向量法求异面直线所成的角

D x
A
O
C
B
y
M
变1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F 分别是A1A,B1B的中点,求CE与D1F所成 z 角的余弦值.
D1 A1 B1 C1
E x
A
D
F O B
C
y
变2:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F 分别是A1B1,C1D1的一个四等分点,求BE 与DF所成角的余弦值. z
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解析：如图建立空间直角坐标系 O－xyz，令正四棱锥的棱长 为 2， 则 A(1，－1,0 )，D(－1，－1,0)，S(0,0， 2)，
1 1 E ， ， 2 2
2 ， 2
1 3 2 → → AE＝－ ， ， ，SD＝(－1，－1，－ 2)． 2 2 2
→· → AE SD 3 → → ∴cos〈AE，SD〉＝ ＝－ 3 . → → |AE||SD| 3 ∴AE、SD 所成的角的余弦值为 3 .
E A
(0,0,0)
B
(0,2,0) y
C
D
3.求出 | AF | 、 | BE | 、 | DB1 。 |
3
6
2 3
3
x
(2,0,0)
0, 异面直线所成角的范围： 2 思考： C D AB, CD 与的关系？ D1 A 相等 B AB, DC 与的关系？
理论分析
结论
cos

| AB CD | | cos AB, CD | | AB || CD |
互补
4
例:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是 AB的中点,求DB1与CM所成角的余弦值.
z
D1 A1 B1 C1
向量法求两条异面直线所成的角
公式 复习
a ( x1, y1, z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ) a b | a | | b | cos a, b
a b cos a, b | a || b | x1 x2 y1 y2 z1 z2 2 2 2 2 2 2 x1 y1 z1 x2 y2 z2
D1 A1 F C1
E
B1
D x
A
O B
C
y
变3:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F 分别是BB1,D1B1的中点,求证EF⊥DA1.
z
D1 A1 F B1 C1
D x
A
E O B
C
y
拓展延伸：
2．已知正四棱锥 S－ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是 SB 的中点，则 AE、SD 所成的角的余弦值为( 1 A.3 2 B. 3 3 C. 3 2 D.3 )
答案：
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向量方法求异面直线的夹角公式
Hale Waihona Puke Baidu
cos

| cos AB, CD |
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向量法求两条异面直线所成的角
一 1.建立合适的空间直角坐标系 般 2.将各点,各线段所在向量标出 步 3.利用向量夹角公式计算 骤
4. 判断所得夹角是两条直线所成角 还是补角,并得出结论
A(x1,y1,z1) B(x2,y2,z2) AB (x2-x1,y2-y1,z2-z1)
课前热身
1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E 为CD1与C1D的交点，点F为C1D1,如图建立 直角坐标系，写出点A、B、D、E、F、B1 的坐标。 z 2.写出向量 AF、 BE 、 DB 1 A1 D1 的坐标。 F(1,2,2) (2,0,2) B1 (1,2,2) (-1,2,1) (2,-2,2) C1 (1,2,1)