高中数学导数知识点归纳总结

高中数学导数知识点归纳总

结

标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

高中导数复习资料

一、基本概念

1. 导数的定义：

设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值x

x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x

x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。

()f x 在点0x 处的导数记作x

x f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）

函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-

3．基本常见函数的导数:

①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'=

③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;

⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;

⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x

'=. 二、导数的运算

1.导数的四则运算：

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦

常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())((''x Cf x Cf =(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的

积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦

。

2.复合函数的导数

形如)]([x f y ϕ=的函数称为复合函数。法则： [()]()*()f x f x ϕμϕ'''=.

三、导数的应用

1.函数的单调性与导数

（1）设函数)(x f y =在某个区间),(b a 可导，

如果'f )(x 0>，则)(x f 在此区间上为增函数；

如果'f 0)(

（2）如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常函数。

2．函数的极点与极值：当函数)(x f 在点0x 处连续时，

①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；

②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.

3．函数的最值：

一般地，在区间],[b a 上连续的函数)(x f 在],[b a 上必有最大值与最小值。函数

)(x f 在区间上的最值],[b a 值点处取得。只可能在区间端点及极

求函数)(x f 在区间上最值],[b a 的一般步骤：①求函数)(x f 的导数，令导数0)('=x f 解出方程的跟②在区间],[b a 列出)(),(,'x f x f x 的表格，求出极值及)()(b f a f 、的值;③比较端点及极值点处的函数值的大小，从而得出函数的最值

4．相关结论总结：

①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

训练题：

一、选择题

1．已知函数f （x ）对定义域R 内的任意x 都有f （x ）=f （4﹣x ），且当x≠2时其导函数f′（x ）满足（x ﹣2）f′（x ）＞0，若2＜a ＜4则（ ）

A ．f （2a ）＜f （3）＜f （log 2a ）

B ．f （log 2a ）＜f （3）＜f （2a ）

C ．f （3）＜f （log 2a ）＜f （2a ）

D ．f （log 2a ）＜f （2a ）＜f （3）

2．已知函数x bx ax x f +-=232

131)(，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是b a ,，则函数)(x f '在1=x 处取得最值的概率是

（ ）

A ．361

B ．181

C ．121

D ．61 3．如图)(x f y =是可导函数，直线l ：2+=kx y 是曲线)(x f y =在3=x 处的切线，令)(),()(x g x xf x g '=是)(x g 的导函数，则=')3(g （ ）

A ．1-

B ．0

C ．2

D ．4

4．设)(x f 是定义在R 上的函数，其导函数为)(x f '，若)(x f +1()f x '<，

()02015f =，则不等式201(4)x x e e f x ->（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）

A ．()2014,2015

B ．()()02015, -∞+∞，

C ．()0+∞，

D ．()0∞-， 5．已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，

0)()(>+

'x x f x f ，若)21(21f a =，)2(2--=f b ，)2

1(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ）

A ．b c a <<

B ．a c b <<

C ．c b a <<

D ．b a c << 6．已知函数),(4sin )(3R b R a bx x a x f ∈∈++=，)(x f '为()f x 的导函数，则=-'-'+-+)2015()2015()2014()2014(f f f f （ ）

A ．2014

B ．2013

C ．-2015

D ．8

7．若0,0a b >>，且函数32()42f x x ax bx =--在1=x 处有极值，则41a b

+的最小值为（ ）

A 、49

B 、43

C 、32

D 、23

8．设()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图，则()f x 的图象只可能

是

A ．

B ．

C ． D

9．当[]2,1x ∈-时，不等式3243mx x x ≥--恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）