2019江南十校理科数学参考答案

2019安徽省“江南十校”综合素质测试

数学（理科）解析及评分标准

一、选择题

1. 答案 D 【解析】{2,2}A =−,故选D.

2. 答案A 【解析】|i ||||||1i |2z z ==

==

−,故选A. 3. 答案C 【解析】标准方程为21

2

x y =，故选C. 4. 答案B 【解析】由正弦定理知，

sin sin 22cos sin sin 3

B C C C C ===

，cos 3C ∴= 25

cos 22cos 1,9C C ∴=−=故选B.

5. 答案Ｄ 【解析】12AB AD ⋅=

，2

+3

AE AB AD =，BD AB AD =−+ 212211

(+)()1323

326AE BD AB AD AB AD ⋅=⋅−+=−+−⨯=−,故选D.

6. 答案C 【解析】11121

=2ABC A B C V L π−⋅三棱柱,故选C

7 .答案C 【解析】由已知得，

24π

πω=，112,()cos().223

f x x π

ω∴==+故选C. 8 .答案A 【解析】由已知得()(),()f x f x y f x R −=−=且在上单调递增，

22(3log )(log 1)f x f x ∴<−由可得223log log 1x x <−21log 2x ∴<−，解得：0x <<故选A.

9 .答案B 【解析】记(1,0)A ，则2224||2b c PF a −==

，2214

||22

b c PF a a +=+=，1||1F A c =+， 2||1F A c =−，由角平分线性质得21122||||

404|||

|

PF F A c c c PF F A =⇒−=⇒=，

或作1AD PF ⊥于

D ,由角平分线的对称性质知111

2||||||||||24DF PF PD PF PF a =−=−==，

2||||1AD AF c ==−，在1Rt ADF ∆中，222112||1,||||||AF c AF AF AD =+=+,解得4c = 故12

212214||||24.22

PF F c S F F PF c ∆−=⨯=⋅=故选B. 10 .答案C 【解析】由已知，min min ()()f x g x ≥，由已知可得2min ()1),f x =+min ()3g x =，21)3,4k ∴+≥∴≥−故选C.

11 .答案B 【解析】由已知得原几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个四分之一圆柱及一个八分之一球体得到的组合体，216245420,484

S π

π

ππ∴=⨯−−⨯

+⨯+=+表故选B. 12 .答案C 【解析】前44组共含有数字：44(441)1980⨯+=个，

198044(20191980)2019441975,S ∴=−+−=−=故选C. 二、填空题

13. 答案２ 【解析】0,2x y ==时，min 3022z =⨯+= 14. 答案1− 【解析】

22sin cos 1sin 4cos 4αααα⋅=+，2tan 1

4tan 4

αα=+，tan 2α=，

[]123tan =tan ()11123

βαβα−+−==−

+⨯. 15. 答案240 【解析】[]6

6(

)=()x y z x y z ++++，含2z 的项为2

4226

T C

()x y z =+⋅，所以形如2a b x y z 的项的系数之和为2

46C 2=240⋅.

16.

【解析】由已知动点P 落在以AB 为轴、该侧面与三棱锥侧面ACD 的交线为椭圆的一部分，设其与AC 的交点为P ，此时PB 最大，由

P 到AB P 为AC 的中点，

且2

cos ,5

BAC ∠=在BAP ∆中，由余弦定理可得 PB ==. 三、解答题

17【解析】（1）由1232n n a a a a b +++

+=①

2n ≥时，123112n n a a a a b −−++++=②

①−②可得：12()n n n a b b −=−(2)n ≥，∴3322()8a b b =−=

∵12,0n a a =>，设{}n a 公比为q ，∴2

18a q =，∴2q =…………………………3分 ∴1

22

2n n n a −=⨯=

∴123

12(12)222222212

n n

n n b +−=+++

+==−−，∴21n n b =−.…………6分

（2）证明：由已知：111211

(21)(21)2121

n n n n n n n n n a c b b +++===−

⋅−−−−. ………………9分 ∴123122311111

11

21212121

2121

n n n c c c c ++++

+=

−+−++

−−−−−−− 111121

n +=−<−………………………………………………………………………………12分

18 【解析】（1）∵2AB =，1A B ，160A AB ∠=，由余弦定理：

22211112cos A B AA AB AA AB A AB =+−⋅∠，即211123

03AA AA AA −−=⇒=或1−，

故13AA =.………2分

取

BC 中点O ，连接1,OA OA ，∵ABC ∆是边长为2的正三角形，

∴AO BC ⊥

，且AO =1BO =，

由11A AB A AC ∆≅∆得到11A B AC ==1A O BC ⊥， 且1

AO =， ∵22211AO A O AA +=，∴1AO A O ⊥，…………………4分 又BC

AO O =,故1A O ⊥平面ABC ，∵1A O ⊂平面1A BC ，

∴平面1A BC ⊥平面ABC . ………………………………………6分 （2）解法一：以O 为原点，

OB 所在的直线为x 轴，取11B C 中点K ，以OK 所在的直线为y 轴，过O 作1

OG AA ⊥，以OG

所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系.则111(1,0,0),(1,3,0),(1,3,0),B B C A −

111(2,3,0),(0,3,0),(BC BB BA ∴=−==−……………………………………………8分

设平面11ABB A 的一个法向量为(,,1)m x y =，则 1130(2,0,1)020m BB y x m y m BA x y ⎧⋅==

⎧=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨

=⎪⋅=−+=⎪⎩⎩

设所求角为θ，则11||2sin

39

||||

13BC m BC m θ⋅=

=

=

…………………………………………………12分

1