借助CASIO图形计算器探索方程近似解的求解

借助 CASIO 图形计算器探索方程近似解的求解

高建彪 （广东省中山市东升高中）

摘要：高中数学新课程标准新增了用二分法求方程近似解这一内容，重在初步理解 二分法的原理， 若要深入透彻地研究方程近似解， 需借助信息技术手段. 笔者利用CASIO Fx­CG 20 图形计算器，从零点分析、直接求解、二分法程序、简单迭代法、牛顿迭代法 等五种数学技术途径，由浅入深的走进研究方程近似解的数学乐园之中. 关键词：近似解；二分法；迭代法；图形计算器

普通高中课程标准实验教材《数学.必修 1》（人教 A 版）中，讨论过如何求方程

ln 260 x x +-= 的近似解，

笔算几乎不可能， 至少要借助计算器进行研究， 下面借助 CASIO Fx­CG 20 图形计算器这一先进的数学实验移动工具，多途径探索精确到 0.0001 的近似值.

一、图像零点分析

函数图像与 x 轴交点的横坐标，即为函数的零点，利用技术可以先作出图像，然后 进行图像的分析，包括零点、极值、截距、交点、求 x 或 y 值、积分等，在这里只需求 方程的近似解，所以直接调用 CASIO 图形计算器作图之后的图解零点即可. 第一步，进入图形功能，输入函数式 ln 26 y x x =+- ，如图1、图 2 所示；

图1 图2

第二步，进入绘图（按 u ），并调用图解零点（按 Lyq ），如图3、图 4 所 示；

图3 图4

第三步，调整视图为标准窗（按 Lee ），并再次调用图解零点，如图5、图6 所示.

图5 图6

结果分析：由图可知，ln260

+-= 的近似解（精确到 0.0001）为2.5349. 这里借

x x

助技术操作与分析，加深了对函数零点直观形象的理解.

操作提示：按键全过程为p5Gf+2f‐6luLyq LeeduLyq. 操作时注意看屏幕提示，特别注意 F1~F6 键与屏幕上

例如Le

以及shift键与F1~F6 键组合所实现的功能，

最下一行操作指令的对应关系，

设置视窗，还有几个常用的指令键，如Lp进入设置，以及io的相关功能.

二、直接求解方程

直接调用 CASIO 图形计算器计算功能中的Solve 求解指令.

第一步，进入计算功能，按i键，依次调出 Solve指令，如图 7～10 所示；

图7 图8

图9 图10

第二步，输入方程式及自变量，按l键执行，显示结果如图10.

结果分析：由Solve 结果可知，ln260

+-= 的近似解（精确到0.0001）为2.5349.

x x

这里技术辅助手段对学习的帮助，只能说是起到验证运算结果的作用.

操作提示：按键全过程为p1irqGf+2f‐6L. 0,f k l. 操作时注意观看屏幕最下一行操作提示，如果没有出现图8 的数学 模式图，则需要按Lp设置输入/输出方式为数学模式，当然也可设置显示位数.

三、由二分法编程

二分法求方程 () f x =0 的近似解，即求函数 () f x 零点，算法步骤如下：

S1 确定区间[,] a b ，验证 ()()0 f a f b < g ，给定精度ε；

S2 求区间(,) a b 的中点 1 x ；

S3 计算 1 () f x ： 若 1 ()0 f x = ，则 1 x 就是函数的零点；

若 1 ()()0 f a f x < g ，则令 1 b x = （此时零点 01 (,) x a x Î ）； 若 1 ()()0 f x f b < g ，则令 1 a x = （此时零点 01 (,) x x b Î ）；

S4 判断是否达到精度ε， 若|| a b e -< ， 则得到零点值a （或b ）； 否则重复步骤 S2~S4． 调用 CASIO 图形计算器的程序功能，解决此问题的过程如下：

第一步，进入程序功能，新建程序并命名为“JS ” ，如图11～14 所示；

图11 图12

图13

图14

第二步，输入如下程序代码，如图15 所示；

图15

第三步，执行程序，并依次输入零点估计区间及精确度，如图 16、图17 所示.

图16 图17

结果分析： 由程序运行结果可知， ln

260 x x +-= 的近似解 （精确到0.0001） 为 2.5350， 与前两种方法得到的结果有误差， 但与零点准确值的误差未超过 0.0001. 通过算法编程的 实践操作，可以加深对二分法的理解与掌握.

操作提示： 在程序编辑窗口， 按 Lo 可显示程序菜单， 根据提示调用相关命令； 执行程序时，按多次 d 从程序编辑窗口返回到程序列表界面，再按 q 执行程序，若 程序有误，则光标会停留在出错处. 注意程序严格区分大小写，不能随意加空格.

四、简单迭代法求近似解

简单迭代法是求方程 f (x )=0 近似根的一种常用算法，步骤如下：

（1）将方程 f (x )=0 改写成x =g (x )的形式，得到迭代函数 g (x )；

（2）选一个方程的初始近似根，赋给变量 x 0；

（3）将x 0 的值保存于变量 x 1，然后计算g (x 1)，并将结果存于变量 x 0；

（4）当x 0 与 x 1 的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算. 若上述方法计算出来的近似根序列收敛， 则最终求得的x 0 可认为是方程的近似根. 若 方程无解，则迭代过程会变成死循环；若迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择 不合理，也会导致迭代失败.

用简单迭代法求方程ln 260 x x +-= 的近似解（精确到 0.0001）时，先将方程化为 ln 3 2 x x =- ， 得到迭代函数 ln ()3 2

x g x =- ， 再取方程的近似根 0 x =2， 代入迭代函数 () g x ， 得到下一次初值 1 x ，然后再代入迭代函数 () g x ，得到下一次初值 2 x ，如此反复下去，即： 0011223 ()()()... x g x x g x x g x x ®=®=®=® ，直到|()|0.0001 n n g x x -< 时结束.

利用 CASIO 图形计算器的计算功能，可以直接实施上述简单迭代法，步骤如下： 第一步，进入计算功能，设置输出为数学模式，如图 18、图 19 所示；