第五章 模糊数学模型

区分模糊集合与经典集合
• 模糊集合
– 高个子
• 经典集合
– 大于1.8米的个子
2.2 隶属函数
• 隶属函数
– 描述元素从属于集合到不属于集合渐变过程的 函数，或隶属度在论域上的分布
• 隶属度
– 隶属函数的取值 – 反映处于过渡状态事物的倾向程度
1
0
隶属函数
坏
好
“高个子”的确定集与模糊集
1
隶 属 度
高个子={0/1.5+0.35/1.6+0.68/1.7+0.84/1.75+1/1.8}
语言变量
元素
隶属度：（0，0.35，0.68，0.84，1）
A={1.5,1.6,1.7,1.75,1.8}
基本概念
• • • • • 论域 集合 元素 隶属函数 隶属度
怎么定义开水？
• 开水={0/50+0.6/70+0.95/80+1/90+1/100}
(x
k 1
m
ik
x jk )
2
夹角余弦距离
rij
x
k 1 m k 1
m
ik
x jk
m
2 2 x x ik jk k 1
变量数：m个 对于任意两个样本xi,xj
通过复合运算转换为模糊等价关系
指定阈值进行分类
取λ >=0.8
1：1，2，5
2：3
3：4
绘制分类图谱
五、模糊识别
2.1 模糊集合
1
取 值
问题：
多大程度 上属于好 人
一个元素在多大的程度上属于一个集合
0
好人＝｛老人，非老人} 坏人＝｛强盗，非强盗｝
坏
好
模糊集合
对于论域上的集合A，如果元素与集合 的关系可以用函数来描述，那么A为模 糊集合。
A A ( x)
隶属函数
模糊集合
x以程度
属于A
A
模糊集合（Fuzzy set）
精确：：：准确 判断：：：决策 模糊性：事物性态或类属在中间过渡的不分
明性。对于事物是否具有某种性态，是否 属于某个类别的问题，不能作出非此即彼 的明确判断
• 与精确性相比，模糊性要更普 遍、更基本得多，现实世界本 质上是模糊的，精确性只是一 种局部特征，有时甚至只是对 现实世界的一种近似 。
1.2 随机性与模糊性
2）对于同一输入，没有两个隶属函数会同时 给出最大隶属度。 3）当两个隶属函数重叠时，重叠部分对两个 隶属函数的最大隶属度不应该有交叉
2.2.2 确定方法
• 主观经验法 – 包括 • 专家打分 • 因素加权 • 二元排序 – 离散的隶属度
• 分析推理法
• 调查统计法
2.2.3 常用隶属函数
• 偏小型 • 偏大型 • 中间型
瘦弱苗
徒长苗
隶属函数表
模式类型 i 参数 性 状 j 绿叶数 苗高 坯茎长 坯茎粗
隶属度
健壮苗
瘦弱苗
徒长苗
x
6 6 1.8 0.6
壮

0.2 0.2 0.5 0.3 0.4
x
4 4 2.5 0.4

0.2 0.4 0.4 0.7
x
5 9 3 0.5

0.9 0.4
0.9 0.1
0.9 0.3
瘦
长
绿叶数5片，苗高9.1寸， 坯茎长3.1厘米，坯茎粗 0.4厘米
三、模糊关系和模糊运算
3.1 模糊关系 3.2 模糊运算
3.1 模糊关系
• 直积
– 两个论域U和V，其各自的元素x，y作为序偶 （x,y），所有这样（x,y）构成的集合，称为的U与V 直积，记作U×V，即：
• U×V={（x,y）|x∈U，y∈V}
• 对于U和V，其直积U×V上的任一子集R均可称为 U与V之间的二元关系 • 如果R是一个模糊集合，那么这种关系就是模糊 关系
150
160 170 180
0.8
0.2 0.1 0
1
0.8 0.2 0.1
0.8
1 0.8 0.2
0.2
0.8 1 0.8
0.1
0.2 0.8 1
模糊关系的隶属函数是两个论域的两个模糊集合的交集
R ( x, y) AB ( x, y) min(A ( x), B ( y))
A {0.2 / x1 0.5 / x 2 1/ x3} B {0.3 / y1 0.9 / y 2} y1 y2 x1 0.2 0.2 R x2 0.3 0.5 x3 0.3 0.9
速度适中={0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70 +1/90} ?
假如，汽车在高速公路上呢？
2）隶属函数通常是对称和平衡的
：：元素的个数为奇数
3）隶属函数要符合人们的语言顺序，避免不 恰当的重叠
1）论域中的每个元素应该至少属于一个隶属 函数的区域，同时它一般应该属于至多不 超过两个隶属函数的区域。
U
R
V
x
μ
y
身高与体重的关系
确定关系
身高（cm） 40
50 0 1 0 0 0
60 0 0 1 0 0
70 0 0 0 1 0
80 0 0 0 0 1
140 150 160 170 180
1 0 0 0 0
身高与体重的关系
模糊关系
身高（cm） 40
140 1
50
0.8
60
0.2
70
0.1
80
0
Байду номын сангаас第五章 模糊数学模型
第五章 模糊数学模型
内容
一．精确性、随机性与模糊性 二．模糊集合和隶属函数 三．模糊关系和模糊运算 四．模糊聚类分析 五．模糊识别 六．模糊综合评判 七．其他应用
一、精确性、随机性与模糊性
1.1 精确性与模糊性 1.2 随机性与模糊性
近似
模糊
偶然
1.1 精确性与模糊性
精确性： 指事物性态或类属的非此即彼性。对于是否 具有某种性态，是否属于某个类别的问题， 可以作出非此即彼的明确结论
• 给定论域U上的m个模式，其模糊集合为A1， A2，…，Am。 • x0为待识别对象，要确定x0优先归属于哪个 模式
模式
待识别对象
A
X
原则I：一个模式，多个对象 原则II：多个模式，一个对象
实例
实例
最大隶属度原则II
油菜的长势一般由绿叶数、苗高、坯茎长，坯茎粗 四个因素来决定。根据农学家的经验，健壮苗的 标准为： 绿叶数6片左右，苗高6寸左右，坯茎长1.8厘米左右， 坯茎粗0.6厘米左右。
四、模糊聚类分析
• 用模糊相似关系来衡量事物之间的亲疏程 度，并以此来实现分类
– 用于样本的分类 – 结果是动态的软分类
步骤
• 建立模糊关系矩阵
– 建立相似矩阵 – 转换为等价关系矩阵
• 进行模糊聚类
– 确定阈值 – 划分类别 – 绘制聚类图
使用距离公式建立模糊相似关系
欧氏距离
rij 1
基于最大隶属度原则的模糊识别
• 待识别的对象是明确的，模式类型有模糊 性 • 识别任务是判明给定的对象优先归属哪个 模式，或哪个对象优先属于给定的模式
最大隶属度原则I
• 给定论域U上的模糊模式，用模糊集合A表 示 • 论域中有n个待识别对象x1，…，xn • 要确定哪个对象优先属于A
最大隶属度原则II
T x1 x2
0.63 0.42 0.25 0.72 0.48 0.20
自己动手-最大最小复合方法
应用实例
RP , B HW GM HP NHA 0.2 0.8 0.7 MLG 0.4 0.5 0.8
RR , P
NHA MLG PC 0.5 0.9 0.7 0.8 GR
模式
对于任意一个油菜苗，测得的四个性状值分别为： 绿叶数5片，苗高9.1寸，坯茎长3.1厘米，坯茎粗 0.4厘米 ，它属于什么类型的苗？
对象
• 确定三种模式：健壮苗，瘦弱苗和徒长苗 • 针对4个特征性状，建立隶属函数：
模式i=1，2，3，特征参数j=1，2，3，4
定义隶属函数表
健壮苗
绿叶数 苗高 坯茎长 坯茎粗
• 是否可以找到一个关系T，将论域X中的相 同元素与论域Z中的相同元素对应起来。 • 复合运算是用来寻找这种关系的运算 T=RoS
R Y T
S Z
X
T=RoS
最大一最小复合
最大积复合
按乘法运算
怎么计算
y1 R x1 x2 y2 0.7 0.5 和 S= y1 0.8 0.4 y2 z3 z2 0.9 0.6 0.2 0.1 0.7 0.5 z1
隶属度确定的流程
• • • • 确定研究对象及其集合 确定集合中的元素 确定元素的隶属函数 计算元素隶属度
2.2.4 模糊集合运算
a, b为隶属度的值
在论域U上的两个集合A和B
A B ( x) A ( x) B ( x) A B ( x) A ( x) B ( x) A ( x) 1 A ( x)
• 依据对象的的模糊信息，以模糊数学原理 为工具进行的识别，称为模糊模式识别 • 识别是按照已有的体系，根据对象的某些 特征将对象进行归并和分类的过程
两类识别类型
• 存在一个模式
– 多个对象 – 哪个对象属于该模式
• 存在多个模式
– 一个对象 – 该对象属于哪个模式
三好学生是个模式，每个学生是否为三好呢？这是隶属度原 则I的问题 三好学生，好同学，坏同学为三个模式，对于任意一个学生， 他属于哪一个模式？
• ？
2.2.1. 确定隶属函数的基本原则
1）表示隶属函数的模糊集合必须是凸模糊集 合 凸模糊集合：随着论域中元素值的增加，隶 属函数的隶属值随之严格单调增加或减少， 或严格地先增加后减少。
凸模糊集合：随着论域中元素值的增加，隶 属函数的隶属值随之严格单调增加或减少， 或严格地先增加后减少
速度适中={0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70}
• 行为 B={工作差(HW)，表现好(GM)，效率 高(HP)} • 观念 P={与周围同事有良好关系(NHA)，取 得老板好感(MLG)} • 奖励方式 R={受到大家赞扬(PC)，得到提 升(GR)}
• 行为 B={工作差(HW)，表现好(GM)，效率 高(HP)} • 奖励方式 R={受到大家赞扬(PC)，得到提 升(GR)}
绿叶数
根据隶属函数求隶属度
健壮苗
绿叶数 苗高 坯茎长 0 0 0
瘦弱苗
0 0 0
徒长苗 结果
1 0.94 0.99
坯茎粗
隶属度
0.75
0
1
0
0.89
0.89 0.89
• 随机性
– 描述事件发生的不确定性（某事件或者将发生 或者不发生）
• 模糊性
– 描述事件的含糊程度和“属于”关系（某事件 属于某一类）
信息中的不确定性
随机 确定
二、模糊集合和隶属函数
2.1 模糊集合 2.2 隶属函数
基本概念
• 论域U • 集合与元素 • 论域U中的一个集合A，包括元素u
U，u，A A={u1,u2,…,un}
对于模糊关系R和S
模糊关系运算
3.2 模糊相似关系和等价关系
模糊相似关系
模糊等价关系
λ>=min[ λ1, λ2]
R12=0.8 R25=0.9 R15=0.2<min(0.8,0.9)
怎么进行关系运算?
3.3 复合运算
• 设R是从论域X的元素到论域Y的对应或映 射关系，且设S是从论域Y的元素到论域Z 映射关系，我们要回答的问题是：
连续论域
A ( x) A x
A ( x1 ) A ( x2 ) A x2 x1
离散论域
A ( xn )
xn
隶属函数
经典集合与模糊集合
• 使模糊集合转变为经典集合的基本途径， 是取截集 • 模糊集合是让模糊性进入数学模型，尽量 利用过渡性信息，通过对隶属函数的数学 演算，最后在一个适当的门坎进行截断， 作出非模糊的判决
0 1.5 1.7 1.9
隶属函数
隶属度
高个子={0/1.5+0.35/1.6+0.68/1.7+0.84/1.75+1/1.8}
1
1 A ( x) 4.485 5.484*ln( x) 0
0 1.5 1.7 1.9
x 1.8 1.5 x 1.8 x 1.5
T ( x1 , z1 ) max(min(0.7, 0.9), min(0.5, 0.1)) 0.7
z3 z2 0.7 0.6 0.5 0.8 0.6 0.4 z1
T ( x2 , z2 ) max((0.8*0.6), (0.4*0.7)) 0.48
z1 T x1 x2 z2 z3
隶 属 度
隶属函数
温度
练习1
指明论域，集合，元素，隶属度
开水={0.9/80+1/90+1/100}
注意： 这是同一 个论域
温水={0.6/30+1/40+0.4/50} 凉水={0.5/10+1/20+0.6/30} 冷水={1/-8+0.5/10+0.3/10} ？
练习2
什么是速度适中？ 给出速度适中的隶属度集合