的夹角 直线和它在平面上的投影直线的夹 角 称为直线与平面的夹角． 0 . 2
通过空间一直线可作无数多个平面，通过同 一直线的所有平面构成一个平面束.设空间直线l的 一般方程为 A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C 2 z D2 0, 则方程 ( A1 x B1 y C1 z D1 ) ( A2 x B2 y C 2 z D2 ) 0 称为过直线 l 的平面束方程，其中 为参数.
——直线与平面的夹角公式。
直线与平面的位置关系：(1)
( 2)
L // Am Bn Cp 0.
A B C L . m n p
x 1 y z 3 例 5 求直线 L : 与平面 x y 2 z 3的 2 1 1
夹角.
解 n (1,1, 2), s (2,1,1),
x s (m, n, p) 为 L 的一个方向向量，则
M ( x, y, z ) L M 0 M // s x x 0 y y0 z z 0 ——直线L的点向式方程 m n p 或对称式方程。
直线 L的一组方向数。
又 M 0 M / / s M 0 M ts，
• 第八章 空间解析几何与向量代数
▫ ▫ ▫ ▫ ▫ ▫ ▫ 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 向量代数 数量积 向量积 混合积 空间曲面及其方程 空间曲线及其方程 平面及其方程 空间直线及其方程 综合例题
平面及其方程内容回顾
1.平面基本方程:
一般式
点法式 截距式
Ax By Cz D 0
x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
因此，所求直线的对称式方程为
x 1 4t 参数方程为 y t . z 2 3 t
例 2 一直线过点 A( 2,3,4) ，且和 y 轴垂直相交，求 其方程.
解 因为直线和y 轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0), 取 s BA ( 2, 0, 4),
例 6
x 2 y z 6 0, 过直线 l: 作平面 ，使它 x 2y z 0
垂直于平面 1 : x 2 y z 0 ，求平面 的方程.
解 即
设过直线l 的平面束 ( ) 的方程为 ( x 2 y z 6) ( x 2 y z ) 0,
(1 ) x 2(1 ) y ( 1) z 6 0.
显然平面 的法向量应垂直于平面1 的法向量，于是 (1 ) 4(1 ) ( 1) 0, 解得 2, 故所求平面方程为 : 3 x 2 y z 6 0.
平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C 2 ) 垂直: 平行: n1 n2 0
A1 A2 B1 B2 C1C 2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C 2
n1 n2 夹角公式: cos n1 n2
x x0 y y0 z z 0 L: , s ( m, n, p), m n p n ( A, B, C ), : Ax By Cz D 0, ( s , n) 或 ( s , n) sin | cos(s , n) | 2 2 | Am Bn Cp | sin A2 B 2 C 2 m 2 n2 p2
容易验证，平面 x 2 y z 0不是所求平面.
练习：
六、小结
1、空间直线的一般方程. 2、空间直线的对称式方程、参数方程.
3、两直线的夹角.
（注意两直线的位置关系）
4、直线与平面的夹角.
（注意直线与平面的位置关系）
5、平面束
内容小结
1. 空间直线方程
A1 x B1 y C1 z D1 0 一般式 A2 x B2 y C2 z D2 0
x 1 y 1 z 例 3 求过 M ( 2,1,3) 且与 L: 垂直相交的直 3 2 1
线方程.
L
解 先作过点M且与已知直线 L 垂直的平面
3( x 2) 2( y 1) ( z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
M
N
2 13 3 x 3t 1 代入平面方程，得t 3 , 交点 N ( , , ) 7 7 7 7 由 y 2t 1， 2 13 3 z t 取方向向量 MN ( 2, 1, 3) 7 7 7 6 ( 2,1,4), 所求直线方程为 x 2 y 1 z 3 . 7 2 1 4
( A2 B 2 C 2 0 )
x y z 1 a b c
x x1 x2 x1 x3 x1
(abc 0)
z z1 z2 z1 0 z3 z1
三点式
y y1 y2 y1 y3 y1
2.平面与平面之间的关系 平面 1 : A1 x B 1 y C 1 z D 1 0, n1 ( A1 , B 1 , C 1 )
三、两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角（锐角）称为两直线的夹角.
x x1 y y1 z z1 x x 2 y y2 z z 2 L1 : , L2 : , m1 n1 p1 m2 n2 p2
cos( L^ ,L )
1 2
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m1 n1 p1 m2 n2 p2
第六节 空间直线及其方程
1. 一般方程 2. 对称式方程与参数方程 3. 两直线的夹角
4. 直线与平面的夹角
5. 平面束 6. 点到直线的距离
一、空间直线的一般方程
若空间直线l为两平面
z
1 2
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0
与
的交线， 则方程组
2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 x
x2 y3 z4 所Biblioteka Baidu直线方程 . 2 0 4
注：若 M1 ( x1 , y1 , z1 )、M2 ( x2 , y2 , z2 ) L，M1 M2，则
x x1 y y1 z z1 L: ——两点式方程。 x 2 x1 y 2 y1 z 2 z 1
即
得
( x x0 , y y0 , z z0 ) t (m, n, p)，
x x0 mt L : y y0 nt z z pt 0
——直线的参数方程。
例1
用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 1 0 . 2 x y 3z 4 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
y0 z 0 2 0 取 x0 1 , y0 3 z 0 6 0
解得 y0 0,
z0 2
得直线上的一点 (1,0,2),
因所求直线与两平面的法向量都垂直
故可取
{4,1,3}, s n1 n2
L1 L2 L1 // L2
s1 s2 0 s1 s2 0
m1 n1 p1 m2 n2 p2
s1 s2 夹角公式: cos s1 s2
3. 面与线间的关系 平面 : A x B y C z D 0, n ( A , B , C ) xx y y zz 直线 L : , s (m , n , p) m n p m n p L⊥ sn0 A B C L //
sin | Am Bn Cp | A2 B 2 C 2 m 2 n 2 p 2
1 arcsin 2 6
| 1 2 ( 1) 1 1 2 | 1 . 2 6 6
为所求夹角．
典型习题：如习题8.6的第5题。
五、平面束