§2.1 测度与测度的性质
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n =1
∞
µ ( ∪ An ) = lim µ ( An ).
n =1
∞
n→∞
(5) 上连续性. 若 { An } ⊂
R , An ↓ 并且 ∩ An ∈ R , µ ( A1 ) < +∞, 则
n =1
∞
µ ( ∩ An ) = lim µ ( An ).
n =1
∞
n→∞
证明 (1). 由于 A ⊂ B, 故B = A ∪ ( B − A). 由于 A ∩ ( B − A) = ∅, 由测度的有限可 加性得到
当 A 是有限集, 当 A 是无限集 .
此时称 µ 为 X 上的计数测度. 特别地, 若取 X = N 为自然数集, 则得到自然数集上的计数 测度. 例 5 设 F 是非空集 X 上的 σ − 代数, E ∈ F . 令 F E = {E ∩ A : A ∈ F }. 则 F E 是 E 上的 σ − 代数(见第一章习题第 22 题). 若 µ 是 F 上的测度. 则 µ (限制在 F E 上)也是 F E 上
{ p n , p ≥ 1} 是一列非负实数. 在 P ( X ) 上定义
µ (∅) = 0, µ ( A) =
ai ∈ A
∑p ,
i
A∈ P (X ) .
容易验证 µ 是 P ( X ) 上的测度. 特别地, 当 p n = 1( n ≥ 1) 时,
µ ( A) = .
A中元素的个数 + ∞
测度的定义与性质 设 X 是一固定的非空集. 本节所讨论的集都是 X 的子集. 我们称定 义在集类上的函数为集函数. 定义 1 设 R 为一个环, 件: (i)
µ : R → [0, + ∞] 是一个非负值集函数. 如果 µ 满足如下条
µ (∅) = 0.
对
(ii) 可 数 可 加 性 :
A 中 的 任 意 一 列 互 不 相 交 的 集 { An },
小 结 为了适应现代数学的许多分支需要, 本节在一般空间上介绍测度.本节讨论的测 度的性质, 以后会经常用到, 应熟练掌握. 测度最重要的例子,将在§2.3 中介绍. 习 题 习题二, 第 1 题—第 8 题.
42
µ ( B − A) = µ ( B ) − µ ( A).
(3) 次可数可加性. 若 { An } ⊂
R 并且 ∪ An ∈ R , 则
n =1
∞
µ ( ∪ An ) ≤
n =1
∞
∑ µ ( A ).
n =1 n
∞
(4) 下连续性. 若 { An } ⊂
R , An ↑ 并且 ∪ An ∈ R , 则
于 是
∩A
n =1
∞
n
= ∅.
µ ( ∩ An ) = 0.
n =1
∞
另 一 方 面 , 由 于
µ ( An ) = +∞(n ≥ 1),
故
lim µ ( An ) = +∞. 因此 µ (
n→∞
∩A
n =1
∞
n
) ≠ lim µ ( An ) .
n →∞
定义 3 设 µ 是环 R 上的测度.
(i). 若对每个 A ∈ R 都有 µ ( A) < +∞, 则称 µ 是有限的.
由上式得到 µ (
∩ A ) = lim µ ( A ). 定理证毕.■
n n =1
∞
n→∞
n
注 2 在测度的性质(5)中, 若去掉条件 µ ( A1 ) < +∞ , 则不能保证(5)中的结论成立. 例 如, 设
µ 是 自 然 数 集 N 上 的 计 数 测 度 . 令 An = {n, n + 1, }, n ≥ 1. 则 An ↓ 并 且
见第一章习题第 18 题). 利用测度的可数可加性和单调性得到
40
µ ( ∪ An ) = µ ( ∪ Bn ) = ∑ µ ( Bn ) ≤ ∑ µ ( An ).
n =1 n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
∞
( 4 ) .
令 B1 = A1 , Bn = An − An −1 , n ≥ 2.
n n 1 n =1
∞
∞
由测度的可减性和下连续性, 得到
∞
µ ( A1 ) − µ ( ∩ An ) = µ ( ∪ Bn ) = lim µ ( Bn )
n =1 n =1 n →∞
= lim( µ ( A1 ) − µ ( An ))
n →∞
= µ ( A1 ) − lim µ ( An ).
n→∞
41
(ii). 若 对 每 个 A ∈ R , 存 在 R 中 一 列 集 { An }, 使 得 µ ( An ) < +∞ (n ≥ 1) 并 且 A = ∪ An , 则称 µ 是 σ − 有限的.
n =1 ∞
容易知道, 若环 R 上的测度 µ 是 σ − 有限的, 则上述定义中的 { An } 可以选取为互不 相交的. 特别地, 若 µ 是 σ − 代数 F 上的测度, 则 µ 是 σ − 有限的当且仅当存在 F 中一列 互不相交的集 { An }, 使得 µ ( An ) < +∞ (n ≥ 1) 并且 X =
∪A .
n n =1
∞
例如, 本节例 1 和例 2 中的测度是有限的.例 4 中的测度是 σ − 有限的.
定义 4
(1) 设 X 为一非空集,
F 为 X 上的 σ − 代数. 称二元组合 ( X , F ) 为可测空间.
F 中的集称为 F − 可测集(或简称为可测集).
(2) 设 µ 为可测空间 ( X , F ) 上的测度. 称三元组合 ( X , F , µ ) 为测度空间. 若测度 µ 为有限的或 σ − 有限的, 则分别称测度空间 ( X , F , µ ) 为有限的和 σ − 有限的.
µ ( B) = µ ( A) + µ ( B − A).
注意到 µ ( B − A) ≥ 0, 因此 µ ( A) ≤ (2). 在 (1) 中已证 µ ( B ) =
µ ( B).
µ ( A) + µ ( B − A). 由此式并注意到 0 ≤ µ ( A) < +∞ , 即得
n −1 i =1
39
的测度. 在§2.3 将给出测度最重要的例子, 即 R 上的 Lebesgue 测度. 定理 2 设 µ 是环 R 上的测度. 则 µ 具有如下性质: (1) 单调性. 若 A, B ∈ R 且 A ⊂ B, 则 µ ( A) ≤
n
µ ( B).
(2) 可减性. 若 A, B ∈ R , A ⊂ B 并且 µ ( A) < +∞, 则
)
= µ ( A1 ) + = ∑ µ ( Ai ).
i =1 n
+ µ ( An ) + µ (∅) +
这表明 µ 具有有限可加性. 但在一般情况下, 有限可加性不能推出可数可加性. 思考题 证明: 若 µ 是环 R 上的广义实值函数, 则 µ 是 R 上的测度. 例 1 设 R = { X , ∅}. 令 µ (∅) = 0,
§2.1 测度与测度的性质
教学目的 给出一般空间上测度的定义 ,并由测度的定义推出测度的 基本性质.Lebesgue 测度和 Lebesgue-Stieljes 测度是本节定义的测度最重要 的特例, 将在§2.3 中介绍. 本节要点 本节讨论的测度是一般空间上的抽象测度 . 应通过一些例 子,使学生理解测度的意义.
± ∞ a ⋅ (±∞) = (±∞) ⋅ a = 0 ∓ ∞ a>0 a=0 a < 0.
(3)
乘法:
(4) (5)
除法: 绝对值:
∗ 1
a = 0. ±∞
± ∞ = +∞ .
∗ ∗
记 R = R ∪ {+∞,−∞}. 称 R 为广义实数集, 它的元素称为广义实数. 取值于 R 的 序列和函数分别称为广义实数列和广义实值函数.
第二章 测度与测度的构造
我们知道 Riemann 积分的几何意义是曲边梯形的面积. 为在欧氏空间空间 R 上推广 Riemann 积分的理论, 我们必须把象长度, 面积和体积等概念推广到 R 中的更一般的集上 去. 本章将要定义的 R 上的 Lebesgue 测度就是长度, 面积和体积等概念推广.
n n n
广义实数集 测度论中讨论的函数和测度将允许取正、负无穷为值.为此引进“ + ∞ ”和 “ − ∞ ”两个符号, 称之为广义实数.规定它们与实数 a 之间的大小关系和四则运算如下: (1) (2) 序关系: − ∞ < a < +∞ . 加法:
a + (±∞) = (±∞) + a = (±∞) + (±∞) = ±∞ .
例 3 设 F 是非空集 X 上的 σ − 代数. 对任意 A ∈ F , 另外令 µ (∅) = 0, 则 µ 是 F 上的测度. 例 4 设 X = {a1 , a 2 ,
若 A ≠ ∅, 则令 µ ( A) = +∞ .
} 是可数集, P ( X ) 是 X 的全体子集所成的 σ − 代数 . 又设
由 于 An ↑ ,
容 易 知 道 有
Bi ∩ B j = ∅(i ≠ j ), 并且 An = ∪ Bi ,
i =1
∞Βιβλιοθήκη Baidu
∪ Ai = ∪ Bi . .
i =1 i =1
n
∞
∞
由测度的可数可加性, 我们
µ ( ∪ An ) = ∑ µ ( Bn ) = lim ∑ µ ( Bi )
n =1 n =1 n →∞ i =1
µ 不恒为 + ∞ , 并且满足可数可加性,
µ ( X ) = 1 . 则 µ 是 R 上的测度.
1 0
若a ∈ A, 若a ∉ A .
例 2 设 X 是一非空集, a 是 X 中的一个固定元. 对任意 A ∈ P ( X ), 令
µ ( A) =
则容易验证 µ 是 P ( X ) 上的测度.
38
当
∪A
n =1
∞
n
∈ R 时, 成立
µ ( ∪ An ) = ∑ µ ( An ).
n =1 n =1
∞
∞
则 µ 称为 R 上的一个测度. 注 1 环上的测度也具有有限可加性.事实上, 设 A1 ,
, An ∈ R , 则
µ ( ∪ Ai ) = µ ( A1 ∪
i =1
n
∪ An ∪ ∅ ∪
∞
∞
= lim µ ( ∪ Bi ) = lim µ ( An ).
n →∞ i =1 n →∞
n
(5) 令 Bn = A1 − An , n ≥ 1. 则Bn ↑ , 并且
∪ B = ∪(A
n n =1 n =1
∞
∞
1
− An ) = A1 − ∩ An .
n =1
∞
注意到 µ (
∪ A ) ≤ µ ( A ) ≤ µ ( A ) < +∞,
µ ( B − A) = µ ( B) − µ ( A).
(3). 令
B1 = A1 , Bn = An − ∪ Ai , n ≥ 2.
∞ ∞
则 {B n } ⊂
R , 并且 Bn ⊂ An (n ≥ 1), Bi ∩ B j = ∅(i ≠ j ). 易知成立 ∪ An = ∪ Bn ( 参
n =1 n =1
∞
µ ( ∪ An ) = lim µ ( An ).
n =1
∞
n→∞
(5) 上连续性. 若 { An } ⊂
R , An ↓ 并且 ∩ An ∈ R , µ ( A1 ) < +∞, 则
n =1
∞
µ ( ∩ An ) = lim µ ( An ).
n =1
∞
n→∞
证明 (1). 由于 A ⊂ B, 故B = A ∪ ( B − A). 由于 A ∩ ( B − A) = ∅, 由测度的有限可 加性得到
当 A 是有限集, 当 A 是无限集 .
此时称 µ 为 X 上的计数测度. 特别地, 若取 X = N 为自然数集, 则得到自然数集上的计数 测度. 例 5 设 F 是非空集 X 上的 σ − 代数, E ∈ F . 令 F E = {E ∩ A : A ∈ F }. 则 F E 是 E 上的 σ − 代数(见第一章习题第 22 题). 若 µ 是 F 上的测度. 则 µ (限制在 F E 上)也是 F E 上
{ p n , p ≥ 1} 是一列非负实数. 在 P ( X ) 上定义
µ (∅) = 0, µ ( A) =
ai ∈ A
∑p ,
i
A∈ P (X ) .
容易验证 µ 是 P ( X ) 上的测度. 特别地, 当 p n = 1( n ≥ 1) 时,
µ ( A) = .
A中元素的个数 + ∞
测度的定义与性质 设 X 是一固定的非空集. 本节所讨论的集都是 X 的子集. 我们称定 义在集类上的函数为集函数. 定义 1 设 R 为一个环, 件: (i)
µ : R → [0, + ∞] 是一个非负值集函数. 如果 µ 满足如下条
µ (∅) = 0.
对
(ii) 可 数 可 加 性 :
A 中 的 任 意 一 列 互 不 相 交 的 集 { An },
小 结 为了适应现代数学的许多分支需要, 本节在一般空间上介绍测度.本节讨论的测 度的性质, 以后会经常用到, 应熟练掌握. 测度最重要的例子,将在§2.3 中介绍. 习 题 习题二, 第 1 题—第 8 题.
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µ ( B − A) = µ ( B ) − µ ( A).
(3) 次可数可加性. 若 { An } ⊂
R 并且 ∪ An ∈ R , 则
n =1
∞
µ ( ∪ An ) ≤
n =1
∞
∑ µ ( A ).
n =1 n
∞
(4) 下连续性. 若 { An } ⊂
R , An ↑ 并且 ∪ An ∈ R , 则
于 是
∩A
n =1
∞
n
= ∅.
µ ( ∩ An ) = 0.
n =1
∞
另 一 方 面 , 由 于
µ ( An ) = +∞(n ≥ 1),
故
lim µ ( An ) = +∞. 因此 µ (
n→∞
∩A
n =1
∞
n
) ≠ lim µ ( An ) .
n →∞
定义 3 设 µ 是环 R 上的测度.
(i). 若对每个 A ∈ R 都有 µ ( A) < +∞, 则称 µ 是有限的.
由上式得到 µ (
∩ A ) = lim µ ( A ). 定理证毕.■
n n =1
∞
n→∞
n
注 2 在测度的性质(5)中, 若去掉条件 µ ( A1 ) < +∞ , 则不能保证(5)中的结论成立. 例 如, 设
µ 是 自 然 数 集 N 上 的 计 数 测 度 . 令 An = {n, n + 1, }, n ≥ 1. 则 An ↓ 并 且
见第一章习题第 18 题). 利用测度的可数可加性和单调性得到
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µ ( ∪ An ) = µ ( ∪ Bn ) = ∑ µ ( Bn ) ≤ ∑ µ ( An ).
n =1 n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
∞
( 4 ) .
令 B1 = A1 , Bn = An − An −1 , n ≥ 2.
n n 1 n =1
∞
∞
由测度的可减性和下连续性, 得到
∞
µ ( A1 ) − µ ( ∩ An ) = µ ( ∪ Bn ) = lim µ ( Bn )
n =1 n =1 n →∞
= lim( µ ( A1 ) − µ ( An ))
n →∞
= µ ( A1 ) − lim µ ( An ).
n→∞
41
(ii). 若 对 每 个 A ∈ R , 存 在 R 中 一 列 集 { An }, 使 得 µ ( An ) < +∞ (n ≥ 1) 并 且 A = ∪ An , 则称 µ 是 σ − 有限的.
n =1 ∞
容易知道, 若环 R 上的测度 µ 是 σ − 有限的, 则上述定义中的 { An } 可以选取为互不 相交的. 特别地, 若 µ 是 σ − 代数 F 上的测度, 则 µ 是 σ − 有限的当且仅当存在 F 中一列 互不相交的集 { An }, 使得 µ ( An ) < +∞ (n ≥ 1) 并且 X =
∪A .
n n =1
∞
例如, 本节例 1 和例 2 中的测度是有限的.例 4 中的测度是 σ − 有限的.
定义 4
(1) 设 X 为一非空集,
F 为 X 上的 σ − 代数. 称二元组合 ( X , F ) 为可测空间.
F 中的集称为 F − 可测集(或简称为可测集).
(2) 设 µ 为可测空间 ( X , F ) 上的测度. 称三元组合 ( X , F , µ ) 为测度空间. 若测度 µ 为有限的或 σ − 有限的, 则分别称测度空间 ( X , F , µ ) 为有限的和 σ − 有限的.
µ ( B) = µ ( A) + µ ( B − A).
注意到 µ ( B − A) ≥ 0, 因此 µ ( A) ≤ (2). 在 (1) 中已证 µ ( B ) =
µ ( B).
µ ( A) + µ ( B − A). 由此式并注意到 0 ≤ µ ( A) < +∞ , 即得
n −1 i =1
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的测度. 在§2.3 将给出测度最重要的例子, 即 R 上的 Lebesgue 测度. 定理 2 设 µ 是环 R 上的测度. 则 µ 具有如下性质: (1) 单调性. 若 A, B ∈ R 且 A ⊂ B, 则 µ ( A) ≤
n
µ ( B).
(2) 可减性. 若 A, B ∈ R , A ⊂ B 并且 µ ( A) < +∞, 则
)
= µ ( A1 ) + = ∑ µ ( Ai ).
i =1 n
+ µ ( An ) + µ (∅) +
这表明 µ 具有有限可加性. 但在一般情况下, 有限可加性不能推出可数可加性. 思考题 证明: 若 µ 是环 R 上的广义实值函数, 则 µ 是 R 上的测度. 例 1 设 R = { X , ∅}. 令 µ (∅) = 0,
§2.1 测度与测度的性质
教学目的 给出一般空间上测度的定义 ,并由测度的定义推出测度的 基本性质.Lebesgue 测度和 Lebesgue-Stieljes 测度是本节定义的测度最重要 的特例, 将在§2.3 中介绍. 本节要点 本节讨论的测度是一般空间上的抽象测度 . 应通过一些例 子,使学生理解测度的意义.
± ∞ a ⋅ (±∞) = (±∞) ⋅ a = 0 ∓ ∞ a>0 a=0 a < 0.
(3)
乘法:
(4) (5)
除法: 绝对值:
∗ 1
a = 0. ±∞
± ∞ = +∞ .
∗ ∗
记 R = R ∪ {+∞,−∞}. 称 R 为广义实数集, 它的元素称为广义实数. 取值于 R 的 序列和函数分别称为广义实数列和广义实值函数.
第二章 测度与测度的构造
我们知道 Riemann 积分的几何意义是曲边梯形的面积. 为在欧氏空间空间 R 上推广 Riemann 积分的理论, 我们必须把象长度, 面积和体积等概念推广到 R 中的更一般的集上 去. 本章将要定义的 R 上的 Lebesgue 测度就是长度, 面积和体积等概念推广.
n n n
广义实数集 测度论中讨论的函数和测度将允许取正、负无穷为值.为此引进“ + ∞ ”和 “ − ∞ ”两个符号, 称之为广义实数.规定它们与实数 a 之间的大小关系和四则运算如下: (1) (2) 序关系: − ∞ < a < +∞ . 加法:
a + (±∞) = (±∞) + a = (±∞) + (±∞) = ±∞ .
例 3 设 F 是非空集 X 上的 σ − 代数. 对任意 A ∈ F , 另外令 µ (∅) = 0, 则 µ 是 F 上的测度. 例 4 设 X = {a1 , a 2 ,
若 A ≠ ∅, 则令 µ ( A) = +∞ .
} 是可数集, P ( X ) 是 X 的全体子集所成的 σ − 代数 . 又设
由 于 An ↑ ,
容 易 知 道 有
Bi ∩ B j = ∅(i ≠ j ), 并且 An = ∪ Bi ,
i =1
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∪ Ai = ∪ Bi . .
i =1 i =1
n
∞
∞
由测度的可数可加性, 我们
µ ( ∪ An ) = ∑ µ ( Bn ) = lim ∑ µ ( Bi )
n =1 n =1 n →∞ i =1
µ 不恒为 + ∞ , 并且满足可数可加性,
µ ( X ) = 1 . 则 µ 是 R 上的测度.
1 0
若a ∈ A, 若a ∉ A .
例 2 设 X 是一非空集, a 是 X 中的一个固定元. 对任意 A ∈ P ( X ), 令
µ ( A) =
则容易验证 µ 是 P ( X ) 上的测度.
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当
∪A
n =1
∞
n
∈ R 时, 成立
µ ( ∪ An ) = ∑ µ ( An ).
n =1 n =1
∞
∞
则 µ 称为 R 上的一个测度. 注 1 环上的测度也具有有限可加性.事实上, 设 A1 ,
, An ∈ R , 则
µ ( ∪ Ai ) = µ ( A1 ∪
i =1
n
∪ An ∪ ∅ ∪
∞
∞
= lim µ ( ∪ Bi ) = lim µ ( An ).
n →∞ i =1 n →∞
n
(5) 令 Bn = A1 − An , n ≥ 1. 则Bn ↑ , 并且
∪ B = ∪(A
n n =1 n =1
∞
∞
1
− An ) = A1 − ∩ An .
n =1
∞
注意到 µ (
∪ A ) ≤ µ ( A ) ≤ µ ( A ) < +∞,
µ ( B − A) = µ ( B) − µ ( A).
(3). 令
B1 = A1 , Bn = An − ∪ Ai , n ≥ 2.
∞ ∞
则 {B n } ⊂
R , 并且 Bn ⊂ An (n ≥ 1), Bi ∩ B j = ∅(i ≠ j ). 易知成立 ∪ An = ∪ Bn ( 参
n =1 n =1