福建福州一中2014届高三上学期期末考试文科数学试卷(带解析)

福建福州一中2014届高三上学期期末考试文科数学试卷
1．设1i z =-（i 是虚数单位），则复数
2
3i z
+的实部是( )
A ．
32 B ．2
．12- D ．12 【答案】D 【解析】
试题分析：因为1i z =-（i 是虚数单位），则复数2333(1)13
i 111222
i i z i ++=-=-=+-，所以复数
23i z +的实部是1
2
.故选D.本小题关键是考查复数的除法运算，其中虚数单位的运算与实数的运算的差异较大.是易错点.
考点：1.复数的除法运算.2.复数的代数表达形式.
2．设条件:23p x -<,条件:0q x a <<,其中a 为正常数.若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围 ( )
A.(0,5]
B.(0,5)
C.[5,)+∞
D.(5,+∞) 【答案】A 【解析】
试题分析：因为条件:23p x -<，所以可得:15p x -<<，又因为条件:0q x a <<, 其中a 为正常数. 且p 是q 的必要不充分，即q p ⇒，所以05a <≤.故选A.本小题关键是绝对值不等式的解法以及对充要条件的知识的考查
考点：1.绝对值不等式的解法.2.数轴表示解集.3.充要条件.
3．已知函数3
2
2
()3(1)1(0)f x mx m x m m =+--+>的单调递减区间是(0,4),则m =( ) A. 3 B. 13 C. 2 D. 12
【答案】B 【解析】
试题分析：由函数
322()3(1)1(0)
f x mx m x m m =+--+>，所以
2'()36(1)3(22)f x mx m x x mx m =+-=+-.令'()0f x =得12220,m
x x m
-==
.又因为单调递减区间是(0, 4)，所以可以得到220m m -<且
224m m -=，解得1
3
m =.故选B. 考点：1.函数的导数.2.函数的单调区间.3.含参数的数值的判定.
4．已知函数2(0,)n n y a x a n N *=≠∈的图象在1x =处的切线斜率为121n a -+
（*
2,n n N ≥∈），且当1n =时，其图象经过()2,8，则7
a =（ ）
A. 1
2
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】B 【解析】
试题分析：因为函数2(0,)n n y a x a n N *=≠∈的图象在1x =处的切线斜率为'
12x n y a ==.
所以可得到1221n n a a -=+，所以11
2
n n a a --=
.又因为当1n =时，其图象经过()2,8，即21182,2a a =⨯∴=.所以77665542()()()()a a a
a a a a a a a =-+-+-+⋅⋅⋅+-+
= 1
6252
⨯+=.故选B.
考点：1.函数的导数的几何意义.2.数列的思想.3.等差数列的通项公式.4函数与数列的交汇. 5．如图是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为 ( )
7 8 99
4 4 6 4 7 3
A ． 85，84
B ． 84，85
C ． 86，84
D ． 84，86 【答案】A 【解析】
试题分析：根据茎叶图可知七位评委的最高分数是93，和最低分数是79，去掉这两个分数还剩下84,84,86,84,87五个分数，所以这五个数的平均数为8484868487
855
++++=.
这五个数的众数为84.故选A.
考点：1.统计的思想及基本数字特征知识.2.茎叶图的识别. 6．在△ABC 中，BC=1，∠B=
3
π
,△ABC 的面积S=3，则sinC=（ ）
A.
1313 B. 53 C. 5
4
D. 13392 【答案】D 【解析】
试题分析：因为△ABC 中，BC=1，∠
B=
3
π
,△ABC 的面积S=
3，即
1
s i n 32
ABC
S
BC BA B =
⨯=即
1122
BA ⨯⨯⨯=.所以4BA =.又由余弦定理可得
2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅,
即可解得AC =正弦定理可得
sin sin BA AC
C B
=,
解得sin C =
.故选D. 考点：1.解三角形的知识.2. 应用方程的思想求角度线段的长.3.正余弦定理.
7．若函数tan ,0()2
(1)1,0x x f x a x x π⎧
-<<⎪
=⎨⎪-+≥⎩
在(,)2π-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围( )
A.(0,1]
B.(0,1)
C.[1,)+∞
D. (0,)+∞
【答案】A
【解析】
试题分析：因为针对分段函数的单调性需要具备两个条件，一是各段内要单调，二就是在临界点前后出要保持一致的单调性.由于函数()f x 在02
x π
-
<<上是单调递增的，所以在
0x ≥方面需要满足(0)00f a ≥⎧⎨>⎩
即10
0a a -+≥⎧⎨>⎩，所以01a <≤.故选A.
考点：1.分段函数的单调性.2.正切函数的性质与图像.3.一次函数的单调性. 8．将函数sin 2y x =的图像向右平移4
π
个单位，再向上平移1个单位，所得到函数的图像对应的解析式为 ( ) A.sin(2)14
y x π
=-+ B.22cos y x = C.22sin y x = D.cos 2y x =-
【答案】C
【解析】
试题分析：因为将函数sin 2y x =的图像向右平移4
π
个单位，可得到函数图像对应的函数解析式为
sin(2)2y x π
=-.再向上平移1个单位，所得到函数的图像对应的解析式为
sin(2)12
y x π
=-+.化简可得
cos 21y x =-+，即22sin y x =.故选C.
考点：1.函数图像的左右上下平移规则.2.三角形函数二倍角公式.
9．AB 是半径为1的圆的直径，在AB 上的任意一点M ，过点M 作垂直于AB 的弦，则弦长
( ) A.
14 B.13 C.12 D.23
【答案】C 【解析】
试题分析：因为AB 是半径为1的圆的直径，在AB 上的任意一点M ，过点M 作垂直于AB 的弦，则弦长
1
2
.M 的移动范围为1个单位.根据几何概型的概率为
1
2
.故选C. 考点：1.几何概型.2.解三角形的知识.
10．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别 是(012)am a <<、4m ，不考虑树的粗细，现在用16m 长的篱笆， 借助墙角围成一个矩形的共圃ABCD ，设此矩形花圃的面积为Sm 2
，S 的最大值为()f a ，若将这棵树围在花圃中，则函数()u f a =的图象大致是（ ）
【答案】C 【解析】
试题分析：假设BC xm =则(16)BA x m =-.所以164
x a
x >⎧⎨->⎩即12a x <<.花圃的面积为
(16)S x x =-（12a x <<）.所以8a <时,max ()(8)64S x S ==.当812a ≤<时，
m a x ()()(16)
S x S a a a ==-，这一段的图像是递减的，故选C. 考点：1.阅读理解清题意.2.二次函数的最值问题.3.含参数的最值的求法.
11．已知12,F F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一
点，满足212PF F F =，直线1PF
与圆2
2
2
x y a +=相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A.
32 B.43 C.5
3
D. 2 【答案】C 【解析】
试题分析：因为过0作直线1PF 的垂线，垂足为A ，则OA a =,过点2F 作直线1PF 的垂线，垂足为B.由于点O 为12F F 的中点. 2OA F B ,所以点B 是线段1PF 的中点，22F B a =.又因为12122,2PF PF a PF PF a -=∴=+，212PF F F =.所以11
2
PB PF a c ==+.所以在直角三角形2PBF 中可得222(2)()(2)a a c c ++=.所以可得
5
3
c a =.故选C. 考点：1.圆锥曲线的定义.2.等腰三角形的性质.3.直线与圆相切的性质.4.方程的思想. 12．已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意x ∈R ，有()f x m x ≤，则称()f x
为F 函数．给出下列函数：①()0f x =； ②2()f x x =； ③()sin cos f x x x =+； ④2()1
x
f x x x =
++； ⑤()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数12,x x 均
有1212()()2f x f x x x --≤．其中是F 函数的序号为（ ）
A ．①②④
B ．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤ 【答案】
C 【解析】
试题分析：由函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意x ∈R ，有()f x m x
≤，
则称()f x 为F 函数.因为()0
f x =，所存在m 使得
0m x
≤恒成立，所以①正确.若
2x m x
≤成立，
则
x m
≤.显然不存在这样的m.所以②不正确. 若存在常数0m >，对任意x ∈R 都有
sin cos x x m x +≤成立，当x=0时不成立.，所以③不正确.21x
m x x x ≤++显然存在m ，
所以④正确. 若()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数12,x x 均 有
1212
()()2f x f x x x --≤，令
1x 或2x 等于零时，即符合要求.综上所以①④⑤正确.故选
C.
考点：1.新定义的问题.2.不等式恒成立问题.3.函数的最值.4.假命题的证明方法.5.特值法的思想.
13．已知4sin ,(,0)5
2
x x π
=-∈-，则tan 2x = .
【答案】247
【解析】
试题分析：因为4sin ,(,0)52x x π=-
∈-，
所以3cos 5
x ==.所以4
tan 3x =-.又因为22tan tan 21tan x x x =-即24
2()
243tan 247
1()3
x ⨯-=
=--.故填247. 考点：1.同角的三角函数的关系.2.二倍角的公式.3.应用公式的能力. 14．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面. 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为9
8
, 底面周长为3, 则这个球的体积为__________________. 【答案】43
π 【解析】
试题分析：底面周长为3，所以正六边形的边长为
12.
则六边形的面积为8
.又因为六棱柱的体积为
98.
9
,8h =∴=由于六棱柱的顶点都在同一个球面上，所以球的半
1=.所以球的体积34433V R ππ==.故填43π.
考点：1.球的内接几何体计算.2.解三角形的知识.3.空间想象能力.4.棱柱的体积公式.
15．已知实数,x y 满足约束条件20
25020
x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则x y z x +=的最小值是____________.
o
x+2y-5=0
x-y-2=0
A
B C
y -2=0
x
y
【答案】43
【解析】
试题分析：因为实数,x y 满足约束条件2025020x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩，x,y 的可行域如图为三角形ABC 围
成的区域.又因为目标函数x y z x +=
1y x =+.所以要求z 的最小值即为求出y
x
的最小值，即过原点直线的斜率的最小值.通过图形可知过点A 的y
x
最小，由题意得A （3,1）.所以z
的最小值为14133+=.故填4
3
.
考点：1.线性规划问题.2.构造的思想.3数形结合的思想.
16．对于集合},,,{21n a a a A =(n ∈N*，n ≥3)，定义集合
{|,1
i j
S x x a a i ==+≤}j n <≤，记集合S 中的元素个数为S(A).（1）若集合A ＝{1，2，3，4}，则S(A)＝______.
（2）若a 1，a 2，…，a n 是公差大于零的等差数列，则S(A)＝ _____ (用含n 的代数式表示). 【答案】5；23n - 【解析】
试题分析：因为对于集合},,,{21n a a a A = (n ∈N*，n ≥3)，定义集合
{|,1i j S x x a a i ==+≤
}j n <≤，记集合S 中的元素个数为S(A).即集合S 中的元素是集合A 中任意两个元素的和
的集合.所以（1）若集合A ＝{1，2，3，4}，则S(A)＝5. 当有五个元素的时候S(A)的个数为7，以此类推，可得当有n 个元素的时候有23n -个元素.故填23n -. 考点：1.集合的含义.2.数列的求和公式.3.列举类比的思想.
17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：2414a a +=，770S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设248
n n S b n
+=
，数列{}n b 的最小项是第几项，并求出该项的值． 【答案】（1）32n -；（2）4,23 【解析】
试题分析：（1）由于{}
n a 为
等差数列，且数列的前n 项和为n S ，且满足：2414a a +=，
770S =．通过假设首项与公差，根据以上两个条件，列出关于首项、公差的两个等式从而
解出首项与公差的值.即可求得等差数列的通项.
（2）由（1）可求得等差数列的前n 项和的的等式，从而求出数列{}n b 的通项公式.根据数列{}n b 的等式再利用基本不等式可求得结论.
试题解析：（1）设公差为d ，则有11241472170a d a d +=⎧⎨+=⎩，即112414310
a d a d +=⎧⎨+=⎩
解得11
3
a d =⎧⎨
=⎩ 以32n a n =-
（2）23[1+(32)]=22
-n n n n
S n -=
所以23484831123n n n b n n n -+=
=+-≥= 当且仅当48
3n n
=
，即4n =时取等号， 故数列}{n b 的最小项是第4项，该项的值为23 ．
考点：1.等差数列的通项公式，前n 项和公式.2.基本不等式的应用. 18．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的图象与y 轴的交点为()0,1，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()
()0,022,2.x x π+-和
（1）求()f x 的解析式及0x 的值；
（2）若锐角θ满足()1cos 43
f θθ=，求的值.
【答案】（1）1
()2sin()2
6
f x x π
=+
，024()3x k k z ππ=
+∈；（2【解析】
试题分析：（1）由图象可得三角函数的最值，周期.再带一个点即可求出ϕ的值，从而解得函数的解析式.又根据函数图像可得对应的0x 所对的函数值是最大值，所以可求得0x 的值.本小题的关键是认真阅读图像得到相应的条件.
（2）由（1）得到的函数解析式，可表示出(4)f θ的相应关系式，其中涉及正弦与余弦二倍角的公式，分别求得相应的值即可.
试题解析：（1）由题意得22,2,4,42
T
A T π
π
ππω
====即1
2
ω=
，所以1()2sin()2f x x ϕ=+，(0)2sin 1f ϕ==，由,26ππ
ϕϕ<∴=.所以
1()2s i n ()26f x x π=+.因为001()2sin()226f x x π=+=，所以012262
x k ππ
π+=+，
024()3x k k z ππ=+∈.又因为0x 是最小的正数，所以023
x π=.
（2）因为1(0,
),cos ,sin 233
π
θθθ∈=∴=
所以2
7cos 22cos 19θθ=-=-，
sin 22sin cos 9
θθθ==
.
(4)2sin(2)
6
f π
θθ=+
7
2cos 29θθ=+==
考点：1.待定系数的方法.2.阅读图像的能力.3.二倍角的运算公式.4.解三角方程的能力.
19．甲、乙两人玩一种游戏：在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5五个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.
（1）求甲赢且编号和为6的事件发生的概率； （2）这种游戏规则公平吗？试说明理由. 【答案】（1）
1
5
；（2）不公平.理由参考解析 【解析】 试题分析：（1）因为游戏规则是编号分别为1，2，3，4，5五个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.该游戏是有放回的，所以总共的基本事件有25种，再列出符合条件的基本事件数即可得
到结论. （2）由于题意可知甲获胜的基本事件共有13个，所以甲获胜的概率大于乙获胜的概率所以这个游戏不公平. 试题解析：（1）设“两个编号和为6”为事件A,则事件A 包含的基本事件为（1，5），（2，4）， （3，3），（4，2），（5，1）共5个，
又甲、乙两人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果， 故
51()255
P A =
=. （2）设甲胜为事件B,乙胜为事件C ，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5), (4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)。

所以甲胜的概率13()25P B =
, 乙胜的概率1312
()12525
P C =-=()P B > (可省略)
所以这种游戏规则是不公平的.
考点：1.概率的问题.2.列举分类的思想.3.事件的互斥的概念.
20．如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PC ⊥平面,ABCD F 是DC 的中点，2AE EP =.
（1）试判断直线EF 与平面PBC 的位置关系，并予以证明；
（2）若四棱锥P ABCD -体积为
83
， CD = ，2PC BC ==，求证：平面B DE P B C ⊥面.
【答案】（1）参考解析；（2）参考解析 【解析】 试题分析：（1）由题意判断直线EF 与平面PBC 的位置关系，这类题型要转化为直线EF 与平面内一条直线平行或则相交，所以转化为平面内两条直线的位置关系.通过作出直线EG 即可得到直线EF 与直线CG 是相交的，即可得到结论.
（2）平面与平面垂直关键是要转化为直线与平面的垂直，通过研究底面平行四边形的边的大小即可得到BD 垂直于BC.即可得到结论.
试题解析：（1）直线EF 与平面PBC 相交.
证明如下：过E 作//EG AB 交PB 于G ,112,,,33
PE AE EP EG AB PA =∴=∴= 11,22
FC CD AB FC EG ==∴≠ 由底面ABCD 是平行四边形得//FC AB ， //EG FC ∴
EF CG ∴与相交，故直线EF 与平面PBC 相交.
（2）解：过B 作,BH CD H ⊥于 四棱锥P ABCD -体积为8
3
，
PC ⊥平面,ABCD 18,33
PC DC BH ∴⋅⋅=.PC BD BH ⊥∴=
2BC = 2,CH CD BH CH HD ∴==∴==
.DB BC DB PBC ∴⊥∴⊥面, ,BD BDE ⊂∴面平面BDE PBC ⊥面
考点：1.线面的位置关系.2.面面的位置关系.3.空间想象力.
21．已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形F 1B 1 F 2B 2是一个面积为8的正方形.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)已知点P 的坐标为P(－4,0), 过P 点的直线L 与椭圆C 相交于M 、N 两点,当线段MN 的中点G 落在正方形内(包含边界)时,求直线L 的斜率的取值范围.
【答案】（1）22184x y +=；（2）[ 【解析】
试题分析：（1）依题意需要求椭圆的标准方程，所以要找到两个关于基本量,,a b c 的等式，由b c =以及面积的关系可求椭圆的方程.
（2）由于直线与椭圆的相交得到的弦的中点坐标，可通过假设直线方程与椭圆的方程联立可求得，判别式要大于零.其中用直线的斜率表示中点坐标.由于中点在正方形内，其实就是要符合一个不等式的可行域问题.因此通过解不等式即可得到所求的结论.
试题解析：(1)求得椭圆C 的方程为;22
184
x y +=; (2)∵点P 的坐标为(-4,0),显然直线L 的斜率k 存在,
∴直线L 方程为(4)y k x =+ 如图设点M 、N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ,
线段MN 的中点为00(,)G x y ,由222222(4)(12)16328018
4y k x k x k x k x y =+⎧⎪+++-=⎨+=⎪⎩ 由△>0解得
: k << 又22121202216812212x x k k x x x k k ++=∴==-++ 0024(4)12k y k x k =+=+, ∵202
8012k x k =-≤+, ∴点G 不可能在y 轴的右边, 又直线F 1B 2, F 1B 1的方程分别为2,2y x y x =+=--.
∴点G 在正方形B 1F 2B 1F 1内的充要条件为: 000022y x y x ≤+⎧⎨≥--⎩ 即22
22
222248212124821212k k k k k k k
k ⎧≤-+⎪⎪++⎨⎪≥--⎪++⎩
即22221011[,]222210
k k k k ⎧+-≤⇒∈-⎨--≤⎩k . 考点：1.椭圆的性质.2.直线与椭圆的位置关系.3.线性规划的知识.4.韦达定理.
22．已知函数2()ln f x x a x =+的图像在点(1,(1))P f 处的切线斜率为10.
(1)求实数a 的值;
(2)判断方程()2f x x =根的个数,并证明你的结论;
(21)探究: 是否存在这样的点(,())A t f t ,使得曲线()y f x =在该点附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧? 若存在,求出点A 的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】（1）8；（2）一个，证明参考解析；(21) (2,48ln 2)A +
【解析】
试题分析：（1）曲线上切线的斜率是通过导数的几何意义，求曲线的导数再将该点的横坐标代入即可求得该点的斜率，从而可解得a 的值.
（2）判断方程的根的情况，一般是通过构造新的函数从而证明函数的与x 轴的交点的个数得到对应方程的根的个数.
(21)因为是否存在这样的点(,())A t f t ,使得曲线()y f x =在该点附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧.是通过说明过该点的切线方程与曲线方程联立后，构建一个新的函数，要说明该点不是新函数的极值点即可.
试题解析：（1）因为2()ln ,'()2a f x x a x f x x x
=+∴=+.图像在点(1,(1))P f 处的切线斜率为10，'(1)210f a =+=.解得8a =.
（2）方程()2f x x = 只有一个实根.证明如下：由（1）可知2()8ln f x x x =+ ，令
2()()28ln 2F x f x x x x x =-=+-，因为(1)10
F =-<，(2)8ln 20F =>，所以在(0,)+∞内至少有一个实根.
又因为8'()22260F x x x
=+-≥-=>.所以()F x 在(0,)+∞递增，所以函数()F x 在(0,)+∞上有且只有一个零点，及方程()2f x x =有且只有一个实根.
(21)由2()8ln f x x x =+，8'()2f x x x
=+
，可求得曲线()y f x =在点(,())A t f t 处的切线方程为28(8ln )(2)()y t t t x t t -+=+-.即28(2)8ln 8(0)y t x t t x t
=+-+->.记228()8ln [(2)8ln 8]h x x x t x t t t
=+-+-+-2288ln (2)8ln 8](0)x x t x t t x t
=+-++-+>，42()()88'()2(2)x t x t h x x t x t x --=+-+=.若存在这样的点(,())A t f t ，使得曲线()y f x =在该点附近的左右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧，
则问题等价于t 不是极值点，由二次函数的性质可知，当且仅当4,2t t t
=∴=时，t 不是极值点，即'()0h x ≥.所以()h x 在(0,)+∞上递增.又()0h t =，所以当(0,2)x ∈时，()0h x <，当(2,)x ∈+∞时，()0h x >，即存在唯一点(2,48ln 2)A +.使得曲线在点A 附近的左右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧.
考点：1.函数求导.2.函数与方程的根的关系.3.构建新函数的思想.4.正确理解题意建立函数解题的思想.5.分类猜想等数学思想.。