《高等数学(一)微积分》讲义

（2） lim 、
x →+∞
x − cos x x − sin x
5n − 4 n −1 解： （1） lim n+1 n→∞ 5 + 3n+ 2
1 1 4 n −1 − ( ) 5 52 5 = lim n→∞ 3 1 + 3( )n+1 5
1 1 4 n −1 − lim( ) 1 5 52 n→∞ 5 = = 3 5 1 + 3lim( )n+1 n→∞ 5
知识点：设 a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m , n ∈ N ，
⎧ am b m ⎪ n a x + L + a1 x + a0 ⎪ 则 lim m n =⎨0 x →∞ b x + L + b x + b n 1 0 ⎪∞ ⎪ ⎩ m=n m<n m>n
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5n − 4 n − 1 例 6.（1） lim n+1 n→∞ 5 + 3n+ 2
n →∞ n→∞
( n + 3 n − n − n )( n + 3 n + n − n n+ 3 n + n− n
= lim
n→∞
4 n n+ 3 n + n− n
== lim
n→∞
4 1+ 3 n n + 1− n n
=2
（2）
lim( n + 3 − n ) n − 1 = lim
n→∞
( n + 3 − n )( n + 3 + n ) n−1 n→∞ n+ 3 + n 1 3 1− 3 n−1 n =3 = lim = lim n→∞ 2 3 n + 3 + n n→∞ 1+ +1 n
x
1 x
=e
适用特点1∞
x
x 1 x ex ⋅ e x x 解： （1） lim (e + x ) = lim e (1 + x ) x = lim e(1 + x ) x →+∞ x →+∞ x →+∞ e e
1
⎡ x ex = lim e ⎢(1 + x ) x →+∞ e ⎢ ⎣
（2） lim x 1 − 2 x = lim(1 − 2 x )
一元函数微积分 （上册）
多元函数微 积 分（下册）
2
第一部分 函数极限与连续
一、 函数 二、极限 三、连续 一、 函数 概念回顾
1. 一元函数的概念 D ⊂ R , 函数为特殊的映射:
f :D
定义域
f ( D) ⊂ R
值域
其中 f ( D ) = { y y = f ( x) , x ∈ D} 2. 二元函数的概念
5
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函来自百度文库、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5：
x+5 ． 求 lim 2 x →∞ x − 9
解：
1 5 1 5 lim( + 2 ) + 2 x+5 x →∞ x x = 0 = 0． lim 2 = lim x x = x →∞ x − 9 x →∞ 9 9 1 1− 2 lim(1 − 2 ) x →∞ x x
1．概念回顾
2、极限的求法， ）
1）数列极限 lim an = A , 函数极限 lim f ( x ) = A ．
n→∞ x
2）函数极限与单侧极限之间的关系
⎧ f ( x0 + ) = lim+ f ( x ) = A x → x0 ⎪ lim f ( x ) = A. ⇔ ⎨ x → x0 f ( x0 − ) = lim− f ( x ) = A ⎪ x → x0 ⎩
1 cos x ln x sin 1 cos x (2) lim = lim sin x = lim 2 π ） ） x → π -2 ⋅ 2（π − 2 x ） x → π -4sin x（π − 2 x x → （π − 2 x
2 2 2
= lim
x→
π
2
1 cos x 1 − sin x 1 ⋅ lim = =− lim π（π − 2 x π -4sin x x → ） -4 x → −2 8
D ⊂ R 2 , 函数为特殊的映射:
f :D
f ( D) ⊂ R
值域
定义域
其中 f ( D ) = { z z = f ( x, y ),( x, y ) ∈ D}
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3. 函数的特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 4. 反函数 设函数 f : D → f ( D) 为单射, 反函数为其逆映射
)
2 2 ) = lim x = 2 x →+∞ x x
注：在使用等价无穷小代换时，应注意只能对乘除法代换，不能对加 减法代换，即只对极限中的各个因式进行代换． 记住下列几个常用的等价无穷小以及由此导出其它的等价无穷小 1. sin x ~ x , 导出 u( x ) → 0 时， sin u( x ) ~ u( x ) 2. tan x ~ x , 3. arcsin x ~ x ， 4. e x − 1 ~ x ， 5. ln(1 + x ) ~ x ， 导出 u( x ) → 0 时， tan u( x ) ~ u( x ) 导出 u( x ) → 0 时， arcsin u( x ) ~ u( x ) 导出 u( x ) → 0 时， e u ( x ) − 1 ~ u( x ) 导出 u( x ) → 0 时， ln ( 1 + u( x ) ) ~ u( x )
cos x x − cos x x =1 （2） lim = lim x →+∞ x − sin x x →+∞ sin x 1− x 1−
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例 7 . （1） lim( n + 3 n − n − n )
n→∞
（2） lim( n + 3 − n ) n − 1.
n→∞
解： （1）
lim( n + 3 n − n − n ) = lim
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例 8.（1） lim (e x + x )
x →+∞
1 x
（2） lim x 1 − 2 x
x →0 1 t
知识点：重要极限
1 lim(1 + ) n = e n→∞ n
1 u( x )
， lim(1 + t ) = e ， lim(1 +
t →0 x →∞
1 x ) =e x
u( x ) → 0, lim(1 + u( x ))
sin kx (2)lim x→0 x lim
sin x =1 x→0 x 知识点：重要极限 tan x sin x 1 sin x 1 解： (1) lim = lim = lim = 1× 1 = 1 x →0 x →0 x→0 x x cos x x limcos x
x →0
1 − cos x (3)lim x→0 x2 sin u( x ) lim =1 u ( x )→ 0 u( x )
2
x 2 ⋅ (3 x ) 3 所以 lim = lim = x → 0 (1 − cos 2 x )ln(1 + x ) x → 0 (2 x 2 ) ⋅ x 2
（3） lim x[ln( x + 2) − ln x ] = lim x ln(1 +
x →+∞ x →+∞
(e
x2
− 1 sin 3 x
3）特殊极限：无穷大和无穷小（某极限过程中的） 若当 lim u = 0 ，则称变量 u 为无穷小量(或无穷小)．
lim u = ∞ , lim u = +∞ , lim u = −∞ ，则称变量 u 为无穷大量(或无穷大)
4）极限与无穷小得关系定理 u → A ⇔ u = A + α ， 其中α 是该极限过程中的无穷小
1 2 解： （1）因为 e − 1 ~ x , cos x − 1 ~ − x 2
x
x (e x − 1) xx = lim = −2 所以 lim x → 0 cos x − 1 x→0 1 − x2 2
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（ 2 ） 因 为 e x − 1 ~ x 2 ， sin 3 x ~ 3 x ， 1 − cos 2 x ~ 1 (2 x )2 = 2 x 2 ， 2 ln(1 + x ) ~ x
f x f ’x lim g (( x )) ＝ lim ‘(( x )) ． g
0 0
或
∞ ∞
f ’x 型 的 未 定 式 ， 则 当 lim ‘(( x )) 存 在 时 ， g
解：(1) lim
1 − cos 3 x 3sin 3 x 3⋅ 3x 9 = lim = lim = . x → 0 1 − cos 4 x x → 0 4sin 4 x x→0 4 ⋅ 4 x 16
f −1 : f ( D) → D
5. 复合函数 给定函数链 则复合函数为 6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
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f : D1 → f ( D1 )
g : D → g ( D) ⊂ D1
f o g : D → f [ g ( D) ]
二、 极限 （1．概念回顾
x2 6.1 − cos x ~ ， 2
u( x )2 导出 u( x ) → 0 时，1 − cos u( x ) ~ 2
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例 11. (1) lim
1 − cos 3 x . x → 0 1 − cos4 x
ln x sin (2) lim . π（π − 2 x 2 ） x→
2
知识点： 洛必达法则 f x 若 分 式 极 限 lim g (( x )) 是
x (e − 1) 例 10.（1） lim x → 0 cos x − 1
x
（2） lim
x→ 0
(
e x − 1 sin 3 x
2
)
(1 − cos 2 x )ln(1 + x )
（3） lim x[ln( x + 2) − ln x ]
x →+∞
知识点：
用等价无穷小代换求极限
α α' 设α , α ', β , β '都是无穷小， 如果 α ~ α ', β ~ β '，则 lim = lim ． β β'
2
⎞ ⎟ 1 = ⎟ 2 ⎟ ⎠
2
n = π lim( n sin ) (4) lim( n sin ) = lim π ⋅ n→∞ n→∞ n→∞ π n n n
π
sin
π
π
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注意：等价无穷小
x2 x → 0 时， x ~ sin x , x ~ tan x , x ~ arcsin x ， 1 − cos x ~ 2 an → 0 时， sin an ~ an u( x ) → 0 时， sin u( x ) ~ u( x )
高数的应考策略
复习方法
弄清概念 熟记公式 理解定理 多做练习
选择题解法
直接推演 反向逆推 特例佐证 图形辅助
总之 孰能生巧
1
高数一（ 微积分） 串讲
《高等数学》 （同济大学）教材所讲主要内容如下：
第一章 极限和 连续
一元函数微分学 ( 第二章 导数与微分 第三章 中值定理及应用)
一元函数积分学 （地四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 定积分的应用）
2 2
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注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 其它类型的未定式
∞ 0 、 。 ∞ 0
∞ − ∞ ， 0 ⋅ ∞ ， 0 0 , ∞ 0 , 1∞ 可转化为分式型的未定
式，从而可以用洛必达法则。 例 12. (1) lim+ x a ln x
解
1 ⎞ ⎛ x (2) lim ⎜ − ⎟ x →1 x→0 ⎝ x − 1 ln x ⎠ 1 1 a x 0 ⋅ ∞ lim ln x ∞ lim ∞ = lim+ ( − x a ) = 0 ． (1) lim+ x ln x −a − a −1 x→0 x → 0+ x x → 0 + − ax x→0 a x ln x − x + 1 0 1 ⎞ ∞−∞ 1 + ln x − 1 ⎛ x (2) lim ⎜ lim lim − ⎟ 0 x →1 x − 1 x →1 x → 1 ( x − 1)ln x ⎝ x − 1 ln x ⎠ + ln x x ( a > 0) ；
x→0 x →0 1 x
x
⎤ ex 0 ⎥ = e⋅e = e ⎥ ⎦
1 ( −2) −2 x
⋅
1
= lim(1 − 2 x )
x →0
1 −2 x ( −2)
= lim[(1 − 2 x )
x →0
1 −2 x ( −2)
]
= [lim(1 − 2 x )
x→0
]
= e −2
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例 9.
tan x (1)lim x→0 x
(4)lim( n sin ) n →∞ n sin an lim =1 an → 0 a n
π
(2) 令u = kx ，x → 0等价于u → 0,
lim
sin kx sin kx sin u = lim ⋅ k = lim ⋅ k = 1× k = k x→0 x→0 u→ 0 x kx u
x x x ⎛ 2sin sin 2 sin 1 − cos x 2 = lim 2 = 1 lim ⎜ 2 (3) lim = lim ⎜ x 2 2 x →0 x →0 x →0 x 2 2 x →0 x x ⎜ 2( ) 2 ⎝ 2