大学数学微积分第一章 1.1

y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
x1
x2
x
1.1.5.2 函数的有界性
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y M
y
M x 有界 X
y=f(x)
o -M o -M
x0
X 无界
x
函数的有界性解释 如果函数f(x)在变动中其数值大小有限 制，则称f(x)有界；如果函数f(x)在变动中 其数值能突破任何限制，则称f(x)无界。
f ( x)
1.1.5.2 函数的单调性
定义3 如果对于函数f (x)在区间(a,b)内随着x的增大而增大
即：对于任意点x1 , x2 (a, b), 当x1 x2时，有
f ( x1 ) f ( x2 )
f ( x1 ) f ( x2 )
则称函数 f ( x )在区间(a, b)上是严格单调增加的 ;( 单调增加 )
解 : y 1和y sin2 x cos 2 x定义域都是 ( ,)
它们定义域相同 , 对应规则也相同的函数 .
（定义域相同, 对应规则也相同, 那么值域一定相同）
1.1.3函数的定义域
（１）在分式中，分母不能为零； （２）在根式中，负数不能开偶次方根； （３）在对数式中，真数必须大于零，底数大于零且不等于１； （４）在反三角函数式中，应满足反三角函数的定义要求； （５）如果函数的解析式中含有分式、根式、 对数式和 反三角 函数式中的两者或两者以上的,求定义域时 应取各部分定义域的交集；
x -1 （3）y = arcsin 3
解：要使函数有意义,
即 2 x 4,
x 1 则1 1, 3
故该函数定义域D [2,4]
2
(4) y 16 x lg sin x
16 x 2 0 解：要使函数有意义, 则 , sin x 0 4 x 4 即 , 2n x 2n , n z
y f ( x)
y
f ( x1 )
o
x1
f ( x2 )
x2
x
如果函数f ( x)在区间(a, b)内随着x的增大而减少，
即：对于任意点x1 , x2 (a, b), 当x1 x2时，有
f ( x1 ) f ( x2 )
f ( x1 ) f ( x2 )
则称函数 f ( x )在区间(a, b)上是严格单调减少的 ( 单调减少)
(3)分段函:函数在其定义域的不同范围内，对应法则用不同式子 来表达的函数
例8 : 绝对值函数 x x0 y x x x 0
1 当x 0 例9 : y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
y 1 o x
-1
1.1.5函数几种简单性质
x 2 是否相同的函数关系 .
x 2 是定义在( ,)上的函数关系 ,
f ( x )的值域在(, )上的函数, g( x )的值域在[0, )
它们定义域相同 , 值域不同函数
(定义域相同, 值域不同, 那么对应规则一定不同）
例6 : 研究函数y 1和y sin2 x cos 2 x是否相同的函数关系 .
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.

3l 2

l 2
l 2
3l 2
三角函数 y sin 都是周期函数。
x, y tan x
等
y sin x,
T 2
y tan x
T
y
2 3 cos( 4 x ) f ( x) 3 cos(y 4l ) cos y
即
又因为 cos y 的周期为 2，即 cos(y 2 ) cos y 所以4l =2
试证明y f (ax )(a 0)是以

a
为周期的周期函数
f ( x ) f ( x)
l
令
即得 f [a( x l )] f (ax).

a
( f (ax)的自变量为‘x’ , 而不是‘ax’ )
比如
y sin x
y
是有界数； x e 是无界函数。
| sin x | 1, x (,)
1.1.5.3 函数的周期性
设函数f ( x )的定义域为D, 如果存在一个不为零的 数l , 使得对于任一 x D, ( x l ) D. 则称f ( x )为周 期函数, l称为f ( x )的周期. 且f ( x l ) f ( x )恒成立.
B C
例4 研究函数 y 的函数
x2 x和 y x 是不是表示相同
解 : y x是定义在 (,)上的函数关系 ,
x2 y 是定义在( ,0) (0,)上的函数关系 , x
它们定义域不同，所以这两个函数是不同的 函数关系
例5 : 研究函数f ( x ) x和g( x ) 解 : f ( x ) x和g( x )
1.1.5.1 函数的奇偶性
设D关于y轴对称, 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o 偶函数 x
f ( x)
x
设D关于原点对称, 对于x D, 有
f ( x ) f ( x )
称 f ( x )为奇函数;
x a (a 例7：求下列函数的定义域
2
0)
a x a;
x a 或 x a;
x a ( a 0) （1）y lg( x 1)
x 2 1 0
解：要使这个对数表达式有意义，真数必须大于零，即
即| x |1
2
解得
x 1
或
x 1
故该函数定义域为
根据周期函数的定义,l为 f(ax) 的周期.
因为l

a
,所以f (ax)是以

a
为周期的函数.
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
y
值域
y f ( x)
w
y
0
( x0 , y0 )
x
o
0
x
定义域
. . . x D
y = f(x)
. . y W
多对一或一对一
y = f(x)
. . x D
. . y W
下列图形哪个可以表示函数的图象？
y
y
y
0
x
0
x
0
x
A
故该函数定义域D [4, ) (0, )
1.1.4函数的表示法
表格法：用自变量的一些数值与相应因变量的对应数值列成表格 来表示变量之间的对应关系．
图象法：用平面直角坐标系中的曲线或点来表示变量x与变量y 之间对应关系．图象法表示函数具有直观性，便于观察 函数所具有的变化规律，是研究函数必不可少的工具． 例 王先生到郊外去观景，他匀速前进，离家不久， 他发现一骑车人的自行车坏了，他帮助这个人把自行车修 好，随后又上路了．请把王先生离家的距离关于时间的函数 用图形描述出来． 解 王先生离家的距离关于时间的函数图形
第一章 函数
§1.1函数关系
1.1.1
1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5
常量和变量
函数的概念 函数的定义域 函数的表示法 函数几种简单性质
§1.1函数关系
1.1.1 常量和变量
在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, z等表示变量.
1.1.2 函数概念
定理 设 x 和 y是两个变量, D 是一个给定的 数集， 如果对于每个数 x D, 变量 y 按照一
定法则总有确定的数值和它对应，则称 y是 x 的函数， 记作
y f ( x ).
因变量
自变量
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域
离家距离
9 6 3
1 2 3 4 5 时间
O
解析法：用数学表达式表示变量之间的对应关系．根据函数的解 析表达式的形式不同，函数又可分为显函数、隐函数、 分段函数三种． (1)显函数:函数y由自变量x的解析式直接表示．例如y=sinx+ex-5
(2)隐函数:函数y由自变量x的关系由方程Ｆ(x,y)=0表示
D (,1) (1,)
x 5x 6 （2）y x 1
解：
( x 3)( x 2) 0 x 2或 x 3
x 1 0
x 5x 6 0
2
解得
x 1
x 2或 x 3
故该函数定义域为
D (,1) (1,2] [3,)
y
y f ( x)
f ( x)
-x
f ( x )
o
x
x
奇函数
奇函数的图像特征
O
一个函数 是奇函数 的充要条 件是它源自文库 图象关于 原点对称
函数y=x3的图像
奇函数的图像关于原点对称； 偶函数的图像关于y轴对称。
1 x 0 1 x
1 x 0 1 x 0 或 1 x 0 1 x 0