§2.4运动方程式的变换全解

§2.4 运动方变换

通过上节课对运动方程的求解我们看出，交流电机运动方程的系数都是时变函数，因此，求截这种微分方程是非常繁琐的。为了简化运动方程的求解，我们这一节研究采用变数变换的方法。即用新的变数电压和电流来替换运动方程中的实际变数。我们称这种变数变换为坐标变换。

电机理论中用到的变换基本上都是线性变换，而且坐标变换的种类也很多，究竟采用哪一种需要根据具体问题来选择。

一、 电流、电压和阻抗变换的一般公式 设有电路方程 3132121111i z i z i z u ++=

3232221212i z i z i z u ++=

3332321313i z i z i z u ++=

即

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321u u u =⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢⎣⎡3332

312322

21131211

z z z z z z z z z ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡321i i i 写成向量形式为 zi u =

其中 u 、i 是电压、电流矩阵，Z 是阻抗矩阵。

现在引入坐标变换，将u 和i 变为u '和i '，设变换矩阵是C ，即：

u c u '=

i c i '=

可见，若变换枕C 为一常值矩阵，电压方程组的形式保持不变，此时系统的功率为 u c c i u i H H h ''=

如果要求满足功率不变的约束，则必须有

C H C=E 或 C H =C -1 即C 是酉矩阵，而这种变换矩阵采

用酉矩阵的坐标变换称为酉变换。酉变换满足“功率不变”要求，且有：

i c i c i H =='-1

u c u c u H =='-1

i z u ''=' zc c z H ='

在分析三相交流电机是常用的一些酉矩阵，如αβ0阵，dq0阵，对称分量阵等等会在下面介绍。

二、 对称分量变换

交流电机不对称运行最常用的方法是对称分量法。其基本思想就是利用对

称分量变换，将系统的阻抗矩阵变换为对角阵，从而简化问题的求解。

1、

公式及其含义

对于三相对称电路，若外加的电源电压不对称时可以证明，总可以把不对称

的电源电压U A 、U B 、U C 分解成正序、负序和零序三组对称电压，即

其中称原来不对称电压的对称分量，U +、a 2U +、aU +是一组对称的三相正序电压，U -、a 2U -、aU -是一组对称的三相负序电压，是为了满足功率平衡而引入的系数。

写成矩阵的形式

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+

02

21111131U U U a a a a U U U C B A

U C U

'= 其中 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=C B A

U U U U ；⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡='-+

0U U U U ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=11111312

2a a a a C C 为酉矩阵。同样的道理，这种对称分量变换的方法同样适用于电流变换

I C I

'= 其中 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=C B A I I I I ； ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎣⎡='-+

0I I I I

由此可见，这种变换是把一组不对称的量用一组对称的量代替，使原来不对称的电压、电流分解为三组对称的电压和电流，在系统为线性和对称的情况下，可分别求解每一项迭加后得到总的结果。另外，对以上两式两边左乘C -1即C H ，则可以由不对称电压或电流求得对称

电压或电流。还须指出的是，福提斯古 (Fortescue)最初提出的对称分量变换，起其变换矩阵C 中没有

3

1

,即 ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥

⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+02

211111I I I a a a a I I I C B A

此时C 不是酉矩阵，因而不满足“功率不变约束”

这两种变换各有其优点、缺点。取C 为酉矩阵时，公式记忆比较方便，且前后功率不变，但计算正、反转磁势时要除以

3

1

。取福提斯古变换时，计算气隙内的正转、反转磁势较为直接，但不满足功率不变约束。

2、

对称交流电机阻抗矩阵的对角线化

如图所市所示三相不对称电压，阻抗为循环对称的三相交流电机，I A 、I B 、I C 是不对称三相电流，Z A 为每相自阻抗，Z B 是A →C 、C →B 、B →A 相间的互阻抗，Z C 为A →B 、B →C 、C →A 间的互阻抗，且Z B ≠Z C ，此时电机的电压方程为

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡C B A

A C

B B A

C C B A

C B A I I I Z Z Z Z Z Z Z Z Z U U U 或 I Z U

= 其中Z 为变换前电机的阻抗矩阵，

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A C

B

B A

C

C B A

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 可以看出，此时因阻抗矩阵是个满阵，所以通过此矩阵方程求出

I A 、I B 、I C ，需求解一个三阶的复数联立方程，非常繁琐。现在，我们引入对称分量变换，可知加于电机端点的正序、负序和零序电压分别为

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+C B A H U U U C U U U 0 变换后的阻抗矩阵Z '应为

ZC C ZC C Z H =='-1

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢

⎢⎣⎡=11111

3111111312

2

22a a a a

Z Z Z Z Z Z Z Z Z a a a a A C

B B A

C C B A

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡++++++=C B A C

B A C

B A Z Z Z Z a aZ Z aZ Z a Z 0

0000

22 ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-

+00

0000Z Z Z 其中Z +、Z -和分别为对称三相交流电机的正序、负序和零序阻抗，

Z +=Z A +a 2Z B +aZ C Z -=Z A +aZ B +a 2Z C

Z 0= Z A +Z B +Z C

即变换后的阻抗矩阵已经变成对角线矩阵。于是从变换后的电压方程

I Z U

''='可知 -

--+

++==Z I U Z I U

或