第十二章全等三角形典型题

第十二章全等三角形典型题
12.1全等三角形
题型一：全等三角形的性质与三角形内角和的综合
例1：如图12-4所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，
∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，试求∠DFB和∠DGB的度数。

变式训练：如图所示，D,A,E在一条直线上，△AEB≌△AEB，
∠BAC=40°∠D=45°。

求：（1）∠B的度数；
（2）∠BMC的度数。

题型二：利用全的三角形的性质判定两直线的位置关系
例2：如图12-5所示，△ADF≌△CBE，且点E,B,D,F在一条直线上，判定AD与BC的位置关系，并加以说明。

变式训练：如图所示，△ABD≌△EBC，AB=2cm，BC=5cm。

（1）求
AD的长；（2）若A,B,C在一条直线上，则DB与AC⊥吗？为什么？
题型三：利用全等三角形的性质解决有关面积问题
例3：如图12-6所示，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，且
AC=BC=4cm，已知△BCD≌△ACE，求四边形AECD的面积。

变式训练：如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，若DE∥AC交BC的延长线上于点E，且△ADC≌△ECD，那么梯形ABCD的面积与△BDE的面积相等吗？请说明理由。

题型四：全等三角形与旋转变换的综合
例4：如图12-7所示，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转30°后，得到
△AEF。

（1）△ABC与△AEF的关系如何？
（2）求∠EAB的度数；（3）△ABC绕其顶点A顺时针旋转多少度时，旋转后的△AEF的顶点F和△ABC的顶点C和A在一条直线上？
变式训练：如图所示，将△ABC绕点B旋转到△A＇B＇C＇的位置，AA＇∥BC, ∠ABC=70°，∠BAA＇=∠BA＇A，求∠CBC＇的度数。

12.2三角形全等的判定
题型一：灵活用判定方法证明两个三角形全等
例1：如图12-27所示，已知AB=CD,BC=DA，E，F是AC上的两点，AE=CF，求证：BF=DE
变式训练：如图所示，已知AB∥CD，OA=OD,AE=DF,求证：EB∥CF
题型二：证明线段或角相等及求值
例2：已知△ABN和△ACM位置如12-28所示，AB=AC,AD=AE，
∠1=∠2.（1）求证：BD=CE；（2）求证∠M=∠N
变式训练：如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AE是BC边的中点，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长
线上于点D。

（1）试说明AE=CD；（2）若AC=10cm，求BD的长。

题型三：全等三角形的判定在生活中的应用
例3：如图12-29所示，为了测量一楼AB的高度，在旗杆CD与楼之间选定一点P，测量观察旗杆顶C的视线PC与地面夹角∠DPC=38°，观察楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB=52°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间的距离为DB=33米，计算楼高AB 是多少米？
变式训练：如图所示，A,B两建筑物位于河的两岸，为了测量它们的距离，可以在河岸作一条直线MN，且使MN⊥AB于点B，在BN上截取BC=CD，过点D作DE⊥MN，使点A,C,E在同一直线上，则DE的长度就是A,B两建筑物之间的距离，请你说明理由。

题型四：证明线段之间的关系
例4：如图12-30所示，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和
∠DBA，点E在线段CD上，求证：AB=AC+BD
变式训练：如图所示，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∠ACD=∠BCE=90°，AE交DC于F，BD交CE,AE于点G，F，试猜测线段AE和BD的位置关系和数量关系，并说明理由。

题型五：如图12-33所示，点F,B,E,C在同一直线上，并且BF=CE，
∠ABC=∠DEF，能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明过程；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF并给出证明过程。

提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF。

变式训练：如图所示，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD。

请你添加一个合适的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）。

（1）你添加
的条件是＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）添加后，请说明△ABC≌△ADE的理由。

题型六：文字证明题
例6：求证：三角形一边上的中线小于其他两边的和的一半。

变式训练：求证：有两条边及其中一边上的中线对应相等的两三角形全等。

题型七：构造命题型问题
例7：在数学课上，林老师画出如图12-35所示的图像（其中点B,F,C,E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE；②BF=CE；③∠B=∠E；
④∠1=∠2，请你从这四个条件中选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明。

变式训练：如图所示，已知△AFD和△BEC，点A,E,F,C在同一直线上，有下面四个论断：①AD=CB;②AE=CF;③∠B=∠D;④AD∥BC。

请从其中选出三个作为已知，余下一个作为结论组成一个真命题，并给予证明。

题型八：理由全等探索线段或角之间的关系
例8：如图12-36所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B,C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。

（1）求证：BD=DE+CE;（2）若直线AE绕A点旋转到如图12-37（1）所示的位置（BD＜CE）时，其余条件不变，则BD与DE，CE的关系如何？请予以证明；（3）若直线AE绕A点旋转到如图12-37（2）所示的位置（BD＞CE）时，其余条件不变，则BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明；（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达BD，DE,CE的关系。

变式训练：如图所示，直线CD经过∠BAC的顶点C，CA=CB，E,F分别是直线CD上的两点，且∠BEC=∠CFA=∠α。

（1）若直线CD经过
∠BCA的内部，且E,F在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图（1）所示，若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF＿＿＿｜BE-AF｜；
（填“＞”、“＜”或“＝”）。

②如图（2）所示，0°＜∠BCA＜180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足的关系是＿＿＿＿＿；（2）如图（3）所示，若直线经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请探究EF,BE,AF三条线段的数量关系，并给予证明。

12.3角的平分线的性质
题型一：运用角平分线的性质证明线段的和差问题
例1：如图12-79所示，已知AD为等腰三角形ABC的底角平分线，
∠C=90°，求证：AB=AC+CD（提示：灯脚对等边）
变式训练：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm，求△DEB的周长。

题型二：角平分线的性质与判定的综合
例2：如图12-81所示，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E,F，给出下列结论：①DA平分
∠EDF；②AE=AF；③AD上的点到B，C两点距离相等；④到AE，AF 距离相等的点到DE,DF的距离也相等。

其中正确的有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
变式训练：如图所示，∠B=∠C=90°，E是BC中点，DE平分∠ADC.（1）求证AE平分∠BAD；（2）求证AD=AB+CD
题型三：角平分线的实际应用
例3：育新中学校园内有一块直角三角形（Rt△ABC）空地，如图12-82所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB=20m，AC=10m，求两种花草各种植的面积。

变式训练：如图所示，一条南北走向的铁路OA与一条东西走向的公路OB交叉通过，一个工厂P在铁路的东面，公路的南面，距交叉路口O处
600m，并且工厂到铁路与公路的距离相等，在图上标出工厂的位置（比例尺为1:20000）
题型四：角平分线的性质和三角形面积的综合
例4：如图12-83所示，AD是△ABC的角平分线，且AB:AC=3：2，作为△ABD与△ACD的面积之比为（）
A、3:2
B、9:4
C、2:3
D、4:9
变式训练：如图所示，在△ABC中，D是BC上的一点，求证：（1）若AD为角平分线，则S△ABD：S△ACD=AB：AC；（2）若S△ABD：
S△ACD=AB：AC，则AD为△ABC的角平分线。

题型五：添加辅助线解决角平分线问题
例5：如图12-84所示，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC与点D，AB+BC=2BD，求证：∠BAP+∠BCP=180°
变式训练：如图所示，已知在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD为∠ABC的平分线，AD⊥BD。

求证BE=2AD。